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研究数学教学，我们理应运用联系、整体等观点来贯穿。
每一个知识点，要多问几个“w”（where/why/what）,知识的起点在哪？
我们要解决什么问题？
知识的价值又何在？
为了什么目的？
“从哪里来到哪里去？
”用整体的教学去联接成一条完整的知识链，将教学过程变成一个知识、能力、情感和价值的演化构筑过程。
但这一过程仅是简单地堆加吗？
建构主义的理论明确指出，知识并非是主体对客观现实被动的反映，而是一个主动建构的过程。
学生的学习不应仅仅是原有知识的简单应用，而是应该超越原有知识而获取新知识，而这种获取又是学习者自身内部信息加工过程经验的意义构建。
学习的整体性与结构化，让学生从经验到习得之间达成沟通。
基于上面的认识，结构化教学，即从数学教学的整体性着眼，统盘考虑，有序地展开教学，它强调学习的主动建构性，但这一过程又是一个动态地跟进过程，生态地整体成长过程。
在数学教学中我们将利用系统的知识结构，整体的教学过程，促使学生完善、改良和发展认知结构，使学习者具有不断吸收新的数学知识的能力和知识自我生长的能力。
那么，我们可以为结构化的数学教学构勒出怎样的愿景呢？
三、架构，结构方式的主导与建模
“人的生命是多层次、多方面的整合体-----任何一种活动，人都是以一个完整的生命体的方式参与和投入，而不只是局部的、孤立的、某一方面的参与和投入”（叶澜语）。
同样我们的教学也是非线性的，而是一种综合、立体、极富动态的过程。
我们要树立整体的知识观、教学观和学生观，我们深信整体功能远大于部分功能之和。
数学的学习是个整体的认知过程，数学的教学是个交互的活动过程。
教学结构方式必将涉及数学自身、教学过程、教学主体（教师和学生），围绕知识结构到认知结构的主线，以架构知识、串联方法、贯穿思想为主导，从三个维度来综合考虑。
从广度、高度、深度三位一体地为我们的结构教学呈示出立体的数学教学模式。
四、探究，“结构”实施的策略与深化
结构化的教学对教教学提出了系统而又全面的要求。
系统是一个整体，一个完全的系统应该由着相互作用和相互依存的要素组成。
教材、课堂、教师、学生等相互依存，互为协作，共筑结构。
教师胸有成竹，方能运筹帷幄。
教师要了解本学科的知识结构，熟知自己的科目、深谙个中的关系。
不仅能够从教材的编写的点状分布看到其背后的知识之间的整体内在联系，而且要能够梳理出参透其中的转换路径和思维策略。
因为数学教学的终极目标是让学生学会数学的学习，即形成良好的认知结构。
数学的认知结构是指学生在学习数学知识时，感知、记忆、理解数形关系的一般方式，是在学习数学知识的过程中形成的一种认知模式、思维模式。
教学中，教师自觉地帮助学生理解和掌握结构思想，和利于学生把知识结构转变成认知结构。
从认识结构，参悟本质，促成思维，均依赖教师的整体驾驭。
学生了然于心，方能自主构建。
作为求知者，它对所学的知识不只是一种被动接受。
要把学生从解题的被动局面中解放出来，不只是晓其意，还要知其之所然。
学习过程将少些盲目性与无意识性。
“不论我们选择什么学科，务必使学生理解学科的基本结构”，知道这些知识与谁有关，在生活中有何应用，碰到新问题时会适时调用这些旧知，帮助获取新的知识。
让学生系统而有意义的学习，将知识逐步纳入到知识链中，并逐渐能把这些零散要素通过整理组建成一个网络链，最终完成数学基础的奠基工程和容纳体系。
（一）顺应发展脉络，用知识统领全局
1、剖析前因后果，整体把握数学教材
古语：
不谋全局者,不足谋一域。
放眼全局，形成认知的网络结构；
关注整体素质，准确解读数学教材与课程标准。
从新课程实施发展过程看，老师们由先前的茫然日渐变得理性，有一种因素不可排除，那就是现在我们有完整的一套教材放在面前，对于教材编排体系和教学每个阶段“度”的把握，变得有据可依。
真有感于这样一句话：
教了六年级，才能算个完整的数学老师。
细细想来，一名教师对于教材的理解和把持又何止影响数学课堂，还从根本上影响和制约数学教师的专业技术水平。
用“教材”教的先决条件，就是教师对教材的整体把握和宏观调控。
你对教材增减变化的重建处理，取决于你对教材的深入剖析和认识。
系统的数学知识按学段分布，体现着专家的深思熟虑，体恤着学生的认知规律，我们需要去体会编排的特点，体验教学的成败得失。
之后，你对教材的变通才更有分寸，更能达成的效果。
因连带效应，设想有时学生对数学的畏惧感，一部分来自于他们对数学的变化显得“无招”，学生往往只会孤立地学习或应用数学方法，“就事论事”地去解决问题，这样便会觉得时刻要学习许多的方法与技能。
其实一些数学问题表面变化掩盖下的实质是相同的，我们通常所说的建模就是对类似问题本质的一种归纳。
在我们的教学中，如果用数学方法来形成统一的主题，让学生能够发现和体会隐藏在知识背后的划一数学思想或方法，用“联”的方式，可以思考一类问题，这样就能提高知识的检索和提取效率，提高学习成效。
2、明晓来龙去脉．精细设计教学流程
我们都深知，一位教师的教学设计，最能反映这个教师对于教学内容的理解程度。
追本溯源，我们的教学要学会探求知识的元认知，用“通”的思考方法去研究其出处与归处。
对我们教学的起承与创新大有裨益。
如：
“循环小数”，这个概念对学生来说较抽象，日常应用不多。
教学这样知识性较强的内容，我们的设计不妨从概念出处考虑：
循环小数实是一个特殊的小数，小数则是一种特殊的分数（十进分数）。
但循环小数不同于一般小数，因为它是无限的，也不同于无理数，因为它的内部是有规律的。
它的出现是因为在计算时，当余数不断重复出现时，使商也出现了不断重复出现的情况，便产生了循环小数。
教学时开门见山，由循环话题过渡，直接给出三个数11、6、3，让学生去发现、创造计算中的循环现象，学生马上发现，通过加、减、乘法是不可能得到的；
但是不是所有的除法都能得出循环现象呢？
问题激发了学生的探究热情，通过计算学生立刻发现，像11÷
3，6÷
11等这样的算式在计算时，商中的小数部分会出现有规律的现象。
是什么原因导致这样的情况出现呢？
……，概念本质昭然若揭。
整个过程干净利落，又不失深刻。
正是基于小数、循环小数知识的系统而整体的认识，所以，良好的设计过程，充分体现了缘于知识内部的逻辑性和其背后体现的教学思想。
同样，当学完循环小数后，我们还可以通
过一些小数的识辨，让学生对循环小数进行分类，最后以流程图来说明关系，将新知有效地纳入到数的结构中去，完成一个知识链的构建过程，而其认识必将是深入的。
3、着眼深入浅出，逐步建构数学体系
精彩的课堂之所以令人倾心，源于对设计的精到与理解的通透。
我们要以学生的数学知识、方法、思想体系的建立为目标，这样就会另眼解读教学内容。
我们所执的教学结构会变得丰富而灵动。
一次听课，执教老师的“百分数的意义”教学令我深受启发：
课近结尾，教师让学生估计到场的人数。
会场老师约是400人，学生为40人。
教师请学生用今天学过的百分数说说两者的关系。
“学生人数是老师的10%”，“老师人数是同学的1000%”，说到这儿，教师便说：
“1000%，听起来挺别扭，我们换个说法？
”“10倍。
”简短的对话，将倍数、分数两种都可以表示两者关系的数量用不同说法联系起来。
真是没想到？
平时我们总拿百分数与分数进行比较，显然其实质与反映两个数的倍数关系更为相近。
教师的这一看似不经意“启”，实则用意深远。
被我们疏忽的倍数关系一下立起来，与百分数完成了有效的联构。
教学实践证明，这样的“起”用，是有直接建构意义的。
我曾在教学完分数的认识后，请学生说说米尺上的分数，其中一位学生说1厘米是1米的
，另有同学则说，1米是1厘米的
。
将分数的认识扩大到了两个量的倍比关系，为学生日后分数的应用起到很好的定向作用。
教师对教学体系的“入乎其内”，才得学生对认知的“出乎其外”，我们不要过分地割舍与学生今后学习内容的联系，也不能将过去的知识无端的摒弃，思前顾后，才能使知识结构有连续性，使认知结构有发展性。
（二）启迪智慧思辩，用方法串联核心
数学的教学不能是把零碎、无联系的、不分巨细的内容一点一滴地塞给学生，要他们通过强化记忆装进脑袋。
教学的内容和方法也不应是“点式”，缺乏“块式”结构。
我们的教学法不但讲求知识结构，同时还要求教学这类知识的方法结构，教学过程是一个搭建数学“框架”的过程，在每一个年龄段或学习段的学习都是有建构意义的。
1、“授之以鱼，授之以渔。
”
在教学话题中，这句话我们应该不陌生。
我们一贯重视学生知识技能的习得，如果放在结构化的教学中，那么这种方法不只是一时的解题方式，更是环环相扣结构下的节点。
举一反三，由此及彼的思考，是数学方法教学的终及所在。
如：
立体图形的体积计算。
通过长方体的体积公式推导，学生发现，体积实际是由若干层底面堆积而成的，“底面积×
高”也是一种求体积的方法。
从长方体至立方体，乃至圆柱，有了这个方法的牵引，学生对体积
计算并不感到陌生。
进行圆柱体体积推导时，如果不采用转化的方法，底面积乘高的方法也受到不少同学的响应。
一个圆柱可以看成是若干个底面垒成的立体图形（如右图）。
或许是这种认识过于的强烈，在教学圆锥的体积时，班上学生开始质疑用实验的方法来推导它的体积，科学实验的误差让学生起疑。
我收到了学生如下的一纸建议。
王老师：
下面是我们就“圆锥体积是等底等高的圆柱体积的
”提出的看法：
显然，课本上方法是不可用的，倒沙子肉眼观察到是3次，但其中一定有误差。
说不定它们的比是
或
等，就算一定是
，一个例子也仅是不完全归纳。
所以我们提出了以下自己的看法：
首先，把一个底面半径为
的圆锥用平行于底面的“刀”平均切成
片，如图：
把切成的每一个小圆锥底面半径依次记为
，把每一片小圆锥看作一个圆柱体。
那么，它的体积≈
（
为每一片的高），并且
值越大，它的体积越精确。
然后，把它与同底等高的圆柱体积：
相比较。
（其中，
是等差数列，切成无穷片时，
）。
我们验算了化简后的等式，取
，求得值≈
，取值越多，其值越接近
，我们猜测，若
时，比值为
与结论吻合……
几个六年级的小学生，能想到这样实属不易。
然而用这样方法让学生将同性质的物体用一种方法联系起来，还仅是少数学生能理解的。
其实，数学方法的习得将是一个融会贯通的过程。
接下来学生的释疑更让人刮目相看。
有这样一道题：
一个圆柱的侧面积是12.56平方厘米,底面半径是2厘米,那么这个圆柱的体积是多少？
如果用一般的思考方法，烦杂的计算令部分学生头疼。
这时，一学生的建议忽然让课堂变得轻松起来。
“老师，我觉得这道题还可以这样解，用侧面积的一半乘半径就是圆柱的体积。
”“我们学习圆柱体积公式推导时，把圆柱沿着底面半径进行平均切分，拼成一个近似长方形。
如果把这个长方形侧过来放，这时还是一个近似长方
形，它的底面就是圆柱侧面积的一半，高就是圆柱底面半径。
我们豁然开朗，一个简单的动作，却为我们开启了智慧方法之匙。
学生将“底面积乘高”这一方法构筑于一般意义之上，灵活而巧妙的将其延伸意自然地扩大了。
我们的教学，理应启迪学生这般的思考问题，活用方法，用此引导数学思维的历炼。
2、“有所作为，有所不为。
我想这应该是教学的至高境界，虽是一种教学的理想，但经验告诉我们，如果教师做足点上的功夫，接下来的教学会水到渠成，甚至会出乎想象。
似挖到一眼深泉，汩汩而行，交错于相互间的联系，通达于各支流。
“分数的认识”是学生对数的概念的一次质的飞跃。
在单元教学中，概念显得多而繁杂。
为使学生更好的理解和掌握，我试图从整体着眼，寻找这些知识的间能穿插的线索或是知识可归靠之处。
一个偶然的教学生成，让我发现了一条涌动于分数知识间的暗线------“将分数单位进行到底”。
片断1：
分数的大小比较。
A、同分母分数比较，因为分数单位相同，只要比较分数单位的个数即可。
分子哪个大，那个分数就大。
B、同分子分数比较，分数单位不同，分数单位大的那个数就大。
C、有些分数只与单位“1”差一个分数单位，分数单位越小，这个分数就越大。
这些解释皆用分数单位贯穿，真让人耳目一新，而且言简意赅。
片断2：
真、假分数的认识。
由于之前狭隘的表象，干扰了后续知识的习得。
如，用分数表示下面涂色部分：
图一图二
对于图二学生总会用
来表示。
教学时，我让学生分两方进行辩论。
最后双方以对分数单位的共识，完成对此知识的理解。
先确定单位“1”，再找分数单位。
图二以一个三角形为单位“1”，它的分数单位是
，有这样的5个，即
片断3：
“通分”的教学。
生：
……要比较
和
两个分数的大小。
我发现这两个分数的分母不同，也就是分数单位不同不能直接进行比较，只要把两个分数的分数单位变成一样，就可以了。
4和5的最小公倍数是20，
，
分数单位都是
，只要比较分子就行了。
解决这个问题方法有很多，但将分数单位突出把异分母分数化成同分母分数，不就是通分的实质吗？
也为接一来的分数加减法的教学作了极好的铺垫。
片断4：
分数四则计算。
学生的理解是：
同分母分数加减法，即是相同分数单位的个数（分子）相加减；
异分母分数相加减，则需要通分把它们的分数单位化成统一再计算。
学生还由此想到了整数、小数的加减法，不也是相同单位上的数才能相加减吗？
将只有相同单位上的数相加这一计算方法连成一体，完成了从整数、小数到分数一系列的统一。
即使在分数除法中，分数单位也显示了它的非凡作用。
对于分数除法算理的理解，相对于方法学生会感到因难。
采用这样的解释却令不少人顿悟：
如
，我们先求一个分数单位是多少？
即
，那么单位“1”中有这样5个分数单位，所以
……
课至如此，我倍感欣喜，一是学生深刻地理解了分数单位，课堂中是不会出现类似分子分母各自相加减的异状，学生对于算理的掌握清晰自然。
二是学生已然有了数的运算中的整体感，前后联系，一下把运算的本质特性理清了，数学理解的高境界就是回归简洁。
这种看似“无为”的境界，其实与最初的“有为”教学不无关系。
我们回放“分数单位”的最初教学：
课至归纳分数意义，学生表述：
把单位“1”平均分成若干份，表示这样几份的数，叫做分数。
因为少了概念中“表示这样的一份”的表述，教师加以引导：
你们说的这个几份，会是几分之几呢?
（学生例举分数。
）
师：
刚才有两个同学说到了
，这两个分数有什么不同呢？
单位“1”平均分得份数不同，一个是平均分成7份，一个是平均分成5份，但都取了两份。
如果都取4份各是多少？
并说明理由。
全取呢，各需几份？
为什么所需的份数不同？
因为两个分数表示的每份不同，单位“1”平均分成7份，每份是
；
平均分成5份，每份是
看来，在分数中表示的“每一份是多少”相当重要，这一份是构成分数的基本。
我们的分数概念中谁能把它补充进去?
在学生补充完整分数概念后，教师便自然引出了“分数单位”。
因为在课堂上舍得花了点时间，在完善分数意义的概念同时，突出“表示这样一份”的重要意义，而引出分数单位。
教学相长，随着课的深入，师生在彼此互动的教与学中，我们都发现“分数单位”竟是如此不能小觑，它在分数的学习中，犹如一把钥匙，为我们启智释源，回顾教学经历，这一气呵成的过程，不就完美成就了我们的教学结构吗？
而且提高学习效率，减轻课业负担。
3、“既见树木，又见森林。
整体规划，统筹兼顾。
在教学的起始就可以将知识全面的展现在学生面前，让它们获得一种整体的感性认识，再深入到具体内容，这样的教学充分体现了结构思想在教学中的应用。
其优点是学生在通晓知识范畴的前提下，加强学习的针对性，便于运用体系间的关联来完成整体的认知，教学的部分与总体间照应及时，部分与整体间的转换自如，博观而约取，有助于提高学习效果。
在新课程中，统计知识三分于数学的“天下”，并且在每个年段都有分布内容的落实，把统计的方法和思想系统而细致地展现出来。
相比于此，浙教版的课程则是在四、六年级中分两步集中学习，如何将课程理念与旧有知识体系进行有机结合。
我尝试在六年级的统计教学中，运用结构体系，完成这一内容的学习。
第一步，社会调查。
搜集统计的相关材料。
第二步，课堂交流。
通过学生间的各种材料呈现，初步感知统计的意义、统计结果表示方式，统计表（图）的分类等。
第三步，分类教学统计表（图）。
从它们的特点作用，制作方法，数学分析等角度深入学习统计的知识。
第四步，综合运用。
选取某一内容进行统计过程的全方位经历，并以恰当的统计表（图）的形式，将结果展示。
事实证明，教学效果比我预设的还要好，学生对于统计的知识得到了真正意义上的组建。
较之于按部就班的教学，其意义应远胜于表面所能看到的成果。
4、“兼听则明，偏信则暗”
数学知识间既有联系又有区别，解题的方法会因不同的思维习惯、思维风格呈现不同的风格，数学的交流将诸多的不解和不同，通过比较鉴别，纳入知识系统，有效沟通，形成思路，使认知结构更趋完善，也使学生的思维从狭隘走向广阔，从肤浅走向深刻，提高自我认知水平，催生有意的建构。
代数思想的教学是小学数学的一个重要转折点，即从算术的学习到代数的转变，从对数量的理解转向对“关系”的探讨。
它对后续学习有着重要用途。
方程的学习，不仅让学生掌握其特征，而且不妨通过比较，加深对知识的本质诠释，并纳入已有认知体系中。
下面是一则学生日记“论方程与算术的不同与优缺点”：
方程与算术，是两种不太一样的解题方法。
它们的不同之处在于：
方程在解题过程中是寻求一个与要求数有关的等量关系，依照此关系列出方程，运用一些性质来计算，而在解方程的过程中就与题目没多大关系。
算术解题通常是这样的关系（如下图）。
所以，算术解题法一般是先列出主要的“大算式”，再通过直接或间接条件求出大算式中的数量，最后求出答案，与方程不同的是比较有推理性和系统性。
要求的数量
‖
间接条件（或直接）与间接条件（或直接）数量关系
│ │
求得间接条件求得间接条件
\／
已知的条件
再说说它们的优劣。
比较简单的题，数量关系很明确，用算术解题比较合适。
此外，出于人性化考虑，算术过程简单、可靠，方程的过程如此复杂，有点小题大做。
这可不是说方程不好，在一些复杂关系的题目中，用算术解题就麻烦了，因为在各种数据中，很难找出相联的关系。
而这时候用方程把要求数量代入题目中，再把这个题目“简写”成算式，显得简单多了。
有人说方程解题就是“凑”，依我看并不如此，因为它也有精华，就是把题目用等量关系转写为算式。
因此，方程与算式，它们各有千秋，互相填补各自不足，在解题中巧妙运用这两种方法，那么解题就方便多了。
课堂上由于时间有限，我们让学生说真心话的时间总是那么短暂。
倾听孩子对学生的真实想法，为我们的教学真正走进学生真是大有裨益。
这则日记，是在学习方程解应用题后，这位学生有感而发撰写的文章。
他不仅表达了自己的想法，而且在比较中，进一步明确了用算术和方程解题各自利弊。
我想，有了这样一次的思考，在往后有解题方法选择上，这位学生一定记住了“灵活”两字。
丰富精彩的课堂，依赖于孩子们迥异的个性。
我们的教学要尊重学生的个格，让他们用口说我心，手写我心，这样的构建是一个生态的过程，因为它富有生长的生命力。
（三）凸显数学本质，用思想贯穿过程
让学生获得一种基本的数学思想方法是新课程一个新视角，使数学教学进一步往深刻层面探入。
结构的思想其本质也是一种重要的数学思想。
我们若把学生放在终身发展的链条上，用数学思想的覆盖，促使他们获得对数学的整体而深刻的理解，并致力于数学的兴趣和热情。
数学思想渗透于各个知识点中，作为不可或缺的组成部分。
审时度势地将思想“显山露水”，使学生明确其作用及特征。
起承转合，由点连线及面地将数学思想，于结构化的数学教学中的成为一种系列。
下面以几种常见的数学思想为例，管中窥豹，让我们感受数学思想由简单运用到发展成熟的系统化过程。
1、“启”------开启数形结合。
小学阶段的孩子虽然逻辑思维能力在不断的发展成长。
催生学生的数学思想，就要从整体出发，高屋建瓴，挖掘不同知识表层下的同一性，达到一贯而有效的教学目标。
纵观小学数学的教材，曾多次出现一组系列立体图（如图），从数的认识到形的计算，它的作用显露无遗。
如果以此为载体，用有意义的“形”来帮助认识和理解与此相关的“意”，数形结合，不仅是一种思想的传递，也是本质的剖析。
1，10，100，1000，完成对整数的认识，在出示的过程中体会计算单位的进率。
若是把每个个体看作单位“1”，则运用到小数的认识，1、0.1，0.01，0.001，与整数如出一辙，小数的性质也在形体变化中得以体现。
长度、面积、体积等知识正是在这些有形的物的构造中实现意义的认知。
有位数学家说过：
代数是有序的逻辑，几何是看得见的逻辑。
概念的演绎，我们通过这组几何模型将本质反映出来，数量之间的进率因为这个表征一览无余，便于学生接受和理解。
学生如果认为诸多独立的知识间存在着统一的思想或是管用的方法，那么数学的学习对他来说就会变得轻松而又清晰。
2、“承”------传承数学文化。
数学文化不是数学课堂的点缀，它是贯穿于数学学习中的一种思想浸润。
教师把数学文化知识穿插在学科知识技能的教学中，其所承载的不只是让学生在其中获得一种文化的认同、共鸣，就像数学为人类发展所作的推动作用一样，数学文化也要最大限度地感染推动学生数学的思考问题，是一种内涵的感悟。
所以对于内容的选择和加盟，将是一个富有结构且有计划的过程。
将古今中外的数学大师介绍给孩子们；
将数学的历史有机的渗透于各个学段；
将经典的数学问题适时地“投放”出来……数学文化有其显性的一面，但我们要深挖它隐性的作用，要以文化人。
《通俗数学译丛》的策划者叶中豪先生曾说：
数学是一种文化，而文化就是要被继承的东西。
继承的东西就是数学思想。
教学分数意义一课时，我尝试作了这样的文化渗透：
教学设计
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