高中立体几何证明方法及例题Word文件下载.docx

1、4.应用以上“转化”的基本思路一一“由求证想判定，由已知想性质。5唯一性结论:1应曲中常坤于反证法”或“同TT过直线外一点.有且只有一条直线与己知直线平行”2过空间一点.有且只有一条直线与已知平面垂直3过空间一点有且只有一个平面与已知直线垂直1.三类角的定义:（1）异面直线所成的角B: 0 C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 Ai 5B（采用展开图的方法）将平面B1BCC1沿B1B旋转使两矩形A1ABB1与B1BCC1在同一平面内连接EF,则EF为所求的最短路径BiBi F 6EA图如图，EFA“E2 A1F2如图展开,EF（2）2 1 2如图展开,比较这三种方式展开，

2、可见沿表面从E到F的最短路径长度为点评：此类试题，求沿表面运动最短路径，应展开表面为同一平面内，则线段最短。但 必须注意的是，应比较其各种不同展开形式中的不同的路径，取其最小的一个。（3），设地在北纬45 圈上有甲、乙两地，它们的经度分别是东经 140 与西经130 球半径为R，A丄& 由题意Z AO1B解: 1140 130Ro（01为小圆圆心）又由题意0“A 01B R1 1 2则 1AB 中，AB R/AOB为正三角形（0为球心）/Z AOB / A、B两点球面距离为 一R选 D例5.如图，四棱锥P ABCD ,底面ABCD是矩形，PA丄平面ABCD , E、F分别是AB、 PD中点。（

3、1）求证：AF /平面PEC;（2 ）若 AD = 2 , CD 2 2，二面角 P CD B 为 45，求点 F到平面 PEC 距离。G为PC中点，连结FG、EG又TF为PD中点1 1 FG / 丄 CD，又 AE / 丄 CD FG / AE四边形AEGF为平行四边形 AF / EG,又EG 面PEC, AF 面PECAF / 平面 PEC（2）：CD 丄 AD，又 PA丄面 ABCDAD为PD在面ABCD上射影CD 丄 PD /PDA 为二面角 P CD B的平面角，且/ PDA = 45 则APAD为等腰直角三角形AF丄PD，又CD丄平面PADCD 丄 AFAF 丄面 PCD作FH丄P

4、C于H，贝U AF丄FH又 EG/AF，.EG丄 FHFH丄面PEC，.FH为F到面PEC的距离在 Rt AEG 中，FH PG = PF FG FH-2.2 彳.2 2 2 2方法2 :（体积法）AF /面PEC，故只要求点 A到面PEC的距离d由V V 即丄S d 丄S PAA PEC P AEC PEC AEC33易证AF丄面PCD，.EG丄面PCDEG 丄 PC丄 PC EG 丄 J22 2皮 22 迈 22S aec PA2*2Saec 2ae BC |2 2 2S pec（三）对命题条件的探索例6. （ 1）如图已知矩形 ABCD中，AB = 3 , BC = a，若PA丄平面 A

5、BCD，在BC边上取点E,使PE丄DE,则满足条件E点有两个时，a的取值范围是（ ）A. a 6 B. a 6C. 0 a 6 D .0 a 6TPA丄面 ABCD , PE丄 DE由三垂线定理的逆定理知 PE的射影AE丄BE所以满足条件的点 E是以AD为直径的圆与BC的交点，要有两个交点，则AD 2AB = 6（2）如图，在三棱柱 ABC ABC中，点 E、F、H、K 分别为 AC、CB、AB、B的中点，G为ABC的重心，从K、H、G、B中取一点作为P,使得该棱柱恰有 2条棱与平面PEF平行，则P为（A. K B. HA BC. GD. B分析：从题目中的“中点”条件，联想到“中位线” 。而

6、平面PEF中，EF为定直线，连 BC则F为BC中点故 ACB中，EF/ AB AB /平面 PEF, A /平面 PEF考虑到若P为K点，则还有 AA、BB、CC都平行于FK即它们也都平行于平面 PEF,不合题意。同理P也不能为H点，若P为B点时，EF与BA共面也不符合题意（这时只有一条 棱平行于平面PEF），可见只能取G点。故选C例7.如图，是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1（1）线段A1B上是否存在一点P使得A1B丄平面PAC ?若存在，确定P的位置；若不存在，说明理由。（2）点P在线段A1 B上，若二面角CAP B的大小是arctan2，求P点位（3） Q点在对角线B1D上，使A

7、1B /平面QAC，求B1QQDAl 巧B C（1 ）（用反证法）假设BA1丄面PAC，则A1B丄AC A1C1 / AC,易知 A1B与A1C1 成60即A1B与AC成60角，与A1B丄AC矛盾 A1B不垂直于平面 PAC不存在点P满足题目条件（2）过B作BH丄AP于H，连CHB A由于CB丄面ABB1A1，故 CH丄AP即ZBHC是二面角 C AP B的平面角 tan Z BHC 2BH即AB 2 BHAB 2即在Rt BHA中，卫旦 -/ZBAH = 30在ABP中,ABsin30 si n105,又 AB 1-pb 2（3）由于 A,B / D,C，二 A,B /面 D,AC点Q是直线

8、B1D与面D1AC的交点F面求Q点的位置。设AC A BD O,显然 QOD s QD1B1B1Q B1D1QD DOAl Di（四）对命题结论的探索例 8.（1）正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP丄BD1,则动点P的轨迹是（ ）A.线段B1CB.线段BC1C.BB1中点与CC1中点连成的线段D.BC中点与B1C中点连成的线段DiA E从条件AP丄BDi出发，可知 AP必在过A点且与BDi垂直的平面 BiAC上点P必在BiC上（2）如图，斜三棱柱ABC AiBiCi 中，/BAC = 90 , BCi 丄AC，贝U Ci 在底面 ABC上的

9、射影H必在（ ）A.直线AB上C.直线CA上B.直线BC上D. ABC内部连结ACiAC 丄AB，又 AC 丄 BCiAC 丄面 ABCi又AC 面ABC，面ABC丄面ABC i且AB为交线则C在面ABC上的射影必在交线 AB上例9.在四面体 ABCD中，AB丄BC, AB丄BD , BC丄CD，且 AB = BC = 1。平面 CBD丄平面ABD ;（2） 是否存在这样的四面体，使二面角 C AD B的平面角为30 ?如果存在，求出CD的长；如果不存在，请找出一个角使得存在这样的四面体，使二面角 C AD B的平面角为B。（1 ）VAB 丄 BC, AB 丄 BD AB丄平面BCD，又AB

10、面ABD面ABD丄面CBDC D（2）设CD = x,在面 CBD内作CE丄BD于E由（1 ）知平面 ABD丄面BCD，且BD为交线QE丄平面ABD作EF丄AD于F,连结 CF，贝U CF丄AD zCFE为“二面角” C AD B的平面角，且/ CFE= 30又在 Rt 少CD 中，CE BD = CB CD CE,x2又VCD丄BC ,又BC为AC在面BCD上射影CD 丄AC则在Rt KCD中，CF AD = AC CD CF在Rt CEF中,sin Z CFECECFx.x2 1.2x二2.x2 22 、x2 1 2解出x 3，无实数解。故不存在这样的四面体，使二面角C AD B的平面角为

11、30 又 sin Z CFE xx2 1 Z CFE ,42故B可以取45 -90 之间的任意角。本题是一道存在性的探索问题。 常常假定结论成立，再判断它与已知条件是否符合口。【模拟试题】二选择题。1. PA、PB、PC是从P引出的三条射线，两两成 60 ,UPC与平面PAB所成角的余弦 值是（1 .3 .3 飞A. 2 B. 2 C. 3 D. 32.在边长为1的菱形ABCD中，/ABC = 60。，将菱形沿对角线AC折起，使折起后 BD=1，则二面角B AC D的余弦值为（ ）1 丄 2 2 .3A. 3 B. 2 C. 3 D. 23.三棱锥的三条侧棱两两垂直，底面上一点到三个侧面的距离

12、分别是 2，3，6，则这个点到三棱锥顶点的距离是（ ）A. 11B. 41C. 7 D. 614.已知A、B、C是球面上的三点，且AB = 6, BC= 8 , AC = 10，球 心 O 至U平面 ABC的距离为、11，则球的表面积为（ ）A. 36B. 72C. 144 D. 2885. ABC边上的高线为 AD , BDa，CD b，且 ab，将 ABC沿AD折成大小为COSB的二面角B AD C,若b，则三棱锥 A BCD的侧面 ABC是（B.钝角三角形A.锐角三角形C.直角三角形D.形状与a, b的值有关的三角形6.有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体的下底

13、面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点,已知最底层正方体的棱长为 2,且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面积）超过 39，则该塔中正方体的个数至少是（A. 4B. 5 /C. 6 D. 7.填空题。2，贝U PA与底Z BAC7.如图，在三棱锥 P ABC中，PA PB PC BC，且面ABC所成角的大小为 当四面体的体积最8如图，矩形ABCD中，AB 4，BC 3，沿ac把ADAC折起,大时，直线AD与平面ABG所成角的正弦值是 D i Ci中占则占I 八、： 7、八、9.如图，正方体ABCD AlBlClDl棱长为1 , M、N分别为BlClC到截面MNDB的距离是 三解答题。10.如

14、图，正三角形 ABC的边长为3，过其中心 G作BC边的平行线，分别交 AB、AC于B!、C!，将AB1C1沿B1C1折起到A1B1C1的位置，使点A1在平面BB1C1C上的射 影恰是线段BC的中点M，求:（1）二面角A1 BC M的大小;（2）异面直线 人*1与CC1所成角的大小。（用反三角函数表示）11.如图，已知正方形 ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB 2 , AF = 1 ,M是线段EF的中点。AM /平面BDE ;（2 ）求二面角A DF B的大小;（3）试在线段AC上确定一点P,使得PF与BC所成的角是60所做之事勿僂明夭.自己所做之爭勿倏他人.篇【试题答案】.选择题。1. C2. A3. C4. C5. C6. C提示：假设有n个正方体构成，其表面积由二部分组成:（1）俯视图、表面只有一个正方形，其边长为（2）侧面则由4n个正方形构成,且各层（从下往上看）正方形面积构成一个首项为 4 ,公比为 2的等比数列。39表面积n的最小值为二.填空题。7. 3由题意,P点在面 ABC上的射影 H是AABC外心,2 , .-.H 为 BC中点）8.9. 3i S i S C CVV S MBD h S BCD CiCVC MDB VM CDB，即 3 3ih S BCD ii i iS MBD i 2 5