存在性问题Word下载.docx

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3.研究菱形的存在性问题可转化为研究的存在性问题。

二．中考中的题目分类：

（一）两定一动型

1.只找点不计算（以选择题或填空题的形式出现，只需按照“两圆一线”的方法作出图形即可求解）

例1.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

针对性练习1.如图所示，在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°

AD=AB=6,BC=14,点M是线段BC上一定点，且MC=8,动点P从C点出发沿

的路线运动，运动到点B停止．在点P的运动过程中，使△PMC为等腰三角形的点P有个．

2.计算题目（解这类题目的方法可以分为几何法与代数法）。

例2.（例1变式）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为（3,4），点P是x轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P的坐标．

【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP：

①OD＝DP，②OD＝OP，③PO＝PD．

几何法一般步骤:

分类、画图、计算

①当DO＝DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为（6,0）（如图1）．

②当OD＝OP＝5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P（5,0）（如图2）．

③当PO＝PD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图3）．

在Rt△OPE中，

，

，所以

．

此时点P的坐标为

上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．

代数法一般步骤：

罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

先设点P的坐标为（x,0），其中x＞0，然后罗列△DOP的三边长（的平方）．

DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝（x－3）2+42．

①当DO＝DP时，52＝（x－3）2+42．解得x＝6，或x＝0．

当x＝0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP．

②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±

5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上．

③当PO＝PD时，x2＝（x－3）2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点．

代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验．

针对性练习1.如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．

（1）求C点坐标；

（2）求直线MN的解析式；

（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标．

2.如图1，在

中，AB=AC=4，

和

关于AB所在的直线对称，点M为边AC上的一个动点（重合），点M关于AB所在直线的对称点为N，

的面积为S.

（1）求

的度数；

（2）设CM=x，求S与x的函数表达式，并求x为何值时S的值最大？

（3）S的值最大时，过点C作

交AB的延长线于点E，连接EN（如图2）.P为线段EN上一点，Q为平面内一点，当以M，N，P，Q为顶点的四边形是菱形时，请求出所有满足条件的NP的长.

（提示：

“以M，N，P，Q为顶点的四边形是菱形”实际是思考“以M，N，P为顶点的三角形是等腰三角形”）

（2）一定两动型（解决方法：

①利用线段相等建方程②利用“三线合一”作图利用图形相似或特殊三角形边的关系建方程）

例3：

如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．

【解析】在P、Q两点移动的过程中，△PQC的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是∠PCQ的大小，夹∠PCQ的两条边CQ＝t，CP＝10－2t.因此△PQC符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠C就可以了，在∠C的边上取点P或Q画圆．

图1图2图3

①如图1，当CP＝CQ时，t＝10－2t，解得

（秒）.

②如图2，当QP＝QC时，过点Q作QM⊥AC于M，则CM

.

在Rt△QMC中，

，解得

③如图3，当PQ＝PC时，过点P作PN⊥BC于N，则CN.

在Rt△PNC中，

针对性练习：

1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=5，AD=6，BC=12，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从点C出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动，两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动，当P、Q、C三点构成等腰三角形时，P点离开D点多少时间？

2.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）.以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动.点P，Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

（2）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？

三.课后训练题目：

1.如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=

，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数

的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP

C，那么是否存在点P，使四边形POP

C为菱形？

若存在，请求出此时点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4

，∠B=45°

．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；

动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．

（1）求BC的长．

（2）当MN∥AB时，求t的值．

（3）试探究：

t为何值时，

MNC为等腰三角形．

4.如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°

后得到△COD．

（1）点C的坐标是　（0，3）　线段AD的长等于　4　；

（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，求抛物线的解析式；

（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在

（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？

若存在，请求出该菱形的周长l；

5.如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°

，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：

（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？

S的最大值是多少？

（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；

（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？