高中数学人教A版必修1学案13函数的基本性质互动课堂学案含答案Word格式.docx

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作差f（x1）－f（x2），并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；

（3）定号：

确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；

（4）判断：

根据定义作出结论.

疑难疏引讨论函数y＝f［φ（x）］的单调性时要注意两点：

（1）若u＝φ（x），y＝f（u）在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则y＝f［φ（x）］为增函数；

（2）若u＝φ（x），y＝f（u）在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则y＝f［φ（x）］为减函数.

若函数f（x）、g（x）在给定的区间上具有单调性，利用增（减）函数的定义容易证得，在这个区间上：

（1）函数f（x）与f（x）+C（C为常数）具有相同的单调性.

（2）C＞0时，函数f（x）与C·

f（x）具有相同的单调性；

C＜0时，函数f（x）与C·

f（x）具有相反的单调性.

（3）若f（x）≠0，则函数f（x）与

具有相反的单调性.

（4）若函数f（x）、g（x）都是增（减）函数，则f（x）+g（x）仍是增（减）函数.

（5）若f（x）＞0，g（x）＞0，且f（x）与g（x）都是增（减）函数，则f（x）·

g（x）也是增（减）函数；

若f（x）＜0，g（x）＜0，且f（x）与g（x）都是增（减）函数，则f（x）·

g（x）是减（增）函数.

●案例2

求下列函数的单调增区间：

（1）y=－x2＋2|x|＋3;

（2）y=x-

;

（3）已知函数f（x）在其定义域［-4,4］上是增函数，求f（x2-2x）的增区间.

【探究】

（1）可画图判断，

（2）和（3）都不能画图，

（2）可看成两个基本函数g（x）=x和t（x）=-

相加得到，（3）是复合函数f［u（x）］的形式，其中u（x）=x2-2x.

（1）如图.

可判断函数的单调增区间是（－∞，－1）,（0，1）.

（2）g（x）=x在R上是增函数，t（x）=-

在区间（-∞,0），（0，+∞）上是增函数，所以y=x-

的增区间是（-∞,0）和（0，+∞）.

（3）由函数定义域知-4≤x2-2x≤4，所以1-

≤x≤1+

，二次函数y=x2-2x的单调增区间为（1，+∞），所以原函数的增区间为（1，1+

【溯源】判断复合函数单调性的步骤：

（1）分解函数成简单函数的形式；

（2）求出函数的定义域;

（3）利用同增异减判断.

（4）找出区间和定义域取交集.

2.函数的最值

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；

存在x0∈I，使得f（x0）=M.那么我们称M是函数y=f（x）的最大值.

●案例3

已知函数f（x）=

，x∈［1，+∞）.

（1）当a=

时，求函数的最小值；

（2）若对任意x∈［1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围.

【探究】先来解决第

（1）问，当a的值给定时，函数变为f（x）=x＋

＋2，它类似于函数f（x）=x＋

，所以可以利用函数的单调性来判断最值.

时，f（x）=x＋

＋2.

f（x）在［1，+∞）上为增函数，所以f（x）在［1，+∞）上的最小值为f

（1）=

.

（2）f（x）=x＋

＋2，x∈［1，+∞）.

当a≥0时，函数f（x）的值恒为正.

当a＜0时，函数f（x）在［1，＋∞）上为增函数，故当x=1时，f（x）有最小值3＋a，于是当3＋a＞0时，函数f（x）＞0恒成立，故0＞a＞－3.

综上，可知当a＞－3时，f（x）＞0恒成立.

【溯源】如果一个函数在某个区间内单调，那么根据函数的单调性就可以判断出函数的极值，并结合函数的自变量在区间端点的函数值判断出函数的最值.容易对a分类不全面，而造成解题失误.有时不考虑在区间端点的值，也会造成解题错误.

●案例4

二次函数y＝x2＋2ax－3，x∈［1，2］，试求函数的最小值.

【探究】首先观察到函数图象过（0，－3），再考虑对称轴的位置，由于对称轴在不同的位置会出现不同的结果，所以需要分三种情况讨论.

y＝x2＋2ax－3＝（x＋a）2－a2－3，

当－a∈（2，＋∞），即a<

－2时，函数在［1，2］上为减函数，故此时的最小值为f

（2）＝4a＋1；

当－a∈（－∞，1），即a>

－1时，函数的最小值为f

（1）＝2a－2；

当－a∈［1，2］，即－2≤a≤－1时，函数的最小值为f（－a）＝－a2－3.

【溯源】二次函数带参求最值常见题型有两类，一是对称轴是定值，给出区间含参不确定，另一类则是对称轴含参不确定，给出区间确定，一般这样的问题都要对区间分轴左、轴右、和轴两边分类讨论，然后利用单调性求解.

●案例5

设函数f（x）在定义域R＋上是单调递减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（

）=1，求：

f

（1）及f（

【探究】这里的函数f（x）没有给出具体的解析式，要求f

（1）的值，就需要对已知条件f（xy）=f（x）+f（y）中的x、y进行恰当的赋值，于是令x=

，y=1，得f

（1）=0.

∵f（

）=1，∴f（

）=2.

【溯源】函数的单调性反映的是函数值y随自变量x的变化而变化的一种规律.对于抽象函数问题，尽管它没有给出具体的解析式，但我们仍可以通过赋值去把握它，具体赋值时可结合式子不断赋于特殊值，如0、1等.

1.3.2　奇偶性

1.定义

一般地，如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数；

如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.

函数的奇偶性是针对函数的整个定义域而言的，因此奇偶性是函数在定义域上的整体性质.

由于任意x和-x均要在定义域内，故奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称.所以，我们在判定函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域（函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.如果其定义域关于原点不对称，那么它没有奇偶性）.然后再判断f（-x）与f（x）的关系，从而确定其奇偶性.

2.奇偶性函数的几个性质

（1）对称性：

奇偶函数的定义域关于原点对称；

（2）整体性：

奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；

（3）可逆性：

f（-x）=f（x）

f（x）是偶函数，f（-x）=-f（x）

f（x）是奇函数；

（4）等价性：

f（x）-f（-x）=0,f（-x）=-f（x）

f（x）+f（-x）=0；

（5）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；

（6）可分性：

根据奇偶性可将函数分为四类：

奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数.

疑难疏引

（1）判断函数的奇偶性有时可用定义域的等价形式f（-x）±

f（x）＝0或

＝±

1（f（x）≠0）来代替.

（2）存在既奇且偶函数，例如f（x）＝

当f（-x）与f（x）之间的关系较隐蔽时，容易产生“非奇非偶”的错觉，万万不可草率下结论.

函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性.f（x）为奇函数的充要条件是函数f（x）的图象关于原点对称，f（x）为偶函数的充要条件是函数f（x）的图象关于y轴对称.

3奇函数和偶函数的判断

（1）两个奇函数的和（差）仍是奇函数，两个偶函数的和（差）仍是偶函数.

（2）奇偶性相同的两个函数的积（商、分母不为零）为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积（商、分母不为零）为奇函数.

（3）奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.

（4）定义域关于原点对称的函数f（x）可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f（x）＝

+

（5）若f（x）是（-a,a）（a＞0）上的奇函数，则f（0）＝0.

（6）记忆口诀：

增函数，减函数，函数作差要记住；

正号增，负号减，增减函数很简单.

往上增，往下减，增减趋势正相反；

奇函数，偶函数，函数奇偶看f.

同号偶，异号奇，非奇非偶不离奇.

对折偶，旋转奇，图象重合在一起.

疑难疏引判断奇偶函数的常见方法：

（1）定义法，先看定义域是否关于原点对称，如y=x2，x∈［－1，1），既非奇函数又非偶函数.

（2）特值法，起探路及判定否命题等作用，一方面，若f（－1）=f

（1）〔f（－1）=－f

（1）〕，则f（x）可能是偶（奇）函数.另一方面，若f（－1）≠f

（1）〔f（－1）≠－f

（1）〕，则f（x）一定不是偶（奇）函数.

（3）和、差法，若f（x）+f（－x）=0，则f（x）为奇函数；

若f（－x）－f（x）=0，则f（x）为偶函数.该方法应用的前提是用“特值法”先探路.

（4）比值法，若f（x）／f（－x）=1（或－1），则f（x）为偶（或奇）函数.

（5）图象法，可直接根据图象的对称性来判定奇偶性.

已知函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x3＋2x2－1，求f（x）在R上的表达式.

【探究】题目已经给出x＞0时的解析式，只要求出x<

0和x＝0时的解析式就可以了.f（x）＝x3＋2x2－1.

∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0.

设x＜0，则－x＞0，f（－x）＝（－x）3＋2（－x）2－1＝－x3＋2x2－1.

又根据f（x）为奇函数，∴有f（－x）＝－f（x）.

∴－f（x）＝－x3＋2x2－1.

∴f（x）＝x3－2x2＋1.

因此，

【溯源】把最后结果写成f（x）＝x3＋2x2－1和f（x）＝x3－2x2＋1就错了.原因在于没有真正理解分段函数的定义，错把分段函数当成是两个函数.另外，漏掉x＝0也是常见错误.

已知f（x）是奇函数，在（－1，1）上是减函数，且满足f（1－a）＋f（1－a2）＜0，求实数a的范围.

【探究】要求a的取值范围，先要列出关于a的不等式，这需要根据原条件，然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关系.

由f（1－a）＋f（1－a2）＜0，得f（1－a）＜－f（1－a2）.

∵f（x）是奇函数，∴－f（1－a2）=f（a2－1）.

于是f（1－a）＜f（a2－1）.

又由于f（x）在（－1，1）上是减函数，因此

解之，得0<

a<

1.

【溯源】利用赋值法解题时，特殊值一定要取准.否则将导致解题失败.容易遗漏对每个函数定义域的限定条件的讨论，从而导致解题失误.

1.证明函数f（x）=x在［0，+∞）上是增函数.

【思路解析】判断函数在某一区间上的单调性，从图象上观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格证明，需要从单调函数的定义入手.

【答案】证明：

设x1≥0，x2＞0，且x1＜x2，

则f（x1）－f（x2）=x1－x2=

∵0≤x1<

x2，∴x1－x2<

0，

>

0.

∴f（x1）－f（x2）<

0，即f（x1）<

f（x2）.

由定义，知f（x）=x在［0，+∞）上是增函数.

2.判断函数f（x）=－x3＋1在（－∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断；

如果x∈（0，＋∞），函数f（x）是增函数还是减函数?

【思路解析】本题考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性.一般地，若k＞0，f（x）与kf（x）具有一致的单调性；

若k＜0，则f（x）与kf（x）的单调性相反；

f（x）与f（x）+b具有一致的单调性.从f（x）=－x3＋1上可直接得出f（x）是减函数，用单调性的定义证明，应注意对差式的变形及分解因式.

【答案】f（x）=－x3＋1在（－∞，0）上是减函数，证明如下：

在（－∞，0）上任取x1、x2，且x1＜x2.

∵f（x1）－f（x2）=（－x13＋1）－（－x23＋1）=（x2－x1）（x22＋x1x2＋x12）=（x2－x1）［（x2+

）2+

x12］，

又x2－x1＞0，（x2+

x12>

0，

∴f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）.

故f（x）=－x3＋1在（－∞，0）上是减函数.

同理，可证当x∈（0，＋∞）时，函数f（x）仍然是减函数.

3.函数f（x）=-x2+2x+8，则下列说法正确的是…（　　）

A.f（x）是增函数

B.f（x）在（-∞,1）上是增函数

C.f（x）是减函数

D.f（x）在（-∞,1）上是减函数

【思路解析】本题是已知函数解析式，确定单调区间的典型题.由于函数f（x）=-x2+2x+8是二次函数，∴在整个定义内不是严格单调函数.在对称轴的两侧是严格单调的.

所以解答此题的关键是确定对称轴.

根据二次函数对称轴的公式x=-

可求.

解法一：

（综合法）依题意得，函数f（x）=-x2+2x+8的对称轴方程为x=-

=1.

又∵二次项系数为-1<

0，∴开口方向向下.

∴f（x）在（-∞,1）上是增函数，在（1,+∞）上是减函数.因此，选B.

解法二：

（数形结合法，图象法）如图所示，便知f（x）在（-∞,1）上是增函数.因此，选B.

【答案】B

4.设f（x）、g（x）都是单调函数，下列四个命题中正确的是（　　）

①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递增;

②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递增;

③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）－g（x）单调递减;

④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）－g（x）单调递减.

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④

【答案】C

5.讨论函数f（x）=

（a≠

）在（-2,+∞）上的单调性.

【思路解析】只需按证明函数单调性的步骤进行即可,最后讨论差值的符号.

【答案】设-2<

x1<

x2，则Δx=x1-x2<

0.

f（x）=

=a+

∴Δy=f（x2）-f（x1）

=（a+

）-（a+

）

=（1-2a）（

-

=（1-2a）·

又∵-2<

x2，∴

<

∴当1-2a>

0，即a<

时，Δy<

0,即f（x2）<

f（x1）.

当1-2a<

0，即a>

时，Δy>

0,即f（x2）>

∴当a<

时，f（x）=

在（-2,+∞）上为减函数；

当a>

在（-2,+∞）上为增函数.

6.已知函数f（x）=2x2-5x-3，求函数y=f（x）的单调区间.

【思路解析】可利用函数单调性的定义求解，也可利用复合函数的单调性判断法则来求解，复合函数y=f［g（x）］是由函数u=g（x）和y=f（u）构成的，因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系，函数u=g（x）的值域是y=f（u）定义域的子集．

【答案】当x∈［3,+∞）时，函数f（x）=

为增函数；

当x∈（-∞,-

］时，函数f（x）=

为减函数.

7.求函数y=x-x-1的值域.

【答案】原函数定义域为{x|x≥1}.

因为y=

＝

在定义域上是单调减函数，所以函数的值域是（0,1］.

8.利用单调性求函数y=x－

的值域.

【思路解析】本题考查利用单调性求函数值域.先求出函数的定义域，再判断函数的单调性，最后求值域.

【答案】定义域为{x|x≤

}，y=x以及y=－1-2x均在（－∞，

）上递增，

∴y=x－1-2x在（－∞，

）上递增，f（x）≤f（

）=

.

∴y=x－1-2x的值域为（－∞，

］.

9.已知二次函数y＝－x2＋2ax＋（a－2）在x∈［－1，2］上有最大值4，求实数a的值.

【思路解析】该二次函数的图象开口向下，因而若x∈R，则y＝－（x－a）2＋a2＋a－2,即当x＝a时，ymax＝a2＋a－2,目前规定x∈［1,2］,解题时应分a∈［1,2］以及a＜1,a＞2三种情况讨论（三种情况中最大值的取值均不同）.

【答案】y＝－x2＋2ax＋（a－2）＝―（x―a）2＋a2＋a－2,

①若a∈［－1,2］,则当x＝a时，ymax＝a2＋a－2,由题意知a2＋a－2=4,而a2＋a－6＝0,a=-3或a＝2,

∵a∈［－1,2］,∴a＝2符合条件.

②若a＜－1，∵二次函数y＝f（x）在［a,＋∞）上单调递减，即在［－1，2］上单调递减，∴当x＝－1时，ymax＝―1,―2a＋a－2＝―a―3,由―a―3＝4，得a＝－7（＜－1）,

∴a＝－7符合条件.

③若a＞2,则二次函数y＝f（x）在［－1,2］上单调递增，∴当x＝2时，ymax＝－4＋4a＋a－2＝5a―6.由5a―6＝4得a＝2（≯2）,∴此时不存在符合条件的a,综上，符合条件的a的值为2或－7.

10.已知函数f（x）=x5+ax3+bx-8,若f（-2）=10，求f

（2）的值.

【思路解析】观察函数的解析式可知函数x5,ax3,bx都是奇函数，所以x+ax3+bx也是奇函数，因此可构造一个新的奇函数来求解.

【答案】构造函数g（x）=f（x）+8，则g（x）=x5+ax3+bx一定是奇函数.

又∵f（-2）=10，∴g（-2）=18.

11.若函数y=x2-3x-4的定义域为［0,m］，值域为［-

-4］，则m的取值范围是（　　）

A.（0,4］

B.［

4］

C.［

3］

D.［

+∞）

【思路解析】首先判断二次函数的对称轴，然后根据定义与该函数的增减性判断最值情况.y=x2-3x-4=（x-

）2-

对称轴为x=

∴m∈［

3］.

【答案】C

12.若函数f（x）在区间（a，b）上为增函数，在区间（b，c）上也是增函数，则函数f（x）在区间（a，c）上（　　）

A.必是增函数

B.必是减函数

C.是增函数或是减函数

D.无法确定增减性

【思路解析】考查单调性定义，即x=b时可能无定义.

【答案】D

13.下列四个函数中是奇函数的是（　　）

A.f（x）=

B.f（x）=x3+x

C.f（x）=x-2+x-1

D.f（x）=2x+1

【思路解析】判断一个函数是不是奇函数，首先要判断定义域是否关于原点对称，然后再根据已知条件给定的函数解析式用定义法判断f（-x）与-f（x）是否相等，如果相等就是奇函数，如果不相等就不是奇函数.或者画出函数的图象进行判断.

∵A选项的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又∵f（-x）=

=

=f（x）≠-f（x），∴A不是奇函数；

∵B的定义域是R，关于原点对称，又∵f（-x）=（-x）3+（-x）=-（x3+x）=-f（x），∴B是奇函数；

∵C的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，又∵f（-x）=（-x）-2+（-x）-1=x-2-x-1≠-f（x），

∴C不是奇函数；

∵D的定义域关于原点对称，又∵f（-x）=2·

（-x）+1=-2x+1≠-f（x），∴D不是奇函数.因此，选B.

14.已知f（x）在R上是奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x；

当x<

0时，求f（x）的表达式.

【思路解析】已知函数的奇偶性和原点右侧的函数解析式，求原点左侧的函数解析式，是函数奇偶性类型题目中比较典型的.其解题思路是：

设待求原点左侧的自变量为x，则已知原点右侧的自变量就为-x，代入已知原点右侧的函数解析式，整理便得待求原点左侧的函数解析式.

【答案】设x′<

0，则-x′>

0,∵f（x）在R上是奇函数，

∴f（-x）=-f（x）.

∴f（-x′）=-f（x′）.

又∵当x≥0时，f（x）=x2-2x，把-x′代入f（x）=x2-2x,得f（-x′）=（-x′）2-2·

（-x′）=x′2+2x′=-f（x），即f（x′）=-x′2-2x′.因此当x<

0时，f（x）=-x2-2x.当x=0时，符合题意.

15.对定义域内的任意x1、x2都有f（x1·

5x2）=f（x1）+f（x2），且当x>

1时，f（x）>

0,f

（2）=1，

（1）求证：

f（x）是偶函数；

（2）f（x）在（0,+∞）上是增函数;

（3）解不等式f（2x2-1）<

2．

【思路解析】本题的中心就是构造，如何利用已知条件构造出f（x）和f（-x）的关系，此题可用特值法.

【答案】

（1）令x1=x2=1，得f

（1）=2f

（1）.∴f

（1）=0.

令x1=x2=-1，得f（-1）=0.

又f（-x）=f（-1·

x）=f（-1）+f（x）=f（x），

∴f