高中数学人教A版必修1学案13函数的基本性质互动课堂学案含答案Word格式.docx
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作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差值符号的方向变形;
(3)定号:
确定差值的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨论;
(4)判断:
根据定义作出结论.
疑难疏引讨论函数y=f[φ(x)]的单调性时要注意两点:
(1)若u=φ(x),y=f(u)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则y=f[φ(x)]为增函数;
(2)若u=φ(x),y=f(u)在所讨论的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则y=f[φ(x)]为减函数.
若函数f(x)、g(x)在给定的区间上具有单调性,利用增(减)函数的定义容易证得,在这个区间上:
(1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
(2)C>0时,函数f(x)与C·
f(x)具有相同的单调性;
C<0时,函数f(x)与C·
f(x)具有相反的单调性.
(3)若f(x)≠0,则函数f(x)与
具有相反的单调性.
(4)若函数f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.
(5)若f(x)>0,g(x)>0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)·
g(x)也是增(减)函数;
若f(x)<0,g(x)<0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)·
g(x)是减(增)函数.
●案例2
求下列函数的单调增区间:
(1)y=-x2+2|x|+3;
(2)y=x-
;
(3)已知函数f(x)在其定义域[-4,4]上是增函数,求f(x2-2x)的增区间.
【探究】
(1)可画图判断,
(2)和(3)都不能画图,
(2)可看成两个基本函数g(x)=x和t(x)=-
相加得到,(3)是复合函数f[u(x)]的形式,其中u(x)=x2-2x.
(1)如图.
可判断函数的单调增区间是(-∞,-1),(0,1).
(2)g(x)=x在R上是增函数,t(x)=-
在区间(-∞,0),(0,+∞)上是增函数,所以y=x-
的增区间是(-∞,0)和(0,+∞).
(3)由函数定义域知-4≤x2-2x≤4,所以1-
≤x≤1+
,二次函数y=x2-2x的单调增区间为(1,+∞),所以原函数的增区间为(1,1+
【溯源】判断复合函数单调性的步骤:
(1)分解函数成简单函数的形式;
(2)求出函数的定义域;
(3)利用同增异减判断.
(4)找出区间和定义域取交集.
2.函数的最值
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;
存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么我们称M是函数y=f(x)的最大值.
●案例3
已知函数f(x)=
,x∈[1,+∞).
(1)当a=
时,求函数的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
【探究】先来解决第
(1)问,当a的值给定时,函数变为f(x)=x+
+2,它类似于函数f(x)=x+
,所以可以利用函数的单调性来判断最值.
时,f(x)=x+
+2.
f(x)在[1,+∞)上为增函数,所以f(x)在[1,+∞)上的最小值为f
(1)=
.
(2)f(x)=x+
+2,x∈[1,+∞).
当a≥0时,函数f(x)的值恒为正.
当a<0时,函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,故当x=1时,f(x)有最小值3+a,于是当3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故0>a>-3.
综上,可知当a>-3时,f(x)>0恒成立.
【溯源】如果一个函数在某个区间内单调,那么根据函数的单调性就可以判断出函数的极值,并结合函数的自变量在区间端点的函数值判断出函数的最值.容易对a分类不全面,而造成解题失误.有时不考虑在区间端点的值,也会造成解题错误.
●案例4
二次函数y=x2+2ax-3,x∈[1,2],试求函数的最小值.
【探究】首先观察到函数图象过(0,-3),再考虑对称轴的位置,由于对称轴在不同的位置会出现不同的结果,所以需要分三种情况讨论.
y=x2+2ax-3=(x+a)2-a2-3,
当-a∈(2,+∞),即a<
-2时,函数在[1,2]上为减函数,故此时的最小值为f
(2)=4a+1;
当-a∈(-∞,1),即a>
-1时,函数的最小值为f
(1)=2a-2;
当-a∈[1,2],即-2≤a≤-1时,函数的最小值为f(-a)=-a2-3.
【溯源】二次函数带参求最值常见题型有两类,一是对称轴是定值,给出区间含参不确定,另一类则是对称轴含参不确定,给出区间确定,一般这样的问题都要对区间分轴左、轴右、和轴两边分类讨论,然后利用单调性求解.
●案例5
设函数f(x)在定义域R+上是单调递减函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(
)=1,求:
f
(1)及f(
【探究】这里的函数f(x)没有给出具体的解析式,要求f
(1)的值,就需要对已知条件f(xy)=f(x)+f(y)中的x、y进行恰当的赋值,于是令x=
,y=1,得f
(1)=0.
∵f(
)=1,∴f(
)=2.
【溯源】函数的单调性反映的是函数值y随自变量x的变化而变化的一种规律.对于抽象函数问题,尽管它没有给出具体的解析式,但我们仍可以通过赋值去把握它,具体赋值时可结合式子不断赋于特殊值,如0、1等.
1.3.2 奇偶性
1.定义
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数;
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
函数的奇偶性是针对函数的整个定义域而言的,因此奇偶性是函数在定义域上的整体性质.
由于任意x和-x均要在定义域内,故奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称.所以,我们在判定函数的奇偶性时,首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.如果其定义域关于原点不对称,那么它没有奇偶性).然后再判断f(-x)与f(x)的关系,从而确定其奇偶性.
2.奇偶性函数的几个性质
(1)对称性:
奇偶函数的定义域关于原点对称;
(2)整体性:
奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x都必须成立;
(3)可逆性:
f(-x)=f(x)
f(x)是偶函数,f(-x)=-f(x)
f(x)是奇函数;
(4)等价性:
f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)
f(x)+f(-x)=0;
(5)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;
(6)可分性:
根据奇偶性可将函数分为四类:
奇函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,非奇非偶函数.
疑难疏引
(1)判断函数的奇偶性有时可用定义域的等价形式f(-x)±
f(x)=0或
=±
1(f(x)≠0)来代替.
(2)存在既奇且偶函数,例如f(x)=
当f(-x)与f(x)之间的关系较隐蔽时,容易产生“非奇非偶”的错觉,万万不可草率下结论.
函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性.f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图象关于原点对称,f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图象关于y轴对称.
3奇函数和偶函数的判断
(1)两个奇函数的和(差)仍是奇函数,两个偶函数的和(差)仍是偶函数.
(2)奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数,奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数.
(3)奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同,偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.
(4)定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和,即f(x)=
+
(5)若f(x)是(-a,a)(a>0)上的奇函数,则f(0)=0.
(6)记忆口诀:
增函数,减函数,函数作差要记住;
正号增,负号减,增减函数很简单.
往上增,往下减,增减趋势正相反;
奇函数,偶函数,函数奇偶看f.
同号偶,异号奇,非奇非偶不离奇.
对折偶,旋转奇,图象重合在一起.
疑难疏引判断奇偶函数的常见方法:
(1)定义法,先看定义域是否关于原点对称,如y=x2,x∈[-1,1),既非奇函数又非偶函数.
(2)特值法,起探路及判定否命题等作用,一方面,若f(-1)=f
(1)〔f(-1)=-f
(1)〕,则f(x)可能是偶(奇)函数.另一方面,若f(-1)≠f
(1)〔f(-1)≠-f
(1)〕,则f(x)一定不是偶(奇)函数.
(3)和、差法,若f(x)+f(-x)=0,则f(x)为奇函数;
若f(-x)-f(x)=0,则f(x)为偶函数.该方法应用的前提是用“特值法”先探路.
(4)比值法,若f(x)/f(-x)=1(或-1),则f(x)为偶(或奇)函数.
(5)图象法,可直接根据图象的对称性来判定奇偶性.
已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+2x2-1,求f(x)在R上的表达式.
【探究】题目已经给出x>0时的解析式,只要求出x<
0和x=0时的解析式就可以了.f(x)=x3+2x2-1.
∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0.
设x<0,则-x>0,f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x3+2x2-1.
又根据f(x)为奇函数,∴有f(-x)=-f(x).
∴-f(x)=-x3+2x2-1.
∴f(x)=x3-2x2+1.
因此,
【溯源】把最后结果写成f(x)=x3+2x2-1和f(x)=x3-2x2+1就错了.原因在于没有真正理解分段函数的定义,错把分段函数当成是两个函数.另外,漏掉x=0也是常见错误.
已知f(x)是奇函数,在(-1,1)上是减函数,且满足f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的范围.
【探究】要求a的取值范围,先要列出关于a的不等式,这需要根据原条件,然后根据减函数的定义由函数值逆推出自变量的关系.
由f(1-a)+f(1-a2)<0,得f(1-a)<-f(1-a2).
∵f(x)是奇函数,∴-f(1-a2)=f(a2-1).
于是f(1-a)<f(a2-1).
又由于f(x)在(-1,1)上是减函数,因此
解之,得0<
a<
1.
【溯源】利用赋值法解题时,特殊值一定要取准.否则将导致解题失败.容易遗漏对每个函数定义域的限定条件的讨论,从而导致解题失误.
1.证明函数f(x)=x在[0,+∞)上是增函数.
【思路解析】判断函数在某一区间上的单调性,从图象上观察是一种常用而又较为粗略的方法,严格证明,需要从单调函数的定义入手.
【答案】证明:
设x1≥0,x2>0,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=x1-x2=
∵0≤x1<
x2,∴x1-x2<
0,
>
0.
∴f(x1)-f(x2)<
0,即f(x1)<
f(x2).
由定义,知f(x)=x在[0,+∞)上是增函数.
2.判断函数f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是增函数还是减函数,并证明你的判断;
如果x∈(0,+∞),函数f(x)是增函数还是减函数?
【思路解析】本题考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性.一般地,若k>0,f(x)与kf(x)具有一致的单调性;
若k<0,则f(x)与kf(x)的单调性相反;
f(x)与f(x)+b具有一致的单调性.从f(x)=-x3+1上可直接得出f(x)是减函数,用单调性的定义证明,应注意对差式的变形及分解因式.
【答案】f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是减函数,证明如下:
在(-∞,0)上任取x1、x2,且x1<x2.
∵f(x1)-f(x2)=(-x13+1)-(-x23+1)=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)[(x2+
)2+
x12],
又x2-x1>0,(x2+
x12>
0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
故f(x)=-x3+1在(-∞,0)上是减函数.
同理,可证当x∈(0,+∞)时,函数f(x)仍然是减函数.
3.函数f(x)=-x2+2x+8,则下列说法正确的是…( )
A.f(x)是增函数
B.f(x)在(-∞,1)上是增函数
C.f(x)是减函数
D.f(x)在(-∞,1)上是减函数
【思路解析】本题是已知函数解析式,确定单调区间的典型题.由于函数f(x)=-x2+2x+8是二次函数,∴在整个定义内不是严格单调函数.在对称轴的两侧是严格单调的.
所以解答此题的关键是确定对称轴.
根据二次函数对称轴的公式x=-
可求.
解法一:
(综合法)依题意得,函数f(x)=-x2+2x+8的对称轴方程为x=-
=1.
又∵二次项系数为-1<
0,∴开口方向向下.
∴f(x)在(-∞,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数.因此,选B.
解法二:
(数形结合法,图象法)如图所示,便知f(x)在(-∞,1)上是增函数.因此,选B.
【答案】B
4.设f(x)、g(x)都是单调函数,下列四个命题中正确的是( )
①若f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递增;
②若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递增;
③若f(x)单调递减,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)单调递减;
④若f(x)单调递减,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)单调递减.
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
【答案】C
5.讨论函数f(x)=
(a≠
)在(-2,+∞)上的单调性.
【思路解析】只需按证明函数单调性的步骤进行即可,最后讨论差值的符号.
【答案】设-2<
x1<
x2,则Δx=x1-x2<
0.
f(x)=
=a+
∴Δy=f(x2)-f(x1)
=(a+
)-(a+
)
=(1-2a)(
-
=(1-2a)·
又∵-2<
x2,∴
<
∴当1-2a>
0,即a<
时,Δy<
0,即f(x2)<
f(x1).
当1-2a<
0,即a>
时,Δy>
0,即f(x2)>
∴当a<
时,f(x)=
在(-2,+∞)上为减函数;
当a>
在(-2,+∞)上为增函数.
6.已知函数f(x)=2x2-5x-3,求函数y=f(x)的单调区间.
【思路解析】可利用函数单调性的定义求解,也可利用复合函数的单调性判断法则来求解,复合函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)和y=f(u)构成的,因变量y通过中间变量u与自变量x建立起函数关系,函数u=g(x)的值域是y=f(u)定义域的子集.
【答案】当x∈[3,+∞)时,函数f(x)=
为增函数;
当x∈(-∞,-
]时,函数f(x)=
为减函数.
7.求函数y=x-x-1的值域.
【答案】原函数定义域为{x|x≥1}.
因为y=
=
在定义域上是单调减函数,所以函数的值域是(0,1].
8.利用单调性求函数y=x-
的值域.
【思路解析】本题考查利用单调性求函数值域.先求出函数的定义域,再判断函数的单调性,最后求值域.
【答案】定义域为{x|x≤
},y=x以及y=-1-2x均在(-∞,
)上递增,
∴y=x-1-2x在(-∞,
)上递增,f(x)≤f(
)=
.
∴y=x-1-2x的值域为(-∞,
].
9.已知二次函数y=-x2+2ax+(a-2)在x∈[-1,2]上有最大值4,求实数a的值.
【思路解析】该二次函数的图象开口向下,因而若x∈R,则y=-(x-a)2+a2+a-2,即当x=a时,ymax=a2+a-2,目前规定x∈[1,2],解题时应分a∈[1,2]以及a<1,a>2三种情况讨论(三种情况中最大值的取值均不同).
【答案】y=-x2+2ax+(a-2)=―(x―a)2+a2+a-2,
①若a∈[-1,2],则当x=a时,ymax=a2+a-2,由题意知a2+a-2=4,而a2+a-6=0,a=-3或a=2,
∵a∈[-1,2],∴a=2符合条件.
②若a<-1,∵二次函数y=f(x)在[a,+∞)上单调递减,即在[-1,2]上单调递减,∴当x=-1时,ymax=―1,―2a+a-2=―a―3,由―a―3=4,得a=-7(<-1),
∴a=-7符合条件.
③若a>2,则二次函数y=f(x)在[-1,2]上单调递增,∴当x=2时,ymax=-4+4a+a-2=5a―6.由5a―6=4得a=2(≯2),∴此时不存在符合条件的a,综上,符合条件的a的值为2或-7.
10.已知函数f(x)=x5+ax3+bx-8,若f(-2)=10,求f
(2)的值.
【思路解析】观察函数的解析式可知函数x5,ax3,bx都是奇函数,所以x+ax3+bx也是奇函数,因此可构造一个新的奇函数来求解.
【答案】构造函数g(x)=f(x)+8,则g(x)=x5+ax3+bx一定是奇函数.
又∵f(-2)=10,∴g(-2)=18.
11.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-
-4],则m的取值范围是( )
A.(0,4]
B.[
4]
C.[
3]
D.[
+∞)
【思路解析】首先判断二次函数的对称轴,然后根据定义与该函数的增减性判断最值情况.y=x2-3x-4=(x-
)2-
对称轴为x=
∴m∈[
3].
【答案】C
12.若函数f(x)在区间(a,b)上为增函数,在区间(b,c)上也是增函数,则函数f(x)在区间(a,c)上( )
A.必是增函数
B.必是减函数
C.是增函数或是减函数
D.无法确定增减性
【思路解析】考查单调性定义,即x=b时可能无定义.
【答案】D
13.下列四个函数中是奇函数的是( )
A.f(x)=
B.f(x)=x3+x
C.f(x)=x-2+x-1
D.f(x)=2x+1
【思路解析】判断一个函数是不是奇函数,首先要判断定义域是否关于原点对称,然后再根据已知条件给定的函数解析式用定义法判断f(-x)与-f(x)是否相等,如果相等就是奇函数,如果不相等就不是奇函数.或者画出函数的图象进行判断.
∵A选项的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,又∵f(-x)=
=
=f(x)≠-f(x),∴A不是奇函数;
∵B的定义域是R,关于原点对称,又∵f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x),∴B是奇函数;
∵C的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,又∵f(-x)=(-x)-2+(-x)-1=x-2-x-1≠-f(x),
∴C不是奇函数;
∵D的定义域关于原点对称,又∵f(-x)=2·
(-x)+1=-2x+1≠-f(x),∴D不是奇函数.因此,选B.
14.已知f(x)在R上是奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-2x;
当x<
0时,求f(x)的表达式.
【思路解析】已知函数的奇偶性和原点右侧的函数解析式,求原点左侧的函数解析式,是函数奇偶性类型题目中比较典型的.其解题思路是:
设待求原点左侧的自变量为x,则已知原点右侧的自变量就为-x,代入已知原点右侧的函数解析式,整理便得待求原点左侧的函数解析式.
【答案】设x′<
0,则-x′>
0,∵f(x)在R上是奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴f(-x′)=-f(x′).
又∵当x≥0时,f(x)=x2-2x,把-x′代入f(x)=x2-2x,得f(-x′)=(-x′)2-2·
(-x′)=x′2+2x′=-f(x),即f(x′)=-x′2-2x′.因此当x<
0时,f(x)=-x2-2x.当x=0时,符合题意.
15.对定义域内的任意x1、x2都有f(x1·
5x2)=f(x1)+f(x2),且当x>
1时,f(x)>
0,f
(2)=1,
(1)求证:
f(x)是偶函数;
(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)解不等式f(2x2-1)<
2.
【思路解析】本题的中心就是构造,如何利用已知条件构造出f(x)和f(-x)的关系,此题可用特值法.
【答案】
(1)令x1=x2=1,得f
(1)=2f
(1).∴f
(1)=0.
令x1=x2=-1,得f(-1)=0.
又f(-x)=f(-1·
x)=f(-1)+f(x)=f(x),
∴f