小升初数学培优提高思维训练Word文件下载.docx
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这个铁箱的容积是4000立方厘米。
6、一个长方体木块，从上面截取5厘米后，成为一个正方体，其表面积减小了160平方厘米，求原长方体的体积。
思路引导：
由题意可知长方体的上下两个底面是正方形，而从上部截去5厘米后便成为一个正方体,表面积减少了160平方厘米,那么减少部分的面积实际上就是截去部分的长方体的侧面积（前后左右4个面）
原来长方体的长和宽是：
160÷
4÷
5
=40÷
5
=8（厘米）
原来长方体的高是：
8+5=13（厘米）
原来长方体的体积是：
8×
13=832（立方厘米）
原来长方体的体积是832立方厘米。
7、一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？
下部和上部分别截去3厘米和2厘米，相当于截去5厘米后，成为一个正方体。
原长方体的长和宽：
120÷
（2+3）=6（厘米）
原长方体的高：
6+2+3=11（厘米）
原长方体的表面积：
（6×
6+6×
11+6×
11）×
2
=168×
=336（平方厘米）
原来长方体的表面积是336平方厘米。
8、如图，梯形的高是10厘米，∠1=45°
，则梯形的面积是多少平方厘米？
图中两个小三角形均是底角为45°
的等腰直角三角形，所以梯形的上底+下底=10（厘米）
梯形的面积是：
10÷
2=50（平方厘米）
答：
梯形的面积是50平方厘米。
9、一个正方体木块，棱长为10dm，沿水平方向将它切成3片，每片又切成4长条，每条又切成5小块，共得到大大小小的长方体60个，如下图所示：
这60个长方体表面积的和是多少平方分米？
首先提出3个问题让学生分组讨论、观察思考：
①60块长方体的表面积可以直接求吗？
②每切一刀，面积增加多少？
③沿水平方向切和沿垂直方向切，这两种切法：
面积增加的量相等吗？
然后引导学生明白题意：
每切一刀，就增加2个正方体的面的面积，因此只要求出一共切了几刀，即可求出一共增加了几个正方体的面的面积，再加上原来正方体的表面积，就是这60个长方体的表面积之和。
沿水平方向将它切成3片，是切了2刀，同理，每片又切成4长条，是切了3刀，每条又切成5小块，是切了4刀，一共切了2+3+4=9（刀），所以表面积一共增加了9×
2=18（个）正方体的面，由此即可解答问题。
【解答】
沿水平方向将它切成3片，切了2刀，同理，每片又切成4长条，切了3刀；
每条又切成4小块，也切了3刀，这样一共切了2+3+4=9（刀），所以这60个长方体的表面积之和是：
2+3+4=9（刀），9×
2=18（个）
6+18=24（个）
10×
24=2400（dm
）
这60个长方体表面积的和是2400dm
10、下面是一张长方形硬纸，正好分成15个小正方形。
试着把它剪成3份，每份有5个小正方形相连，每份都可以折成一个无盖的正方体纸盒，应该怎样剪？
请在长方形中画出剪的路线。
根据正方体展开图的11种特征，把这15个小正方形分成3个“1—4—1”结构的正方体展开图，再去掉盖（一个正方形）即可。
解：
如图，
同一颜色的把标有“底”的正方形作底，其余四个正方形折起来正好是一个无盖的正方体纸盒。
11、已知一个圆的周长是31.4cm，与此圆在同一个平面内有一个点P，点P到圆周上最近的一点距离为xcm，点P到圆周长上最远的一点距离为ycm，且x：
y=2：
3，则点P到圆心的距离是多少cm？
根据圆的周长公式C=πd，d=2r，又因为一个圆的周长是31.4cm，所以圆的直径是31.4÷
3.14=10厘米，半径为10÷
2=5厘米；
与此圆在同一个平面内有一个点P，分两种情况；
P在圆内，直径等于两个距离的和，点P到圆心的距离是半径减去x；
P在圆外，直径等于两个距离的差，点P到圆心的距离是半径加x。
解答：
31.4÷
3.14=10（厘米）
2=5（厘米）
①P在圆内时
（3+2）×
=2×
=4（厘米）
5-4=1（厘米）
点P到圆心的距离是1cm．
②P在圆外时
（3-2）×
=10×
=20（厘米）
20+5=25（厘米）
点P到圆心的距离是25cm。
12、有一根绳子长40米，如果用这根绳子在靠墙的一块土地上围出一个直角三角形，围成的直角三角形面积最大是多少？
（先画出示意图，再解答）
墙为斜边，直角边相等时面积最大，也就是两直角边都是20米。
20×
20÷
2＝200（平方米）
围成的直角三角形面积最大是200（平方米）
13、在一条水渠边，用篱笆围成一块直角梯形菜地（如图）．已知篱笆总长28米．篱笆怎样围这块菜地的面积最大？
最大的面积是多少平方米？
要使围成菜地的面积最大，即上底+下底=高，此时围成的面积最大，即上底+下底=高=28÷
2=14米，注意最后取数时上底+下底=14米，并且上底＜下底即可。
14×
14÷
2=98（平方米），
要使围成菜地的面积最大，即上底+下底=高，此时围成的面积最大，最大的面积是98平方米。
14、蓝色小正方形的面积是8平方厘米，圆形面积是多少平方厘米？
思路引导：
仔细观察小正方形的面积是边长的平方，而求圆的面积也需要半径的平方，这里小正方形边长的平方=圆半径的平方，所以圆的面积就可以迎刃而解了。
8×
3.14=25.12（平方厘米）
15、
由图可以看出：
大等腰直角三角形的面积—小等腰直角三角形的面积＝阴影的面积＝25平方厘米，圆环的面积＝大圆的面积－小圆的面积，利用圆环的面积公式求得即可。
设大圆的半径为R，小圆的半径为r。
阴影的面积=R2÷
2-r2÷
2=25（平方厘米）
那么R2-r2=50（平方厘米）
圆环的面积：
S圆环=πR2-πr2
=π×
（R2-r2）
50
=157（平方厘米）
图中圆环部分的面积是157平方厘米。
16、图中阴影部分的面积是40平方厘米，那么环形的面积是多少平方厘米？
思路引导：
图中大正方形的面积是外圆半径R2，小正方形的面积是内圆半径r2。
所以阴影部分的面积是R2－r2=40（平方厘米）。
圆环的面积=π×
（R×
R－r×
r）=π×
（R2－r2）
解答：
3.14×
40=125.6（平方厘米）
17、如下图，地面上平放着一个底面半径为0.5米的油桶，如果要将这个油桶滚动到与它相距16.2米的墙面，需要滚动几周？
由上面的情境图我们很容易看出，油桶每滚动一圈，前进的距离是一个周长，将这个油桶滚动到与它相距16.2米的墙面时，油桶实际上只要前进16.2-0.5=15.7（米）就顶到墙上了。
油桶本身着地的那一点距离墙面还有半径0.5米，所以16.2米减去0.5米，才是油桶滚动的实际距离。
要是有学生还不明白，可以拿一个圆瓶做一个实验，就理解了。
（16.2－0.5）÷
（2×
0.5）
＝15.7÷
3.14
＝5（圈）
需要滚动5圈。
18、
初看阴影部分的图形完全是不规则的图形，读题并观察后发现这个图形是由1个大半圆和1个小半圆组合而成。
为了让学生对阴影部分的周长有一个清晰的认识，在计算前先让学生描一描周长，然后引导学生观察明白阴影部分的周长无法直接计算，只能把这个图形分成一个大半圆和一个小半圆，然后分别计算其周长。
方法一：
阴影部分的周长＝大半圆的周长＋小半圆的周长－大圆直径
特别提醒学生：
半圆的周长＝圆周长的一半＋直径
大圆直径：
3×
2＝6（㎝）小圆直径：
2×
2＝4（㎝）
2×
π×
3÷
2＋6＋2×
2÷
2＋4－6
＝3π＋6＋2π＋4－6
＝5π＋4
＝15.7＋4
＝19.7（㎝）
方法二：
阴影部分的周长＝大圆周长的一半＋小圆周长的一半＋大圆半径＋AB
小圆直径：
2＋2×
2＋3＋（4－3）
＝3π＋2π＋3＋1
19、把一个圆柱的底面分成若干等份，切开后可拼成一个近似的长方体，这个长方体的底面周长是16.56厘米，高是5厘米，这个圆柱的体积是（
）立方厘米。
把圆柱体切开后拼成一个长方体，虽然形体发生了变化，但体积不变。
因而对于此题来说要求圆柱的体积有2种方法，一是直接用圆柱的体积公式求，二是求长方体的体积（因为V长方体＝V圆柱）。
仔细读题后发现由于不知道圆柱的底面半径，无法计算圆柱的体积，第一种方法好像行不通。
很自然想到第二种方法，我们都知道要计算长方体的体积必须知道长、宽、高或者底面积和高，但题目只告诉了长方体的底面周长和高，也没法计算出长方体的体积，难道真的没办法了吗？
为了帮助学生寻找长方体底面周长与圆柱体之间的某种联系，进一步理清思路，此时我引导学生回忆圆柱体体积公式的推导过程，重新课件演示圆柱体拼成长方体的转化过程，并让学生仔细观察下图回答问题：
1、长方体的2条长相当于圆柱的什么？
2、长方体的2条宽相当于圆柱体的什么？
3、长方体的底面周长＝圆柱体的（
）＋（
很快就有学生发现，长方体的底面周长＝圆柱体的底面周长＋直径
通过仔细观察上面的转化图，学生终于发现了它们二者之间的联系，接着我提示，既然我们找到了长方体与圆柱体周长之间的等量关系，谁能用这个等量关系式列方程解答求出圆柱体的直径或者半径呢？
经过学生分组讨论，得到以下2种方法。
解：
设圆柱的底面半径是r厘米。
2πr＋2r＝16.56
6.28r＋2r＝16.56
8.28r＝16.56
r＝16.56÷
8.28
r＝2
22×
＝3.14×
4×
20
＝62.8（厘米）
方法二：
设圆柱的底面直径为d厘米。
πd＋d＝16.56
（3.14＋1）d＝16.56
4.14d＝16.56
d＝16.56÷
4.14
d＝4
3.14×
（4÷
2）2×
＝3.14×
20、
阅读题目后发现，如果直接计算图中四边形ABED的面积，几乎是不可能的，因为四边形ABED是不规则的四边形。
仔细观察我们发现比较简便的方法是，用△ABC的面积－△DEC的面积＝四边形ABED的面积。
△ABC的面积很容易算出来，但△DEC的面积要直接算出来是很困难的，根据题目给出的已知条件“将直角三角形中的角C折起，使得C点与A点重合”，我们可以知道△DEC与△DAE是轴对称图形，即△DEC与△DAE全等，那么△DEC的面积＝△AEC面积÷
2。
现在问题的关键是要计算出△AEC的面积，我们不知道底EC,进一步观察发现EC＝AE,根据勾股定律可以算出底边EC。
AB2＋BE2＝AE2
因为EC＝AE,BE＝BC－EC,已知AB＝3，BC＝4，
所以AB2＋（BC－EC）2＝EC2
32＋（4－EC）2＝EC2
9＋（16－8EC＋EC2）＝EC2
9＋16－8EC＋EC2＝EC2
25－8EC＋EC2＝EC2
8EC＝25
EC＝3.125
△ABC的面积＝4×
2＝6
△DEC的面积＝△AEC面积÷
＝EC×
AB÷
＝3.125×
＝2.34375
四边形ABED的面积＝6－2.34375＝3.65625
△ABC为直角三角形，且直角边之比为3:
4，根据勾股定理，三角形斜边AC＝5。
将△AEC对折后△EDC与△EDA重合，所以DC＝AC的一半，ED⊥AC，∠B＝∠EDC＝90°
由于△ABC和△EDC中都有∠C，所以∠BAC＝∠DEC，2个三角形的三个角都相同，由此得2个三角形的直角边的比也为3:
4。
DC＝5÷
2＝2.5
DE:
DC＝3:
4
DE＝2.5×
4＝1.875
△EDC的面积＝DC×
DE÷
＝2.5×
1.875÷
四边形ABED面积＝△ABC的面积－△EDC的面积
＝3×
2－2.34375
＝6－2.34375
＝3.65625
21、如图,两个相同的直角梯形重叠在一起,已知CM＝5cm,GM＝8cm,GH＝20cm,求阴影部分的面积。
从上图中我们很容易看出，阴影部分的面积＝S
－S
＝S
，因为这两个直角梯形相同，说明他们的面积相等，2个面积相等的梯形减去同一个梯形得到的结果是一样的，所以我们只需要直接算出S
的面积就可以了。
上底：
DM＝DC－CM＝20－5＝15，下底：
GH=20，高：
GM=8
（15＋20）×
8÷
＝35×
＝140（cm
阴影部分的面积是140cm
22、一间房子的占地形状是长方形，长6米，宽4米，房子周围是草地。
王大爷将一只羊拴在房子的外墙角处（紧靠地面），如下图，已知拴羊的绳子长6米，这只羊能吃到草的范围有多大？
在图中画出这只羊能吃到草的范围，并将范围内的草地涂上阴影，再求出这只羊能吃到草的面积。
这只羊能吃到草的范围＝半径6米圆面积的
＋半径2米（6-4=2）圆面积的
画图如下：
6
×
＋3.14×
（6－4）
＝113.04×
＝84.78+3.14
＝87.92（平方米）
这只羊能吃到草的面积为87.92平方米。
23、如图，长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个的面积分别是12平方米、8平方米、20平方米，求另一个（图中阴影都分）长方形的面积。
方法一：
设最小长方形的宽为a，则长为
，则阴影部分的面积：
（20÷
=
（20×
=30（平方米）
上面两个长方形，宽是相同的，所以它们的面积比，就是它们的长度比。
同理：
所求面积和20的面积比，就是两个长方形的长度比，因为宽一样。
设图中阴影部分长方形的面积是X平方米。
20：
X＝8：
12
8X＝20×
12
8X＝240
X＝30
阴影部分的面积是30平方米。
24、一只蜗牛沿着10米高的柱子往上爬，每天清晨到傍晚共向上爬5米，夜间下滑4米，像这样，从某天清晨开始，它需要几天才能爬上柱子的顶端？
每天从清早到傍晚向上爬行5米,夜间又向下滑4米,实际每天向上爬1米,到第5天夜间,蜗牛已经爬完5米，距顶部还剩5米,则这天白天就刚好爬完剩下的5米。
（10-5）÷
（5-4）
=5÷
1
=5（天）
最后5米，1天爬出，共用：
5+1=6（天）
它需要6天才能爬上柱子的顶端。
25、如图，AB是20厘米，一只蚂蚁从A到B沿着四个半圆爬行，蚂蚁的行程是______厘米。
由题意可知：
蚂蚁的行程是4个半圆周长一半的和，4个半圆的直径和为20厘米，从而可以求得蚂蚁的行程距离。
2，
=3.14×
10，
=31.4（厘米）；
蚂蚁的行程是31.4厘米。
26、如图，已知由四个边长为1cm的小正方形组成的长方形，图中阴影部分的面积是______cm2。
上面的图形是轴对称图形，阴影部分的面积正好等于矩形的面积，阴影部分的面积为2cm2。
27、一列数,前面两个是1,3,从第三个数开始,每一个都是前面的两个数之和,即1,3,4,7、11、29……到第2018个数为止,共有多少个奇数?
这个数列是按照“奇数、奇数、偶数”的顺序循环重复排列的；
每一组循环中有2个奇数和1个偶数。
2018÷
3=672（组）…2（个）
余数是2，这两个数都是奇数；
672×
2+2=1346（个）
共有1346个奇数。
28、下列图中，每个大正方形都是由4个边长为1的小正方形组成，其中涂色面积不等于2的图形是（）。
根据正方形的对称性，逐个进行判断，可知A、B、C中的涂色面积都是大正方形面积的一半，而D不是。
29、某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现在园地上建一个花园（即每个图中的阴影部分），使花坛面积是园地面积的一半，以下图中的设计不合要求的是（ ）
根据正方形的对称性，逐个进行判断，可知A、C、D中的花坛面积均是园地面积的一半，而B不是。
30、若要使图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上两个数之和为6，则x+y=______。
正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，所以“2”与“4”是相对面，“1”与“x”是相对面，“3”与“y”是相对面，相对面上两个数之和为6，x+y=5+3=8。
31、如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“你”字一面相对面上的字是（
这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，根据正方体展开图的特点，其中“我”与“中”相对，“的”与“国”相对，“你”与“梦”相对。
32、如图所示是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“建”字的对面是（
33、如图所示，若要使图中平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两数之和为5，求a+b+c的值。
34、边长为自然数,面积为165平方厘米的形状不同的长方形有几种?
165的因数有：
1，3，5，11，33，55，165
1×
165=165,3×
55=165，5×
33=165，11×
15=165
边长为自然数,面积为165平方厘米的形状不同的长方形有4种。
综合实践
1、如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，观察下列图形并解答有关问题。
（1）按以上的规律依次铺下去，铺设第四个长方形地面共用（
）块白瓷砖；
（2）假如铺某一块类似的长方形地面共用了72块瓷砖，那么它是第（
）块长方形地面。
（3）若白瓷砖每块4元，黑瓷砖每块3块，在问题
（2）中购买瓷砖共需花多少元？
（4）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？
请说明理由。
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