高中立体几何证明方法及例题Word文件下载.docx
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4.应用以上“转化”的基本思路一一“由求证想判定,由已知想性质。
5•唯一性结论:
1
应曲中常坤于"
反
'
证法”或“同TT
过直线外一点.有且只有一条直线与己知直线平行”
2过空间一点.有且只有一条直线与已知平面垂直
3过空间一点’有且只有一个平面与已知直线垂直
1.三类角的定义:
(1)异面直线所成的角B:
0°
<
0§
(2)直线与平面所成的角:
(0时,b//或b)
(3)二面角:
二面角的平面角B,0°
0480
K定义法)
(三垂线定理注)
j4
f垂丽法,灶棱门
2.三类角的求法:
转化为平面角“一找、二作、三算”
即:
(1)找出或作出有关的角;
(2)证明其符合定义;
(3)指出所求作的角;
(4)计算大小。
(三)空间距离:
求点到直线的距离,经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线,然后在相关三角形中求
解。
求点到面的距离,一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性
质求之也可以利用“三棱锥体积法”直接求距离,直线与平面的距离,面面距离都可转化为
点到面的距离。
【典型例题】
(一)与角有关的问题
例1.
(1)如图,
E、F分别为三棱锥P—ABC的棱AP、BC的中点,PC=10,AB
EF=7,则异面直线
AB与PC所成的角为(
A.60
B.45
C.30
D.120
解:
取AC中点G,连结EG、
FG,
EG//丄PC,FG//丄AB
22
•••/EGF为AB与PC所成的角
在AEGF中,由余弦定理,
22
EGFGcosZEGF
2•EG•
EF2
FG
5232
253
72
••AB与PC所成的角为180
^20
=60
•••选A
(2)已知正四棱锥以棱长为
1的正方体的某个面为底面,且与该正方体有相同的全面
积,则这一正四棱锥的侧棱与底面所成的角的余弦值为(
13
p
A1B
D.
.26
26
设正四棱锥的高为h,斜高为h'
.h21
2
由题意:
丄41.h2112612
2\2
•••侧棱长PB..h2OB2
:
.cosZPBO213
pbV2613
2
(3)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P为A1D1上的一个定点,
A1B1上的任意一点,E、F为CD上任意两点,且EF的长为定值,有下列命题:
1点P到平面QEF的距离为定值;
2直线PQ与平面PEF所成的角为定值;
3二面角P—EF—Q的大小为定值;
4三棱锥P—QEF的体积为定值
其中正确命题的序号是
鉀平面QEF即是平面A1B1CD
11
二A1D1上定点P到面A1B1CD的距离为定值
•••①对,②错
二面角P—EF—Q,即面PDF与面A1B1CD所成的角,且平面角/PDA1为定
值,.••③对
因为A1B1//DC,且EF为定值,•SQEF为定值
又P点到平面QEF的距离为定值,•VPqef为定值,•④对
综上,①③④正确。
例2.图①是一个正方体的表面展开图,MN和PQ是两条面对角线,请在图
(2)的正
方体中将MN,PQ画出来,并就这个正方体解答下列各题:
(1)求MN和PQ所成角的大小;
(2)求四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比;
(3)求二面角M—NQ—P的大小。
图①
(1)如图②,作出MN、PQ
图②
••PQ//NC,又△MNC为正三角形
6
即四面体M—NPQ的体积与正方体的体积之比为1:
6
/•JMNC=60
PQ与MN
成角为60°
(2)Vm
NPQVQPMN
丄S
PMN
3
MQ
•2S
PMN•MQ
SPMDN°
MQ
V正方体
(3)连结MA交PQ于0点,贝UMO丄PQ
又NP丄面PAQM,ANP丄MO,贝UMO丄面PNQ
过O作OE丄NQ,连结ME,贝UME丄NQ
•••JMEO为二面角M—NQ—P的平面角
在Rt△NMQ中,
MENQ=MNMQ
设正方体的棱长为
2a°
a
ME
6、2
a,又MO2a
32
在RtMEO中,sin/MEO
MO
293
62a
/•JMEO=60°
即二面角M—NQ—P的大小为60
例3.如图,已知四棱锥P—ABCD,PB丄AD,侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°
。
(1)求点P到平面ABCD的距离;
(2)求面APB与面CPB所成二面角的大小。
F
(1)作PO丄平面ABCD,垂足为0,连结OB、OA、OD,OB与AD交于点E,
连结PE
AEfy
••AD丄PB,「.AD丄OB(根据
••PA=PD,「.0A=OD
于是OB平分AD,点E为AD中点
••PE丄AD
•••/PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角
•••zPEB=120。
,启EO=60°
—°
_■3
又PE,3,二POPEsin603•-
即为P点到面ABCD的距离。
的正三角形
(2)由已知ABCD为菱形,及△PAD为边长为2
.•PA=AB=2,又易证PB丄BC
故取PB中点G,PC中点F
则AG丄PB,GF//BC
又BC丄PB,.GF丄PB
•••ZAGF为面APB与面CPB所成的平面角
••GF//BC//AD,./AGF=n-ZGAE
连结GE,易证AE丄平面POB
又PEBE3,G为PB中点
•/PEG-/PEB60°
•GEPEcos60°
在RtAGE中,AE
1丄AD
ge
•tan/GAE
AE
arctan—3
arctan
(2)解法2:
如图建立直角坐标系,其中O
为坐标原点,
x轴平行于DA
P(0,0,3),B(0,
3.3
飞,0)
PB的中点G的坐标为(
,连结AG
由此得到
GA
0),
3.3
0)
(1,
.3
4
I),
PB
(0,
3..3
BC(
2,
0,
于是GA
-PB
BC•PB
GA、
于是cos
PB,BC丄
BC的夹角为所求二面角的平面角
GA•BC
|GA|•|BC|
•所求二面角大小为
2J7arccos—
7
(二)与距离有关的问题
例4.
(1)已知在△ABC中,AB=9,AC=15,/BAC=120°
,它所在平面外一点P到厶
ABC三个顶点的距离都是14,那么点P到平面ABC的距离是()
A.13B.11C.9D.7
设点P在△ABC所在平面上的射影为O
A
C
•.PA=PB=PC,「.O为△ABC的外心
△ABC中,AB=9,AC=15,/BAC=120
i22o
二BC9152915cos12021
sinA
2R,二R
21
•••PO14273$7
(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB
BC2,BB12,ZABC
90o,E、F分别为AA1>
C1B1的中点,沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的
长度为
Ai5
B
(采用展开图的方法)
将平面B1BCC1沿B1B旋转使两矩形A1ABB1与B1BCC1在同一平面内
连接EF,则EF为所求的最短路径
Bi
BiF6
E
A]
图③
如图①,EF
A“E2A1F2
如图②展开,
EF
(2)212
如图③展开,
比较这三种方式展开,可见沿表面从
E到F的最短路径长度为
点评:
此类试题,求沿表面运动最短路径,应展开表面为同一平面内,则线段最短。
但必须注意的是,应比较其各种不同展开形式中的不同的路径,取其最小的一个。
(3)
,设地
在北纬45°
圈上有甲、乙两地,它们的经度分别是东经140°
与西经130°
球半径为R,
A丄
&
由题意ZAO1B
解:
1
140130
R
o
(01为小圆圆心)
又由题意0“A01B—R
112
则1AB中,ABR
■■■/AOB为正三角形(0为球心)
/•ZAOB—
/A、B两点球面距离为一R
•••选D
例5.如图,四棱锥P—ABCD,底面ABCD是矩形,PA丄平面ABCD,E、F分别是AB、PD中点。
(1)求证:
AF//平面PEC;
(2)若AD=2,CD22,二面角P—CD—B为45°
,求点F到平面PEC距离。
G为PC中点,连结FG、EG
又TF为PD中点
11
•FG//丄CD,又AE//丄CD
•FG//AE
•••四边形AEGF为平行四边形
•••AF//EG,又EG面PEC,AF面PEC
••AF//平面PEC
(2):
CD丄AD,又PA丄面ABCD
••AD为PD在面ABCD上射影
••CD丄PD
•/PDA为二面角P—CD—B的平面角,且/PDA=45则APAD为等腰直角三角形
••AF丄PD,又CD丄平面PAD
••CD丄AF
••AF丄面PCD
作FH丄PC于H,贝UAF丄FH
又EG/AF,「.EG丄FH
••FH丄面PEC,「.FH为F到面PEC的距离
在RtA^EG中,FHPG=PFFG
•FH
-2.2彳
..■2222
方法2:
(体积法)
••AF//面PEC,故只要求点A到面PEC的距离d
由VV即丄S•d丄S•PA
APECPAECPECAEC
33
易证AF丄面PCD,「.EG丄面PCD
••EG丄PC
丄PC•EG丄J222皮22迈2^2
SaecPA
2*2
Saec2aeBC|^222
Spec
(三)对命题条件的探索
例6.
(1)如图已知矩形ABCD中,AB=3,BC=a,若PA丄平面ABCD,在BC边上
取点E,使PE丄DE,则满足条件E点有两个时,a的取值范围是()
A.a6B.a6
C.0a6D.0a6
TPA丄面ABCD,PE丄DE
由三垂线定理的逆定理知PE的射影AE丄BE
所以满足条件的点E是以AD为直径的圆与BC的交点,要有两个交点,则
AD>
2AB=6
(2)如图,在三棱柱ABC—A'
B'
C'
中,点E、F、H、K分别为AC'
、CB'
、A'
B、B'
的中点,G为△ABC的重心,从K、H、G、B'
中取一点作为P,使得该棱柱恰有2条棱与
平面PEF平行,则P为(
A.KB.H
AB
C.G
D.B
分析:
从题目中的“中点”条件,联想到“中位线”。
而平面PEF中,EF为定直线,连BC'
则F为BC'
中点
故AC'
B中,EF//ABAB//平面PEF,A'
//平面PEF
考虑到若P为K点,则还有AA'
、BB'
、CC'
都平行于FK
即它们也都平行于平面PEF,不合题意。
同理P也不能为H点,若P为B'
点时,EF与B'
A'
共面也不符合题意(这时只有一条棱平行于平面PEF),可见只能取G点。
故选C
例7.
如图,是棱长为
1的正方体ABCD
A1B1C1D1
(1)线段A1B上是否存在一点P使得A1B丄平面PAC?
若存在,确定P的位
置;
若不存在,说明理由。
(2)点P在线段A1B上,若二面角C—AP—B的大小是arctan2,求P点位
(3)Q点在对角线B1D上,使A1B//平面QAC,求
B1Q
QD
Al巧
BC
(1)(用反证法)
假设BA1丄面PAC,则A1B丄AC
•••A1C1//AC,易知A1B与A1C1成60°
即A1B与AC成60°
角,与A1B丄AC矛盾
•••A1B不垂直于平面PAC
•••不存在点P满足题目条件
(2)过B作BH丄AP于H,连CH
BA
由于CB丄面ABB1A1,故CH丄AP
即ZBHC是二面角C—AP—B的平面角
•tanZBHC2
BH
即AB2BH
AB2
即在RtBHA中,卫旦-
/•ZBAH=30
在ABP中,
AB
sin30sin105
又AB1
-pb2
(3)由于A,B//D,C,二A,B//面D,AC
•••点Q是直线B1D与面D1AC的交点
F面求Q点的位置。
设ACABDO,显然QODsQD1B1
B1QB1D1
QDDO
AlDi
(四)对命题结论的探索
例8.
(1)正方体ABCDA1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,
并且总保持AP丄BD1,则动点P的轨迹是()
A.线段B1C
B.线段BC1
C.BB1中点与CC1中点连成的线段
D.BC中点与B1C中点连成的线段
Di
AE
从条件AP丄BDi出发,可知AP必在过A点且与BDi垂直的平面BiAC上
•••点P必在BiC上
(2)如图,斜三棱柱
ABC—AiBiCi中,/BAC=90°
BCi丄AC,贝UCi在底面ABC
上的射影H必在()
A.直线AB上
C.直线CA上
B.直线BC上
D.△ABC内部
连结ACi
••AC丄AB,又AC丄BCi
••AC丄面ABCi
又AC面ABC,•面ABC丄面ABCi且AB为交线
则C在面ABC上的射影必在交线AB上
例9.在四面体ABCD中,AB丄BC,AB丄BD,BC丄CD,且AB=BC=1。
平面CBD丄平面ABD;
(2)是否存在这样的四面体,使二面角C—AD—B的平面角为30°
?
如果存在,求出
CD的长;
如果不存在,请找出一个角使得存在这样的四面体,使二面角C—AD—B的
平面角为B。
(1)VAB丄BC,AB丄BD
•••AB丄平面BCD,又AB面ABD
•••面ABD丄面CBD
CD
(2)设CD=x,在面CBD内作CE丄BD于E
由
(1)知平面ABD丄面BCD,且BD为交线
•QE丄平面ABD
作EF丄AD于F,连结CF,贝UCF丄AD
•zCFE为“二面角”C—AD—B的平面角,且/CFE=30
又在Rt少CD中,CEBD=CBCD
•••CE
x2
又VCD丄BC,
又BC为AC在面BCD
上射影
••CD丄AC
则在Rt△KCD
中,CFAD=ACCD
•CF
在RtCEF中,
sinZCFE
CE
CF
x
..x21
.2x
二―2
..x22
2•、、x212
解出x3,
无实数解。
故不存在这样的四面体,使二面角
C—AD—B的平面角为30°
又sinZCFE—x—
x21
•ZCFE—,—
42
故B可以取45°
-90°
之间的任意角。
本题是一道存在性的探索问题。
常常假定结论成立,再判断它与已知条件是否符
合
口。
【模拟试题】
二选择题。
1.PA、PB、PC是从P引出的三条射线,两两成60°
^UPC与平面PAB所成角的余弦值是(
1.3.3飞
A.2B.2C.3D.3
2.在边长为1的菱形ABCD中,/ABC=60。
,将菱形沿对角线AC折起,使折起后BD
=1,则二面角B—AC—D的余弦值为()
1丄22.3
A.3B.2C.3D.2
3.三棱锥的三条侧棱两两垂直,底面上一点到三个侧面的距离分别是2,3,6,则这个
点到三棱锥顶点的距离是()
A.11
B.41
C.7D.61
4.已知A、B、C是球面上的三点,且
AB=6,BC=8,AC=10,球心O至U平面ABC
的距离为、11,则球的表面积为()
A.36
B.72
C.144D.288
5.△ABC边上的高线为AD,BD
a,CDb,且a
b,将△ABC沿AD折成大小为
COS
B的二面角B—AD—C,若
b,则三棱锥A—BCD的侧面△ABC是(
B.钝角三角形
A.锐角三角形
C.直角三角形
D.形状与a,b的值有关的三角形
6.有一塔形几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体的下底面的四
个顶点是下层正方体上底面各边的中点,
已知最底层正方体的棱长为2,且该塔形的表面积
(含最底层正方体的底面积)超过39,则该塔中正方体的个数至少是(
A.4
B.5
/
C.6D.7
.填空题。
2,贝UPA与底
ZBAC
7.如图,在三棱锥P—ABC中,PAPBPCBC,且
面ABC所成角的大小为
当四面体的体积最
8•如图,矩形ABCD中,AB4,BC3,沿ac把ADAC折起,
大时,直线AD与平面ABG所成角的正弦值是
DiCi中占则占
I八\、:
7、」八、、
9.如图,正方体ABCDAlBlClDl棱长为1,M、N分别为BlCl
C到截面MNDB的距离是
三•解答题。
10.如图,正三角形ABC的边长为3,过其中心G作BC边的平行线,分别交AB、AC
于B!
、C!
,将AB1C1沿B1C1折起到A1B1C1的位置,使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M,求:
(1)二面角A1BCM的大小;
(2)异面直线人*1与CC1所成角的大小。
(用反三角函数表示)
11.如图,已知正方形ABCD和矩形
ACEF所在的平面互相垂直,AB2,AF=1,
M是线段EF的中点。
AM//平面BDE;
(2)求二面角A—DF—B的大小;
(3)试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60
所做之事勿僂明夭.自己所做之爭勿倏他人.
—篇
【试题答案】
.选择题。
1.C
2.A
3.C
4.C
5.C
6.C
提示:
假设有n个正方体构成,其表面积由二部分组成:
(1)俯视图、表面只有一个正方形,
其边长为
(2)侧面则由4n个正方形构成,
且各层(从下往上看)
正方形面积构成一个首项为4,
公比为2
的等比数列。
39
表面积
•'
•n的最小值为
二.填空题。
7.3
由题意,
P点在面ABC上的射影H是AABC外心,
2,.-.H为BC
中点)
8.
9.3
iSiSCC
VV~SMBDh—SBCDCiC
VCMDBVMCDB,即33
i
hSBCD•i
iii
SMBDi
•2•
5