高中教育最新高考数学考点解读+命题热点突破专题05函数基本初等函数的图像与性质理文档格式.docx
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（1）可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．
（2）利用函数的单调性解不等式的关键是化成f（x1）<
f（x2）的形式．
【变式探究】
（1）若函数f（x）＝xln（x＋）为偶函数，则a＝________.
（2）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（ ）
A.＞B.ln（x2＋1）＞ln（y2＋1）
C.sinx＞sinyD.x3＞y3
（3）设f（x）＝（a∈R）的图象关于直线x＝1对称，则a的值为（ ）
A.－1B.1C.2D.3
【答案】
（1）1
（2）D （3）C
【命题热点突破二】 函数图象及应用
1．作函数图象有两种基本方法：
一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
例2、【20xx高考新课标1卷】函数在的图像大致为
（A）（B）
（C）（D）
【答案】D
【解析】函数f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函数，其图像关于轴对称，因为，所以排除A、B选项；
当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D。
（1）根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．
（2）研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．
【变式探究】
（1）已知函数f（x）的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，设a＝f，b＝f
（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.c＞a＞bB.c＞b＞a
C.a＞c＞bD.b＞a＞c
（2）设函数f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a<
1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）<
0，则a的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
（2）设g（x）＝ex（2x－1），y＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，
使得g（x0）在直线y＝ax－a的下方，
因为g′（x）＝ex（2x＋1），所以当x<
－时，g′（x）<
0，当x>
－时，g′（x）>
0，
所以当x＝－时，[g（x）]min＝－2e－，
当x＝0时，g（0）＝－1，当x＝1时，g
（1）＝e>
0，直线y＝a（x－1）恒过（1，0），
则满足题意的唯一整数x0＝0，
故－a>
g（0）＝－1，
且g（－1）＝－3e－1≥－a－a，解得≤a<
1，故选D.
答案
（1）D
（2）D
【探究提高】
（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
【命题热点突破三】基本初等函数的图象和性质
1．指数函数y＝ax（a>
0，a≠1）与对数函数y＝logax（a>
0，a≠1）的图象和性质，分0<
a<
1，a>
1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．
2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．
例3、【20xx年高考北京理数】设函数.
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
【答案】，.
（1）指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．
（2）比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．
（1）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝xa（x≥0），g（x）＝logax的图象可能是（ ）
（2）已知函数y＝f（x）是定义在R上的函数，其图象关于坐标原点对称，且当x∈（－∞，0）时，不等式f（x）＋xf′（x）<
0恒成立，若a＝20.2f（20.2），b＝ln2f（ln2），c＝－2f（－2），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a>
b>
cB．c>
a
C．c>
a>
bD．a>
c>
b
（1）D
（2）C
【解析】
（1）方法一 分a>
1,0<
1两种情形讨论．
当a>
1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；
当0<
1时，y＝xa为增函数，y＝logax为减函数，排除A.由于y＝xa递增较慢，所以选D.
【高考真题解读】
1.【20xx高考新课标3理数】已知，，，则（）
（A）（B）（C）（D）
【答案】A
【解析】因为，，所以，故选A．
2.【20xx年高考北京理数】已知，，且，则（）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】A：
由，得，即，A不正确；
B：
由及正弦函数的单调性，可知不一定成立；
C：
由，，得，故，C正确；
D：
由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C.
3.【20xx高考新课标1卷】函数在的图像大致为
4.【20xx高考新课标2理数】已知函数满足，若函数与图像的交点为则（）
（A）0（B）（C）（D）
【解析】由于，不妨设，与函数的交点为，故，故选C。
5.【20xx年高考四川理数】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则=.
6.【20xx高考浙江理数】已知a>
1.若logab+logba=，ab=ba，则a=，b=.
【答案】42
【解析】设，因为，
因此
7.【20xx高考天津理数】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（-，0）上单调递增.若实数a满足
，则a的取值范围是______.
【解析】由题意在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为，则，，解得．
8.【20xx年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为；
当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线定义为曲线C的“伴随曲线”.现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点A
②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”关于y轴对称；
④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）.
【答案】②③
【解析】对于①，若令，则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故①错误；
对于②，设曲线关于轴对称，则与方程表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又曲线与曲线的图象关于轴对称，所以②正确；
③设单位圆上任一点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；
对于④，直线上任一点的伴随点是，消参后点轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③.
9.【20xx高考山东理数】已知函数f（x）的定义域为R.当x<
0时，；
当时，；
当时，.则f（6）=（）
（A）−2（B）−1（C）0（D）2
【解析】当时，,所以当时，函数是周期为的周期函数，所以，又函数是奇函数，所以，故选D.
10.【20xx高考天津理数】已知函数f（x）=（a>
0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）
（A）（0，]（B）[，]（C）[，]{}（D）[，）{}
11.【20xx高考江苏卷】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值是▲.
【解析】，
12.【20xx高考江苏卷】函数y=的定义域是▲.
【解析】要使函数有意义，必须，即，．故答案应填：
，
13.【20xx年高考北京理数】设函数.
【解析】如图，作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知是函数的极小值点，
①当时，，由图象可知的最大值是；
②由图象知当时，有最大值；
只有当时，，无最大值，所以所求的取值范围是．
1.（20xx·
安徽卷）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A.y＝cosxB.y＝sinx
C.y＝lnxD.y＝x2＋1
解析 由于y＝sinx是奇函数；
y＝lnx是非奇非偶函数；
y＝x2＋1是偶函数但没有零点；
只有y＝cosx是偶函数又有零点.
答案 A
2.（20xx·
全国Ⅱ卷）设函数f（x）＝则f（－2）＋f（log212）＝（ ）
A.3B.6C.9D.12
答案 C
3.（20xx·
北京卷）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x＋1）的解集是（ ）
A.{x|－1＜x≤0}
B.{x|－1≤x≤1}
C.{x|－1＜x≤1}
D.{x|－1＜x≤2}
解析 如图，由图知：
f（x）≥log2（x＋1）的解集为{x|－1<
x≤1}.
4.（20xx·
山东卷）已知函数f（x）＝ax＋b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________.
5．（20xx·
天津）已知定义在R上的函数f（x）＝2|x－m|－1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜b
C．c＜a＜bD．c＜b＜a
【答案】C
【解析】由f（x）＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，
所以f（x）＝2|x|－1.
所以a＝f（log0.53）＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，
b＝f（log25）＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，
c＝f（0）＝2|0|－1＝0，所以c<
b.
6．（20xx·
福建）若函数y＝logax（a>
0，且a≠1）的图象如图所示，则所给函数图象正确的是（ ）
【答案】B
7．（20xx·
课标全国Ⅱ）设函数f（x）＝则f（－2）＋f（log212）等于（ ）
A．3B．6C．9D．12
【解析】因为－2＜1，log212＞log28＝3＞1，所以f（－2）＝1＋log2[2－（－2）]＝1＋log24＝3，f（log212）＝2log212－1＝2log212×
2－1＝12×
＝6，故f（－2）＋f（log212）＝3＋6＝9，故选C。
8．（20xx·
陕西卷）设f（x）＝则f（f（－2））＝（）
A．－1B.
C.D.
【解析】因为－2＜0，所以f（－2）＝2－2＝＞0，所以f＝1－＝1－＝.
9．（20xx·
新课标Ⅱ卷）如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y＝f（x）的图象大致为（B）
10．（20xx·
课标全国Ⅱ）已知偶函数f（x）在[0，＋∞）单调递减，f
（2）＝0.若f（x－1）>
0，则x的取值范围是_________________________．
（－1,3）
【解析】 ∵f（x）是偶函数，
∴图象关于y轴对称．
又f
（2）＝0，且f（x）在[0，＋∞）单调递减，
则f（x）的大致图象如图所示，
由f（x－1）>
0，得－2<
x－1<
2，即－1<
x<
3.
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