中考复习专题数学思想方法.docx

中考复习专题数学思想方法.docx

《中考复习专题数学思想方法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考复习专题数学思想方法.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

中考复习专题数学思想方法

2015年中考数学复习专题讲座一：

数学思想方法

（一）

一、中考专题诠释

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．

二、解题策略和解法精讲

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：

整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲

考点一：

整体思想

整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。

整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

例1.110．（2012•德州）已知，则a+b等于（　　）

　A．3B．C．2D．1

考点：

解二元一次方程组。

专题：

计算题。

分析：

①+②得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案．

解答：

解：

，

∵①+②得：

4a+4b=12，

∴a+b=3．

故选A．

点评：

本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．

运用整体思想方法解题，要有强烈的整体意识，要认真分析问题的条件或结论的表达形式、内部结构特征，不拘泥于常规，不着眼于问题的各个组成部分，从整体上观察，从整体上分析。

运用整体思想方法，往往能起到化繁为简，化难为易的效果。

例1.2．（4分）（2014年山东淄博）当x=1时，代数式ax3﹣3bx+4的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（　　）

A．7B．3C．1D．﹣7

考点：

代数式求值．菁优网版权所有

专题：

整体思想．

分析：

把x=1代入代数式求值a、b的关系式，再把x=﹣1代入进行计算即可得解．

解答：

解：

x=1时，ax3﹣3bx+4=a﹣3b+4=7，

解得a﹣3b=3，

当x=﹣1时，ax3﹣3bx+4=﹣a+3b+4=﹣3+4=1．

故选C．

点评：

本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键．

　练习（山东淄博本题满分8分）

关于x的一元二次方程有实根.

（1）求a的最大整数值；

（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求的值.

考点二：

转化思想

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。

在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。

转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。

例2（2012•内江）已知A（1，5），B（3，﹣1）两点，在x轴上取一点M，使AM﹣BM取得最大值时，则M的坐标为　　．

考点：

一次函数综合题；三角形三边关系；关于x轴、y轴对称的点的坐标。

分析：

作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．利用待定系数法求出直线AB′的解析式，然后求出其与x轴交点的坐标，即M点的坐标．

解答：

解：

如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′并延长与x轴的交点，即为所求的M点．此时AM﹣BM=AM﹣B′M=AB′．

不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B．

则M′A﹣M′B=M′A﹣M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．

∴M′A﹣M′B＜AM﹣BM，即此时AM﹣BM最大．

∵B′是B（3，﹣1）关于x轴的对称点，∴B′（3，1）．

设直线AB′解析式为y=kx+b，把A（1，5）和B′（3，1）代入得：

，解得，

∴直线AB′解析式为y=﹣2x+7．令y=0，解得x=，∴M点坐标为（，0）．

故答案为：

（，0）．

点评：

本题可能感觉无从下手，主要原因是平时习惯了线段之和最小的问题，突然碰到线段之差最大的问题感觉一筹莫展．其实两类问题本质上是相通的，前者是通过对称转化为“两点之间线段最短”问题，而后者（本题）是通过对称转化为“三角形两边之差小于第三边”问题．可见学习知识要活学活用，灵活变通．

考点三：

分类讨论思想

在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。

分类的原则：

（1）分类中的每一部分是相互独立的；

（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．　

例3（2012•黔东南州）我州某教育行政部门计划今年暑假组织部分教师到外地进行学习，预订宾馆住宿时，有住宿条件一样的甲、乙两家宾馆供选择，其收费标准均为每人每天120元，并且各自推出不同的优惠方案．甲家是35人（含35人）以内的按标准收费，超过35人的，超出部分按九折收费；乙家是45人（含45人）以内的按标准收费，超过45人的，超出部分按八折收费．如果你是这个部门的负责人，你应选哪家宾馆更实惠些？

考点：

一次函数的应用。

分析：

当x≤35时，选择两个，宾馆是一样的；当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜，当x＞35时，两个宾馆的收费可以表示成人数x的函数，比较两个函数值的大小即可．

解答：

解：

设总人数是x，

当x≤35时，选择两个宾馆是一样的；

当35＜x≤45时，选择甲宾馆比较便宜；

当x＞45时，甲宾馆的收费是：

y甲=35×120+0.9×120×（x﹣35），即y甲=108x+420；

y乙=45×120+0.8×120（x﹣45）=96x+1080，

当y甲=y乙时，108x+420=96x+1080，解得：

x=55；

当y甲＞y乙时，即108x+420＞96x+1080，解得：

x＞55；

当y甲＜y乙时，即108x+420＜96x+1080，解得：

x＜55；

总之，当x≤35或x=55时，选择两个，宾馆是一样的；

当35＜x＜55时，选择甲宾馆比较便宜；

当x＞55时，选乙宾馆比较便宜．

点评：

此题的关键是用代数式列出在甲、乙两宾馆的费用，用了分类讨论的方法，是解决此类问题常用的方法．

例4（2012•丽水）在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB=．如图，把△ABC的一边BC放置在x轴上，有OB=14，OC=，AC与y轴交于点E．

（1）求AC所在直线的函数解析式；

（2）过点O作OG⊥AC，垂足为G，求△OEG的面积；

（3）已知点F（10，0），在△ABC的边上取两点P，Q，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形与△OFP全等，且这两个三角形在OP的异侧？

若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：

一次函数综合题。

分析：

（1）根据三角函数求E点坐标，运用待定系数法求解；

（2）在Rt△OGE中，运用三角函数和勾股定理求EG，OG的长度，再计算面积；

（3）分两种情况讨论求解：

①点Q在AC上；②点Q在AB上．求直线OP与直线AC的交点坐标即可．

解答：

解：

（1）在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE==，∴点E（0，2）．

设直线AC的函数解析式为y=kx+，有，解得：

k=．

∴直线AC的函数解析式为y=．

（2）在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE==，

设EG=3t，OG=5t，OE==t，∴，得t=2，

故EG=6，OG=10，

∴S△OEG=．

（3）存在．

①当点Q在AC上时，点Q即为点G，

如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，

由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上，当x=10时，

y=﹣=，

∴点P1（10，）．

②当点Q在AB上时，

如图2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，

过点Q作QH⊥OB于点H，设OH=a，

则BH=QH=14﹣a，

在Rt△OQH中，a2+（14﹣a）2=100，

解得：

a1=6，a2=8，

∴Q（﹣6，8）或Q（﹣8，6）．

连接QF交OP2于点M．

当Q（﹣6，8）时，则点M（2，4）．

当Q（﹣8，6）时，则点M（1，3）．

设直线OP2的解析式为y=kx，则

2k=4，k=2．

∴y=2x．

解方程组，得．

∴P2（）；

当Q（﹣8，6）时，则点M（1，3），

同理可求P2′（），P3（）；

如图，有QP4∥OF，QP4=OF=10，点P4在E点，

设P4的横坐标为x，则点Q的横坐标为x﹣10，

∵yQ=yP，直线AB的函数解析式为y=x+14，

∴（x﹣10）+14=﹣x+2，

解得：

x=，可得：

y=，

∴点P4（，），

当Q在BC边上时，如图，OQ=OF=10，点P5在E点，

∴P5（0，2），

综上所述，满足条件的P点坐标为（10，）或（）或（）或（，）或（0，2）．

点评：

此题考查一次函数的综合应用，运用了分类讨论的数学思想方法，综合性强，难度大．

例5．（2014上海市本题满分12分，每小题满分各4分）

在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与x轴交于点A（－1,0）和点B，与y轴交于点C（0,－2）．

（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；

（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；

（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t,0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．

解析：

第一小问基础题，考查二次函数的表达式和对称轴，把两个点带入，解二元一次方程组即可，对称轴在求出二次函数表达式之后可直接写出；第二小问考查了初中数学中一种重要的数学思想——分类讨论，本题以梯形的性质即有一组对边平行为要点，即分别以直线AC、直线AE、直线CE为边做平行线，分三种情况讨论。

过C以AE直线作平行线，可求出点P（１、-2），但这种情况不符合梯形ACEP题意，需要舍去，是易错点。

过点E作AC的平行线，这种情况不存在，因此最后只有一种情况，人后利用几何或代数方法都能很快求出；第三小问考查的是同底等高问题，近几年中考试题中未曾出现，但平时模拟考中出现较多，属于常规题型，且解法和第二小问相近。

例6.（12分）（2013•德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，

①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标；

②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？

若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

考点：

二次函数综合题．

分析：

（1）先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式；

（2）①由

（1）的解析式