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套利定价理论

套利定价理论概述

套利定价理论APT（ArbitragePricingTheory）是CAPM的拓广,由APT给出的定价模型与CAPM一样,都是均衡状态下的模型,不同的是APT的基础是因素模型。

套利定价理论认为，套利行为是现代有效率市场（即市场均衡价格）形成的一个决定因素。

如果市场未达到均衡状态的话，市场上就会存在无风险套利机会.并且用多个因素来解释风险资产收益，并根据无套利原则，得到风险资产均衡收益与多个因素之间存在（近似的）线性关系.而前面的CAPM模型预测所有证券的收益率都与唯一的公共因子（市场证券组合）的收益率存在着线性关系。

套利定价理论的基本机制

　　套利定价理论的基本机制是：

在给定资产收益率计算公式的条件下，根据套利原理推导出资产的价格和均衡关系式。

ＡＰＴ作为描述资本资产价格形成机制的一种新方法，其基础是价格规律：

在均衡市场上，两种性质相同的商品不能以不同的价格出售。

套利定价理论是一种均衡模型，用来研究证券价格是如何决定的。

它假设证券的收益是由一系列产业方面和市场方面的因素确定的。

当两种证券的收益受到某种或某些因素的影响时，两种证券收益之间就存在相关性。

套利定价理论假设[2]

假设一:

无摩擦的市场.

假设二:

无操纵市场.

假设三:

无制度限制.

假设四:

资产收益由因素模型决定.

假设五:

同质预期

假设六:

市场上存在无风险资产

假设七:

满足无套利原理

套利定价理论的模型[2]

一、因素模型（factormodels）

套利定价理论的出发点是假设证券的回报率与未知数量的未知因素相联系。

因素模型是一种统计模型。

套利定价理论是利用因素模型来描述资产价格的决定因素和均衡价格的形成机理的。

这在套利定价理论的假设条件和套利定价理论中都清楚的体现出来。

线性多因素模型的一般表达为:

（1）

或r=a+B*F+ε　　

（2）

其中:

代表N种资产收益率组成的列向量.

代表K种因素组成的列向量

是常数组成列向量

是因素j对风险资产收益率的影响程度,称为灵敏度（sensitivity）/因素负荷（factorloading）.组成灵敏度矩阵.

是随机误差列组成的列向量.

　　并要求:

　　（3）

　　定义：

对于一个有N个资产,K种因素的市场,如果存在一个证券组合

使得该证券组合对某个因素有着单位灵敏度,而对其他因素有着零灵敏度.那么该证券组合被称为纯因素证券组合.

　　该组合对于的总收益率:

　　（4）

构造纯因素证券组合时,不妨设第一个因素为纯因素,于是构造转换成解线性方程:

　　（5）

　　进而:

（6）

　　其中:

rf是无风险收益率,λ每单位灵敏度的某因素的预期收益溢价.

　　由式（5）可见纯因素证券组合不只一种，那么这些不同的证券组合，是否会产生同样的期望收益呢？

答案是肯定的，这就涉及到无套利均衡。

二、无套利均衡（noarbitrageequilibrium）

　　套利和无套利是现代金融的最基本的概念之一.

　　定义:

套利机会（ArbitrageOpportunity）

　　存在一个交易策略

满足以下4个条件:

　　1）不需要任何投入,自我融资（self-financing）

　　lTwA=0　　（7）

　　2）对所有因素风险完全免疫

　　BTwA=0　　（8）

　　3）对所有非因素风险完全免疫

　　（9）

　　4）当资产数目足够多时,期末可以获得无风险收益

　　（10）

　　无套利原理:

在市场均衡时刻，不存在任何套利机会.

　　无套利原理已经成为了现代金融学的基本假设,今后的微观金融学笔记将会反复讨论这个概念.

套利定价理论的实证分析

我们从沪市选取江苏琼花、精工科技、科华生物、苏宁电器、七喜控股、武钢股份、马钢股份、广钢股份、宝钢股份、宁夏恒力、抚顺特钢、华夏银行、招商银行、民生银行、中信证券、空港股份、新黄浦、外高桥、招商地产、中粮地产、北京城建、陆家嘴、上海新梅、北京城乡、长江电力、涪陵电力等35只股票以及上证指数、深圳指数2005年8月15日至2007年8月13日的收盘复权价格（每只股票共463个数据，空缺数据用均值插补法补齐），这35只股票涉及中小板块8家，钢铁板块7家，金融板块4家，房地产板块9家，电力板块7家，选取股票的方式基本上为选取这五个板块的股票号码靠前的几只股票，当然每个板块都包含股本大的股票以及股本小或者相对小的股票。

用

表示第i种风险股票在时刻t的价格，

表示第i种股票在时刻t的收益率，用

表示市场证券在时刻t的价格，

表示市场证券在时刻t的收益率,其中用沪市指数的收益率表示沪市市场证券的收益率，深市指数的收益率表示深市市场证券的收益率，无风险收益率为2005年4月发行的3年期国债的年利率（3.37%），收益率以百分之一为单位。

构造一个指数，其收益率为这35种股票收益率的平均值，该指数在2005年8月15日的“价格”为100，实际上，这样的指数很容易构造，其价格为所有股票价格的几何平均值除以基期所有股票价格的几何平均值再乘以100即可，这种指数记为EW。

下面根据APC方法的步骤，我们来进行实证分析。

第一步，公共因子及其贡献率。

由于收益率以百分之一为单位，并且样本数据较大，因此公共因子的特征值较大，第一个特征值竟达9981484.221，前面10个公共因子的特征值都大于20000，从第11个公共因子开始后面所有公共因子的特征值都小于20000。

公共因子变量和他们的特征值的散点图见图1。

从图1可以看出，前面5个公共因子的特征值变化比较明显，这5个公共因子的方差累计贡献率达到96.8%，也就是说这5个公共因子大约包含了原始数据96.8%的信息，因此用这5个公共因子作为APT多因素模型中的公共因子在一般情况下是可行的；如果对APT多因素模型的要求较高，前面10个公共因子基本上足够了，因为由前面10个公共因子构成的初始解中，他们的累计贡献率达98.4%；在所有的特征值中，第一个特征值的贡献率最大，它包含了原始数据的92.1%的信息，远远超出其他公共因子。

图1特征值以及累积贡献图

第二步，以上面35种股票以及EW为被解释变量（或因变量），分别对第一个公共因子和相应的市场证券收益率进行回归，得到的结果见表1（由于篇幅有限，因此只列出其中13只股票以及EW的回归结果）。

在单因子APT模型（如果APT模型中只含一个公共因子，则称此模型为单因子APT模型，含五个公共因子，则称为五因子APT模型，依此类推）中，所有的股票以及EW的常数项a和ai1显著的不为0，所以在表1中没有表示出来。

从表1，针对单因子APT模型，我们可以得出如下结论：

（1）第一个公共因子对这35只股票以及EW存在显著的影响。

从表1可以看出，所有的股票以及EW的系数ai1都显著的不为0，因此，第一个公共因子对这35只股票以及EW的收益率存在显著的影响。

（2）在相同的板块内，第一个公共因子对股本大的股票收益率的贡献基本上要小于对股本小的股票收益率的贡献；但是在不同的板块之间，不存在上述关系。

例如，公共因子1个单位的变化，给涪陵电力的收益率带来0.7992个单位的变化，而仅给长江电力的收益率带来0.3897个单位的变化；公共因子值增加1个单位，给宁夏恒力、包钢股份、宝钢股份收益率带来的贡献分别为0.8741、0.6914、0.4893个单位，而他们的流通股股本安从小到大的顺序排列恰好为宁夏恒力、包钢股份、宝钢股份；当然也有例外，例如空港股份流通盘小于北京城建，增加1单位的公共因子对北京城建的贡献（0.8452）大于对空港股份的贡献（0.8092），但是相差不大，远远小于前面例子中的差异。

中粮地产与精工科技属于不同的板块，尽管精工科技的股本小于中粮地产的股本，但是第一个公共因子对精工科技收益率的贡献小于对中粮地产收益率的贡献。

（3）在所有股票的单因子APT模型回归方程的显著性检验中，F检验的显著性检验值p为0，这说明在置信度为5%的条件下，回归方程显著，即所有股票的收益率和第一个公共因子存在线性关系。

（4）从拟合优度的角度来看，在相同的板块内，股本大的股票收益率的拟合优度要小于股本小的股票收益率的拟合优度；但是在不同的板块之间，不存在上述关系。

例如，在单因子APT模型拟合中，涪陵电力的R2为0.5391，也就是说第一个公共因子解释了涪陵电力收益率53.91%的波动（方差），而长江电力的R2为0.2309，第一个公共因子解释了长江电力收益率23.09%的波动（方差）；第一个公共因子对宁夏恒力、包钢股份、宝钢股份收益率波动的解释能力分别为45.54%、39.88%、33.43%，而他们的流通股股本按照从小到大的顺序排列恰好为宁夏恒力、包钢股份、宝钢股份；同样，第一个公共因子对精工科技、江苏琼花和苏宁电器的解释能力也说明这一点。

这从侧面说明，小盘股票的股价容易操纵一些，而大盘股票的股价比较难操纵一些。

（5）从拟合优度的角度来看，EW的R2为0.9967，也就是说第一个公共因子解释了EW收益率99.67%的波动（方差），远远高于对单只股票收益率波动的解释程度，因此用单因子APT模型对我国风险市场的股票进行套利定价是有效的。

（6）除了EW以外，第一个公共因子对其他股票收益率波动的解释能力在13.53%至58.5%之间。

表1单因子APT模型以及CAPM的参数估价

单因子APT模型

CAPM

ai1

F检验

βm

F检验

0.424

0.7021

0.9967

1.0612

0.7983

空港股份

0.3636

0.8092

0.4935

1.1104

0.3355

北京城建

0.6342

0.8452

0.479

1.2513

0.3728

中粮地产

0.5174

0.6083

0.2522

0.2441

涪陵电力

0.3299

0.7992

0.5391

1.1167

0.3804

长江电力

0.3388

0.3897

0.2309

0.7044

0.2705

江苏琼花

0.2717

0.7744

0.5293

0.9908

0.314

苏宁电器

0.6685

0.4343

0.1353

0.8464

0.1816

精工科技

0.1958

0.7709

0.585

1.0326

0.3813

招商银行

0.4748

0.4335

0.2447

0.9664

0.431

中信证券

0.7024

0.7033

0.3148

1.2769

0.3668

宝钢股份

0.4047

0.4893

0.3343

0.9674

0.466

包钢股份

0.4611

0.6914

0.3988

1.0639

0.3311

宁夏恒力

0.2982

0.8741

0.4554

1.1032

0.2631

注：

在对CAPM进行参数估计时，由于每只股票的常系数参数的p值都大于0.1，因此在置信度为10%的条件下，不能拒绝零假设，因此令常系数项为0，重新进行参数估计，具体见表1。

第三步，剩余公共因子解释能力的显著性检验。

从表1可以看出，单因子APT模型解释了EW收益率的大部分波动，对其它股票的波动解释能力在13%至60%之间，那么就存在其它公共因子是否有必要加入APT模型成为公共因子的问题。

为了解决这个问题，本文应用Wald检验对除第一公共因子以外的其它公共因子在APT模型中（五因子APT模型与十因子APT模型）的解释能力进行检验，具体结果见表2。

从表2可以看出，在10%的置信度水平下，第二、三、四、五个公共因子对所有股票的解释能力显著，第六、七、八、九、十个公共因子除了对涪陵电力的解释能力不显著以外，对其它股票的解释能力显著。

因此很有必要研究五因子APT模型以及十因子APT模型。

表2剩余公共因子解释能力的显著性检验

Test

　Onefactorvs.fivefactors　

　fivefactorvs.tenfactors　

股票

aF4,458

bp-value

aF5,452

bp-value

273.000

（<0.001）

77.333

0.0000

空港股份

29.254

（<0.001）

24.373

0.0000

北京城建

38.241

（<0.001）

42.387

0.0000

中粮地产

95.358

（<0.001）

20.663

0.0000

涪陵电力

18.082

（<0.001）

0.956

0.4443

长江电力

9.132

（<0.001）

29.744

0.0000

江苏琼花

20.743

（<0.001）

13.186

0.0000

苏宁电器

54.636

（<0.001）

437.146

0.0000

精工科技

22.450

（<0.001）

15.990

0.0000

招商银行

79.054

（<0.001）

33.171

0.0000

中信证券

40.287

（<0.001）

181.466

0.0000

宝钢股份

88.624

（<0.001）

9.585

0.0000

包钢股份

53.259

（<0.001）

21.508

0.0000

宁夏恒力

35.509

（<0.001）

19.221

0.0000

注：

aWald检验中的统计量在零假设下服从F分布，bp-value表示在零假设下获得一个更大统计量的概率。

第四步，以上面35种股票以及EW为被解释变量（或因变量），分别对前面五个公共因子进行回归，得到的结果见表3（由于篇幅有限，因此只列出其中13只股票以及EW的回归结果）。

在五因子APT模型中，所有的股票以及EW的常数项a和ai1显著的不为0，所以在表1中没有表示出来。

从表3，我们可以得出如下结论：

（1）所有股票（包括EW）第一个公共因子的系数都显著地不为0，并且都是正数，因此第一个公共因子对所有股票的收益率产生正的影响，如同沪深指数一样，第一个公共因子可以作为股票市场的总体趋势指标。

（2）从总体来看，第二、三、四、五个公共因子对所有股票以及EW的收益率波动都具有很强的解释能力，但他们单独的解释能力都小于第一个公共因子的解释能力。

（3）在相同的板块内，第二个公共因子对所有的股票收益率要么都产生正的影响或者都产生负的影响，第三、四个也同样如此（苏宁电器除外，因为尽管苏宁电器、精工科技和江苏琼花等同属于中小板，但是其流通股本达9.76亿，远远高于其他几只股票，同时从行业的角度看，苏宁电器属于零售业，和精工科技和江苏琼花等也不属于同一行业）。

例如，第二个公共因子1个单位的变化，分别给宁夏恒力、包钢股份、宝钢股份的收益率的贡献率带来-3.4657、-1.4212和-0.4064个单位的变化，这说明股票的价格波动存在板块效应。

（4）结合表1和表3，从拟合优度变化的角度来看（见表4），在其它相同的板块内，股本大的股票拟合优度的变化要大于对股本小的股票拟合优度的变化。

例如，房地产板块中空港股份拟合优度的变化为0.144，即加入4个公共因子以后，APT模型空港股份收益率的波动解释能力从原来的49.35%提高到63.77%，提高了14.4个百分点，而对北京城建拟合优度的变化为0.1783，中粮地产拟合优度的变化为0.4223，而他们的流通股股本安从小到大的顺序排列恰好为空港股份、北京城建、中粮地产，这说明这四个公共因子的加入对大股本股票收益率的波动的解释能力的提高高于小股本股票收益率的波动的解释能力的提高。

表3五因子APT模型的参数估价

ai1

ai2

ai3

ai4

ai5

F检验

0.424

0.7021

0.1456

0.1571

-0.2279

-0.0282

0.9993

空港股份

0.3636

0.8092

0.6816

-1.6293

1.4618

-4.99

0.6377

北京城建

0.6342

0.8452

2.5604

-1.9445

0.9528

-3.4322

0.6573

中粮地产

0.5174

0.6083

3.847

-0.5835

2.7906

6.9778

0.6745

涪陵电力

0.3299

0.7992

-1.6443

-0.6558

-1.4493

-2.3023

0.6301

长江电力

0.3388

0.3897

1.2523

-2.5

0.3159

江苏琼花

0.2717

0.7744

-2.0862

-0.9173

1.5186

0.6329

苏宁电器

0.6685

0.4343

1.9257

-1.3331

-6.8187

1.5671

0.504

精工科技

0.1958

0.7709

-1.6612

-1.1347

-0.9567

1.5157

0.6821

招商银行

0.4748

0.4335

3.1439

2.1925

-0.7198

-1.1936

0.6361

中信证券

0.7024

0.7033

3.0458

1.0755

-3.2418

3.9726

0.5574

宝钢股份

0.4047

0.4893

-0.4064

3.9441

0.6982

包钢股份

0.4611

0.6914

-1.4212

3.8524

1.3129

-0.035

0.6514

宁夏恒力

0.2982

0.8741

-3.4657

2.98.8

0.6328

注：

a五因子APT模型进行参数估计时，由于标记a参数的p值都大于0.1，因此在置信度为10%的条件下，不能拒绝零假设，因此此参数为0，重新进行参数估计，具体见表3。

表4拟合优度的变化

股票

空港股份

北京城建

中粮地产

涪陵电力

长江电力

江苏琼花

苏宁电器

拟合优度变化

0.1442

0.1783

0.4223

0.091

0.085

0.1036

0.3687

股票

精工科技

招商银行

中信证券

宝钢股份

包钢股份

宁夏恒力

拟合优度变化

0.0971

0.3914

0.2426

0.3639

0.2526

0.1774

第五步，CAPM和单因子APT模型、五因子APT模型的比较研究。

（1）从CAPM的参数估价来看，这35种股票以及EW的常数项零假设检验时都不能拒绝零假设，而市场证券收益率的系数显著的不为零，其拟合优度在0.18至0.47左右，因此市场证券的波动对所有股票价格的波动存在显著的解释能力。

（2）从表1可以看出，用CAPM拟合大盘股收益率的效果好于用单因子APT模型拟合同一只股票收益率的效果，而拟合小盘股收益率的效果恰好相反。

例如，用CAPM拟合长江电力、宝钢股份、中信证券、招商银行时，他可以解释这些股票收益率的波动程度分别为27.05%、46.6%、36.68%、43.1%，而用单因子APT模型拟合上述股票时，他可以解释这些股票收益率的波动程度分别为23.09%、33.43%、31.48%、24.47%；用APT去估计空港股份时，其收益率波动的解释能力为49.35%，高于用CAPM去估计空港股份收益率波动33.55%的解释能力，其它诸如北京城建、江苏琼花、精工科技也同样如此。

造成这一结果的主要原因为沪深两市的指数是以一些主要股票尤其大盘蓝筹股的股价为基础加权而成，诸如精工科技、江苏琼花这些小盘股根本没有被选入股指，而且在构造这两个指数时，以被选入股指的股票的股本为权重，有些中小盘股即使选入，但是由于股本较小，对指数的作用效果有限，因此沪深两市的指数含有大盘股股价的信息远远高于其含有中小盘股股价的信息。

（3）综合表1和表3，用五因子APT模型拟合所有股票收益率的效果好于用CAPM拟合相应股票收益率的效果。

导致这一结果的主要原因为前5个公共因子大约包含了原始数据绝大多数信息。

第六步，拟合比较。

比较两个或几个模型的优劣，有一种比较直观的办法，那就是首先制作一个覆盖所有股票样本的指数（在本文中应覆盖实证分析中所选的35种股票），然后求出指数的实际价格、各种模型的预测价格，把这些价格在同一张图上描述出来，然后做直观的比较，与实际价格曲线越接近的价格预测曲线对应的模型就越好，在本文中以EW为指数。

（1）估计十因子APT模型的系数，具体见表5。

表5十因子APT模型的系数估计

常数项

f10

系数

0.424

0.702

0.146

0.157

-0.228

-0.028

-0.085

0.008b

-0.135

0.170

-0.066

0.9997

零假设检验的p值

0.000

0.005

0.000

0.481

0.000

系数

0.424

0.702

0.146

0.157

-0.228

-0.028

-0.085

-0.135

0.170

-0.066

0.9997

零假设检验的p值

0.000

0.005

0.000

注：

b十因子APT模型进行参数估计时，由于标记b参数的p值都大于0.1，因此在置信度为10%的条件下，不能拒绝零假设，因此此参数为0，重新进行参数估计，具体结果见表5第三行与第四行。

（2）原始价格的计算。

，

，其中

表示EW在时刻t的价格，

，

表示EW在时刻t的实际收益率，其值为这35种股票收益率的平均值。

（3）模型的预测价格的计算。

，

，其中

表示EW在时刻t的预测价格，

，

表示EW在时刻t的预测收益率，其值是根据相应的模型求出的。

作图时，为了观察清楚，我们以3周为周期将EW的实际价格、各种模型的预测价格在同一张图上表示出来，具体见图2。

从图2可以看出，在拟合EW指数时，应用单因子APT模型、五因子APT模型、十因子模型对原始价格进行预测时，误差很小；而应用CAPM来对原始价格进行预测时，在0到14以及23到25这两个时间区间，差误不大，但是在其它区间，误差较大，例如在15到23这一时间区间，运用CAPM预测出来的价格持续高于原始价格，在19这一点，预测价格高于原始价格约60，高出原始价格37.5个百分点；而在26到30这一时间区间，运用CAPM预测出来的价格持续低于原始价格，在28这一点，预测价格低于原始价格约50，低于原始价

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