华二数学校本教材Ch19 数学建模与数学文化定稿Word文档格式.docx
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首先要对实际问题进行适当的假设与简化，找出问题中的关键的量，这些量之间的相互关系，从而找出支配问题的内在规律，用数学的语言—公式、图表或算法来描述这种内在规律，然后用数学的方法进行演绎、推断。
这就是数学建模的过程。
一旦建立了数学模型之后，还需要对它用各种方法进行检验和验证。
建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。
综上所述，数学模型是运用数学工具对实际问题的数量侧面所作的刻画，它呈现的形式可以是函数、方程，也可以是计算程序乃至图表和图像等．通过对实际问题的分析、假设，建立数学模型，求解数学模型，讨论、验证和修正模型的全过程叫做数学建模．
数学建模的一般步骤是；
（1）分析问题，作假设．由于实际问题的复杂性，因此要分析数学建模的目的要求，已知条件是什么，所求的对象是什么．为简化问题一般要对有关陈述作假设，使问题更加明确．分析问题还包括变量的设置，单位的选用等．
（2）建立数学模型．根据问题的要求和假设，利用恰当的数学方法建立各种量之间的数学关系．在达到预期目标的前提下，应该采用尽可能简单的数学方法建立容易求解的数学模型，以便让更多的人接受和使用这种模型．
（3）求解数学模型．大多数数学模型的求解需要通过计算机计算，求解还包括画图、列表，必要时还要给出证明及制作计算机软件等．
（4）讨论、验证和修正模型．根据已经建立的数学模型的特点和求解结果，讨论、验证数学模型的适用范围、算法的精度和各种数据计算结果的可信程度等，并根据讨论、验证的情况进行修正．
上述四个步骤可以根据实际问题的具体情况灵活运用．有时可以合在一起，边分析、边寻找数学模型，如步骤
（1）和
（2）；
有时可以省略某些步骤．
例1包汤圆问题
问题：
通常1公斤面和1公斤馅，可以包100个汤圆。
今天，家里仍有1公斤面，但馅料却比1公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？
模型假设：
根据日常生活实践，以及为了简化问题，可以做如下假设：
1.皮的厚度一样，基本接近圆形
2.汤圆（饺子）的形状一样，基本接近球形
模型建立：
我们要研究的是面皮不变情况下，汤圆包大包小对馅料需求的变化。
为叙述方便引入如下变量，原问题的研究可以归结为探讨：
圆面积为S的一个大皮，设大皮半径为R，包成体积为V的大汤圆,现若把分成n个小圆皮，每个圆面积为s，小皮半径为r，包成体积为v的小汤圆。
我们要比较的是V与nv的大小关系。
因为面不变，所以
；
①
易知：
，
②
由假设知
③
根据上述三式，消去中间变量，
可得
。
④
模型分析与应用：
由公式④，即大小汤圆馅料模型，可知同等面皮时汤圆包大需要的馅料多。
假设原来1公斤馅包100个汤圆，现在用包2个汤圆的皮包1个大汤圆，即共包50个大汤圆，这时所需的馅料应该是原馅料的
倍，约1.4公斤馅料。
模型讨论与验证：
该模型可经过实践来检验。
在假设条件下，面积与半径成平方关系，体积与半径成立方关系。
因此体积之比是面积比值的1.5次方。
该模型的建立，使人们从传统的依据经验的定性判断上升为依据模型的定量计算。
人们不仅可以计算固定面皮情况下，馅料多少与汤圆的大小问题，反过来也可以计算固定馅料下，面皮多少与汤圆大小的问题。
根据该模型可有效实现面馅的恰当搭配，促进节约，也使得集团化、机械化的流水线操作变成可能。
例2．双重玻璃的功效
房间居室的窗户有的是双层的，即在窗户上装两层玻璃，且中间留有一定的空隙，试比较双层玻璃窗与单层玻璃窗的热量流失？
1．设双层玻璃窗的两玻璃的厚度都为d，两玻璃的间距为L；
单层玻璃窗的玻璃厚度为2d，所用玻璃材料相同，如图19-4
2．假设窗户的封闭性能很好，两层玻璃之间的空气不流动，即忽略热量的对流，只考虑热量的传导.
3.室内温度
和室外温度
保持不变，热传导过程处于稳定状态，即单位时间通过单位面积的热量为常数
4.玻璃材料均匀，热传导系数为常数.
图19-1
对于厚度为d的均匀介质，两侧温度差为
，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q满足
（k为热传导系数，设玻璃的热传导系数为
，空气的热传导系数为
）
（1）先考虑单层玻璃的单位时间，单位面积的热量传导
--------------------⑤
（2）考虑双层玻璃情形
此时热量先通过厚度为d的玻璃传导到两层玻璃的夹层空气中，再通过空气传导，再通过厚度为d的玻璃传导；
设内层玻璃的外侧温度为
，外层玻璃的内侧温度为
;
则有:
由⑤式可得
记
则
考虑两者之比
显然
也即双层玻璃的热量损失较小.
常用玻璃的热传导系数
，
而不流通,干燥空气的热传导系数
若取
则
故
-----------------⑥
，则
又此可见双层玻璃的保暖效果是相当可观的。
我国北方寒冷地区的建筑物，通常采用双层玻璃；
由⑥式，h=4时,
h再大，热量传递的减少就不明显了，再考虑到墙体的厚度；
所以建筑规范通常要求
.
课堂活动·
自己想
1．若例1中将问题中汤圆换成其他形状的物品（如菱形粽子），请你根据实际调整修正模型。
2．例2中若单层玻璃窗的玻璃厚度也是
，结果将如何？
你能讨论三层玻璃的功效？
大家谈
结合实际，谈谈你对“数学模型重要作用”的认识。
课外活动·
自己学
数学模型的分类
数学模型按照不同的分类标准有着多种分类。
（1）按照人们对原形的认识过程来分，数学模型可以分为描述性的数学模型和解释性的数学模型。
描述性的模型是从特殊到一般，它是从分析具体客观事物及其状态开始，最终得到一个数学模型。
客观事物之间量的关系通过数学模型被概括在一个具体的抽象的数学结构之中。
解释性的模型是由一般到特殊，它是从一般的公理系统出发，借助于数学客体，对公理系统给出正确解释的一种数学模型。
（2）按照模型的应用领域分，如人口模型、交通模型、电器系统模型、通信系统模型、机电系统模型、环境模型、生态模型、水资源模型、再生资源利用模型、传染病模型和污染模型等。
（3）按照建立模型的数学方法分，如几何模型、代数模型、图论模型、规划论模型、微分模型、最优控制模型、信息模型、随机模型、决策与对策模型、模拟模型等。
（4）按照模型的特征分，如静态模型和动态模型、确定性模型和随机模型、离散模型和连续性模型、线性模型和非线性模型等。
（5）按照对模型结构了解的程度分，有所谓的白箱模型、灰箱模型和黑箱模型，它们分别意味着人们对原型的内在机理了解清楚、不太清楚和不清楚。
自己找
最近几年，高中生、大学生数学建模竞赛方兴未艾。
请通过互联网查询有关竞赛信息，积极参加这类非常有意义的数学活动。
习题练习·
自己练
1、用一张长80厘米，宽50厘米的矩形铁皮做成一个无盖的长方体容器，使其容积尽量大？
试设计方案，并说明理由。
2、某宾馆有100间客房．经过一段时间的经营实践，宾馆经理得到一些数据：
如果每间客房定价为160元，入住率为55％；
每间客房定价为140元，入住率为65％；
每间客房定价120元，入住率为75％；
每间客房定价为100元，入住率为85％．要使每天收入最高，问每间住房的定价应是多少元。
*19.2初等数学方法建模
现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方法即可求解问题，我们称之为初等数学模型。
本节简要介绍几个有关图、自然数、比例关系、代数函数等建模例子，这些问题的巧妙的分析处理方法，可帮助读者达到举一反三，开拓思路，提高分析问题,解决实际问题的能力。
1.图论
图论是数学建模的重要方法，它起源于18世纪，第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。
在哥尼斯堡有七座桥将普莱格尔河中的两个岛及岛与河岸联结起来。
问题是要从这四块陆地中的任何一块开始通过每一座桥正好一次，再回到起点。
当然可以通过试验去尝试解决这个问题，但该城居民的任何尝试均未成功。
图19-2
大数学家欧拉为了解决这个问题，采用了建立数学模型的方法。
他将每一块陆地用一个点来代替，将每一座桥用连接相应两点的一条线来代替，从而得到一个有四个“点”，七条“线”的“图”。
哥尼斯堡七桥问题就转化成为从图19-2中任一点出发一笔画出七条线再回到起点。
欧拉考察了一般一笔画的结构特点，给出了一笔画的一个判定法则：
这个图是连通的，且每个点都与偶数线相关联，将这个判定法则应用于七桥问题，得到了“不可能走通”的结果，不但彻底解决了这个问题，而且开创了图论研究的先河。
2.鸽笼原理
鸽笼原理又称为抽屉原理，也是常用的初等数学建模方法。
抽屉原理可形象地描述为：
把
个苹果放入
个抽屉里，则必有一个抽屉中至少有2个苹果。
3.“奇偶校验”方法
所谓“奇偶校验”，即是如果两个数都是奇数或偶数，则称这两个数具有相同的奇偶性；
若一个数是奇数，另一个数是偶数，则称具有相反的奇偶性。
在组合问题中，经常使用“奇偶校验”考虑配对问题。
4.函数建模
函数的本质是变量与变量之间的对应关系，它反映了事物运动变化过程中的内在联系。
不少实际问题都可以抽象地概括成函数表达式，即建立一个函数模型。
许多数学模型就是利用基本的函数关系建立起的。
例1（棋盘问题）：
假设你有一张普通的国际象棋盘，一组对角上的两个方格被切掉，这样棋盘上只剩下
个方格（如图19-3）。
若你还有
块骨牌，每块骨牌的大小为
方格。
试说明用互不重叠的骨牌完全覆盖住这张残缺的棋盘是不可能的。
分析：
关键是对图19—3的棋盘进行黑白着色，使得相邻的两个方格有不同的颜色；
用一块骨牌覆盖两个方格，必是盖住颜色不同的方格。
我们计算一下黑白着色棋盘的黑格，白格个数，分别为
和
因此不同能用
块骨牌盖住这张残缺的棋盘。
用奇偶校验法，我们可以把黑色方格看成奇数方格，白色方格看成偶数方格；
因为奇偶个数不同，所以不能进行奇偶配对，故题中要求的作法是不可能实现的。
图19-3
例2动物体型问题
问题：
某生猪收购站，需要研究如何根据生猪的体长（不包括头尾）估计其体重？
模型假设：
1．将四足动物的躯干（不含头尾）视为质量为m的圆柱体，长度为
，截面面积
，直径为d（如图19-4）
图19-4
2．把圆柱体的躯干看作一根支撑在四肢上的弹性梁，动物在体重f作用下的最大下垂为
，即梁的最大弯曲，根据弹性力学弯曲度理论，有:
--------------------------①
3．以生物进化学的角度，可认为动物的相对下垂度
已达到一个最合适的数值，也即
为常数
;
----------------------②
由①式可令
为比例常数
由②式
令
由假设3，
为常数
因此生猪的体重与体长的四次方成正比，在实际工作中，工作人员可由实际经验及统计数据找出常数K，则可近似地由生猪的体长估计它的体重。
1、设一所监狱有
间囚室，其排列类似
棋盘，看守长告诉关押在一个角落里的囚犯，只要他能够不重复地通过每间囚室到达对角的囚室（所有相邻囚室间都有门相通）,他将获释，问囚犯能否获得自由？
2、一个工厂得到任务需要加工6000个零件A和2000个零件B，该厂共有工人214名，每个人加工5个零件A的时间可以加工3个零件B。
现将工人分成两组，分别加工一种零件，同时开始。
问应如何分组才能使任务最快完成？
19．3数学与经济（Mathematicalandeconomic）
近几年来，随着我国市场经济的发展，人们的钱包正在越来越鼓，收入的途径越来越多，有工资、奖金、岗位津贴、股市、债券、期货等证券交易收入，企业股份持有的分红收入，甚至还有中彩票的意外收入等等。
但是花钱的地方也越来越多，以前的开门的几件事：
柴、米、油、盐、酱等支出已显得微不足道，而住房的改善，私家车的购买……需要许多钱，从而就出现了：
“首付，按揭”等词汇的出现。
然而在人们的这些经济生活中哪一样都离不开数学。
例1香港教材中有这样一个问题：
公说公有理，婆说婆有理
问题是这样的：
某企业有5个股东，100名工人。
年底公布经营业绩，如表所示。
1990
1991
1992
股东红利
5万
7。
10万
工资总额
12。
15万
在企业从业人员大会上，股东老板上台画了一张图（图1），标题是“有福共享，有难同当”。
图上是两条平行线。
三年来工资和股红都增加了五万元，劳资双方的利益同步增加。
图1图2图3
但是，工会的负责人说，我也来画一张图（图2）。
大家都以1990年为基础，定为100%。
三年来，工资总额从10万到15万，增长了50%，而股红却从5万到10万，增长了100%，翻了一番。
所以，工资增长速度赶不上股红速度，今后应当更多加工资。
一位工人的发言指出，每个工人的平均工资从1000元增加到1500元，股东红利从1万增至2万。
我也画一个图（图3）。
标题是“一个太高，一个太低”。
工人的工资应该多多增加。
说明相同的数据从不同的角度看能得出完全不同的结论。
例2利用计算器比较函数
与
数值的变化。
解：
函数
的底数只比1大0.01，取
，与线性函数
，当x＝10时的取值1.10相差很小，没有看出这两个函数的差异。
但是当取x=2000,x=5000时，容易算得
很大，然而
简直就是天文数字了，已经不是线性函数
当x=2000时,
；
当x=5000时，
所能比的了。
而
，从投资角度看这是年利率为1％的复利公式，这样一个极低的利率（最近一年银行一年期存款利率在2.5％----4.14％之间），只要有足够长的年限，也会有很高的收益，这就是复利（就是指数函数）的威力。
巴菲特，这位世界最著名的美国投资家，世界第二富翁（2007年底已经是世界首富了），他50多年投资的平均年复利收益率基本上在30％左右，简单计算就可以得到，50年的财产增加约49万倍！
可见通过数学可以指导日常的经济生活。
课堂活动.大家谈
谈谈我们的日常生活中还有那些经济活动涉及数学？
1）在网上找一下公民纳税的具体计算方案，并利用它帮父母算一下每个月应纳的税额是多少？
2）在网上找一下房贷的还款方式有哪些？
如果家里贷款买房，问一下父母采用的是哪种方案，为什么？
课外活动.自己练
1）汽车折旧问题：
一辆汽车新的时候价值25万元，若1年后折旧率为20%，以后每年折旧该年初的10%，问
（1）第一年年底该汽车价值多少？
（2）第十年年底该汽车价值多少？
2）有奖销售问题：
某商场门口贴了一张有奖销售的广告：
一、凡累计批发额满1000元或累计零售额满400元，发奖券一张（奖券10000张发完为止）。
二、奖品设立：
特等奖2名2000元（奖品），一等奖10名800元（奖品），二等奖20名200元（奖品），三等奖50名100元（奖品），四等奖200名50元（奖品），五等奖1000名20元（奖品），奖品总金额51000元，中奖率12。
82%。
请计算奖品总金额占销售总额的比例，并与该商场实行九八折的销售方法相比较。
19．4数学与艺术（MathematicsandArts）
1．乐谱中的数学：
数学是一门形式符号体系的学问，符号的使用使数学简洁明了；
数学是以数字为基本符号的排列组合，它是对事物在量上的抽象，并通过种种公式，揭示出客观世界的内在规律：
而音乐是以音符为基本符号加以排列组合，它是对自然音响的抽象，并通过这些符号的组织安排研究现实世界音响形式及对其控制的艺术。
德国著名哲学家、数学家莱布尼茨曾说过：
“音乐，就它的基础来说，是数学的。
”
乐谱是音乐的文字记录，是数学对音乐影响的第一个显著的领域。
比如简谱是最直观的数字化表现，在乐稿上，我们看到每分钟多少拍，或者是一个大概的范围。
节拍4／4拍、3／4拍，等等，其中“分子”是表示以多少分音符为一拍，“分母”是表示每小节多少拍。
在每一个小节里有各种音符，音符的样子决定它的时间长度，全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符……都与数学紧紧联系。
书写乐谱时确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应。
2．黄金分割与音乐
黄金分割比例与音乐中高潮的位置有着密切的关系。
我们分析许多著名的音乐作品，发觉其中高潮的出现都和黄金分割点相接近，位于结构中点偏后的位置：
小型曲式中8小节一段式，高潮点约在第5小节左右；
16小节二段式，高潮点约在第10小节左右；
24小节带再现三段式，高潮点在第15小节左右。
如《梦幻曲》是一首带再现三段曲式，由A、B和A′三段构成。
每段又由等长的两个4小节乐句构成。
全曲共分6句，24小节。
理论计算黄金分割点应在第14小节（24*0.618=14.83），与全曲高潮正好吻合。
如莫扎特《D大调奏鸣曲》第一乐章全长160小节，再现部位于第99小节，不偏不依恰恰落在黄金分割点上（160*0.618=98.88）。
据美国数学家乔巴兹统计，莫扎特的所有钢琴奏鸣曲中有94%符合黄金分割比例，这个结果令人惊叹。
美国有一位音乐家认为，“我们应当知道，创作这些不朽作品的莫扎特，也是一位喜欢数字游戏的天才，莫扎特是懂得黄金分割，并有意识地运用它的”。
贝多芬《悲怆奏鸣曲》第二乐章全曲共73小节。
理论计算黄金分割点应在45小节，在43小节处形成全曲激越的高潮与黄金分割区基本吻合。
肖邦的《降D大调夜曲》是三部型曲式。
全曲不计前奏共76小节，理论计算黄金分割点应在46小节，再现部恰恰位于46小节，是全曲力度最强的高潮所在，真是巧夺天工。
3．黄金分割与美术
古今中外，人们把黄金分割誉为“天赋的比例法则”，这是因为符合这种分割的物体或几何图形，能使人感到和谐悦目，在自然界和艺术品中有许多符合黄金分割的比例关系。
十九世纪法国艺术大师罗丹曾说过：
“人体是视觉世界中最完美的形体”。
人的形体之美，主要体现在自身各部分比例关系的协调。
理想的人体的上、下身比例也体现了“黄金分割”原则。
如果把一个人的身体，以肚脐为分割点，则上身的长与下身的长之比例接近于0.618，肩宽和臀宽的平均数与肩峰到臀底的长度之比也接近于0.618.
绘画家们常把黄金分割运用到画面的构图中，从而获得和谐而均衡的布局。
法国印象派画家休拉（G。
Seurat）的画作〈阿尼埃尔沐浴〉（1883）中的三个黄金矩形。
课外活动.自己找
“三分损益法”--------我国发明的关于计算音阶频率的方法。
1）测量一下双门冰箱的两扇矩形门，能得到什么结论？
2）你知道在法国卢浮艺术博物馆有一座珍贵的雕塑——米洛的维纳斯吗？
这座雕像从头顶到肚脐的高度与肚脐到座底的高度之比为多少吗？
19．5数学与社会（MathematicsandSocialist）
1．数学与文学
数学与语言文学是整个中、小学时代最基础、最重要的两门学科。
语言学是所有人生活、学习和工作最必需的。
而数学是所有科学技术、社会统计、商业贸易等所必需的。
因而这两个学科的结合是自然的。
数学和语言有着深刻的联系，并且数学是研究语言学的不可缺少的重要工具。
1847年，俄国数学家布里可夫斯基提出，利用概率论进行语言法、词源和语言历史的比较研究。
1894年，瑞士语言学家索绪尔指出：
“在基本性质方面，语言中的量和量的关系可以用数学公式有规律地表达出来。
”1904年，波兰语言学家库尔特内认为，语言学家提出了数学与语言学联姻的必要。
1907年，俄国数学家马尔可夫在对俄语的语序进行研究，而提出了随机过程，现在称为马尔可夫随机过程，开始了数学家对语言学的研究。
计算机的出现，使数学与语言学的联系更加密切。
用数学方法研究语言现象给语言以定量化与形式化的描述，称为数理语言学，它既研究自然语言，也研究各种人工语言，例如计算机语言。
已经有许多例子说明，统计语言学
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