人教版八年级上册数学《133等腰三角形》同步测试含答案解析2份Word格式文档下载.docx
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（5分）
（2）判断直线BE与线段AD之间的关系,并说明理由.（7分）
五年中考全练
1.（2016内蒙古通辽中考,14,★★★）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°
则该等腰三角形的底角的度数为 .
2.（2016江苏常州中考,23,★★☆）如图,已知△ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O.（8分）
OB=OC;
（2）若∠ABC=50°
求∠BOC的度数.
核心素养全练
如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形,那么称这条线段为这个三角形的特异线,称这个三角形为特异三角形.
（1）如图1,△ABC中,∠B=2∠C,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.求证:
AE是△ABC的一条特异线;
（2）如图2,若△ABC是特异三角形,∠A=30°
∠B为钝角,求出所有可能的∠B的度数.
1.D ∵AC=CD,∴∠ADC=∠A=50°
又∵CD=BD,∴∠B=∠BCD,∵∠ADC=∠B+∠BCD=50°
∴∠B=25°
∵BD=BE,∴∠BDE=∠BED=77.5°
∵∠ADC+∠CDE+∠BDE=180°
∴∠CDE=52.5°
2.B A.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形;
B.△ABC不能够分成两个等腰三角形;
C.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形;
D.如图所示,△ACD和△BCD都是等腰三角形.
故选B.
3.答案 120°
或20°
解析 设两内角分别是x°
4x°
（x>
0）.
①当底角为x°
时,根据三角形的内角和定理,得x°
+x°
+4x°
=180°
解得x=30,∴4x=120,此时顶角为120°
②当顶角为x°
时,x°
解得x=20,此时顶角为20°
所以这个等腰三角形的顶角为120°
4.解析
（1）∵DE⊥AC于点E,∠D=20°
∴∠CAD=70°
∵AD∥BC,
∴∠C=∠CAD=70°
∵∠BAC=70°
∴∠B=40°
AB=BC,∴△ABC是等腰三角形.
（2）∵延长线段DE恰好过点B,DE⊥AC,
∴BD⊥AC,∵△ABC是等腰三角形,且BA=BC,
∴BD是∠ABC的平分线.
1.C ∵AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴△ABC是等腰三角形,DE=DF,∴∠DEF=∠DFE.结合三角形全等知识得AE=AF,DA平分∠EDF.故选C.
2.C ∵AB=AC,∠A=36°
∴∠ABC=∠ACB=72°
∵BD,CE分别平分∠ABC,∠ACB,∴∠ABD=∠ACE=36°
∴∠BDC=72°
∴∠CED=180°
-∠ACE-∠BDC=72°
∴∠CED=∠CDE,∴CE=CD=3,故选C.
3.答案 ①或②
解析 选①BE=CE.
理由:
∵∠B=∠C,BE=CE,∠BEA=∠CED,
∴△BEA≌△CED（ASA）,∴AE=DE,
∴△AED是等腰三角形.
选②AB=DC.理由:
∵∠BEA=∠CED,∠B=∠C,AB=DC,∴△BEA≌△CED（AAS）,
∴AE=DE,∴△AED是等腰三角形.故填①或②.
4.答案 50°
或130°
解析 当顶角为锐角时,如图1.∵∠ADE=40°
∠AED=90°
∴∠A=50°
当顶角为钝角时,如图2,∵∠ADE=40°
∴∠DAE=50°
∴∠BAC=180°
-50°
=130°
.故答案为50°
1.A ∵MN是AB的中垂线,∴DA=DB,∵BC=AD,∴BC=BD,∴△BCD是等腰三角形,①正确;
∵BC=BD,
∴∠BCD=∠BDC=∠DAB+∠DBA,∵DA=DB,
∴∠DBA=∠DAB,∴∠C=2∠DBA,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∴∠ABC=2∠DBA,∴BD平分∠ABC,②正确;
设∠A=x,则∠ABC=∠C=2x,则x+2x+2x=180°
解得x=36°
∴∠C=2x=72°
③正确;
∵AB=AC,DA=DB,BC=BD,
∴图中共有3个等腰三角形,④正确.故选A.
2.答案 32°
或152°
或88°
解析 如图1,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∠ABC+∠ACB+∠A=180°
∵DE垂直且平分AB,∴EA=EB,∴∠ABE=∠A,
∵∠EBC+∠ACB=∠AEB,
∴42°
+
（180°
-∠A）=180°
-2∠A,解得∠BAC=32°
如图2,同理可得,∠BAC=152°
如图3,同理可得,∠BAC=88°
.综上所述,∠BAC=32°
3.解析
（1）证明:
∵AM⊥BC,∴∠ABC+∠BAM=90°
∵∠BAC=90°
∴∠ABC+∠C=90°
∴∠BAM=∠C.
（2）BE垂直平分AD.理由:
如图,∵AD平分∠MAC,∴∠3=∠4,∵∠BAD=∠BAM+∠3,∠ADB=∠C+∠4,∠BAM=∠C,∴∠BAD=∠ADB,
∴AB=BD,∴△BAD是等腰三角形,又∵∠1=∠2,∴BE垂直平分AD.
1.答案 69°
或21°
解析 分两种情况讨论:
①若∠A<
90°
AB=AC,如图1所示.
∵BD⊥AC,∴∠A+∠ABD=90°
∵∠ABD=48°
∴∠A=90°
-48°
=42°
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=
×
（180°
-42°
）=69°
②若∠BAC>
AB=AC,如图2所示.
∵BD⊥AC,∠ABD=48°
∴∠DAB=90°
∴∠BAC=180°
=138°
-138°
）=21°
综上所述,等腰三角形的底角的度数为69°
2.解析
（1）证明:
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,即∠EBC=∠DCB.
∵BD、CE是△ABC的两条高,
∴∠BEC=∠BDC=90°
在△BEC和△CDB中,
∴△BEC≌△CDB,
∴∠ECB=∠DBC,
∴OB=OC.
（2）∵∠ABC=50°
AB=AC,
∴∠A=180°
-2×
50°
=80°
∵∠DOE+∠A=180°
∴∠BOC=∠DOE=180°
-80°
=100°
解析
（1）证明:
∵DE垂直平分AC,
∴EA=EC,∴△EAC是等腰三角形,
∴∠EAC=∠C,
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,
∵∠B=2∠C,
∴∠AEB=∠B,∴AB=AE,∴△EAB是等腰三角形.
∴AE是△ABC的一条特异线.
（2）如图.
当BD是特异线时,如果AB=BD=DC,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°
+15°
=135°
如果AD=AB,DB=DC,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°
+37.5°
=112.5°
如果AD=DB,DC=DB,则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°
+60°
=90°
（不合题意,舍去）.
如图,当AD是特异线时,AB=BD,AD=DC,则∠ABC=180°
-20°
=140°
当CD为特异线时,不合题意.
∴符合条件的∠ABC的度数为135°
或112.5°
或140°
13.3.2 等边三角形
1.（2018湖北天门期中）如图,△ABC是等边三角形,D为AB的中点,DE⊥AC,垂足为点E.若AE=1,则△ABC的边长为 （ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
2.已知∠AOB=30°
且∠AOB内有一点P,点P关于OA、OB的对称点分别为E、F,则△EOF一定是 三角形.
3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°
AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°
其两边分别交AB,AC于点E,F.
△ABD是等边三角形;
（2）求证:
BE=AF.
1.（2018江苏南通崇川月考）如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内的两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°
.若BE=6cm,DE=2cm,则BC的长为（ ）
A.4cm B.6cm
C.8cm D.12cm
2.（2018广西玉林北流扶新月考）如图所示是两块完全一样的含30°
角的三角板,分别记作△ABC和△A1B1C1,现将两块三角板重叠在一起,设较长直角边的中点为M,绕中点M转动三角板ABC,使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上,当∠A=30°
AC=10时,两直角顶点C,C1间的距离是 .
3.如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别为EB,CD的中点,易证:
CD=BE,△AMN是等边三角形.
（1）当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时,CD=BE吗?
若相等,请证明;
若不相等,请说明理由;
（2）当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时,△AMN还是等边三角形吗?
若是,请证明;
若不是,请说明理由（可用第一问结论）.
1.（2018湖北宜昌建湖期中,15,★★★）如图,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,则下列结论:
①点P在∠BAC的平分线上;
②AS=AR;
③QP∥AR;
④△BRP≌△QSP.其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.（2018广西贵港期末,10,★★☆）如图,在等边△ABC中,AB=8,E是BA延长线上一点,且EA=4,D是BC上一点,且ED=EC,则BD的长为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3.（2018四川宜宾模拟,18,★★☆）如图所示,将数轴从某一点开始折出一个等边三角形ABC,设点A表示的数为x-3,点B表示的数为2x+1,点C表示的数为-4,若将△ABC向右滚动,则x的值等于 ,数字2012对应的点将与△ABC的顶点 重合.
1.如图,在△ABC中,∠C=90°
∠B=30°
AD平分∠CAB交BC于点D,E为AB上一点,连接DE,则下列说法错误的是（ ）
A.∠CAD=30°
B.AD=BD
C.BD=2CD D.CD=ED
2.如图,在△ABC中,∠B=30°
BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为（ ）
A.
B.1 C.
D.2
3如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.（8分）
（1）求∠F的度数;
（2）若CD=2,求DF的长.
1.已知:
如图,△ABC、△CDE都是等边三角形,AD、BE相交于点O,点M、N分别是线段AD、BE的中点.
AD=BE;
（2）求∠DOE的度数;
（3）求证:
△MNC是等边三角形.
2.如图,△ABC中,∠BAC=60°
点D、E分别在AB、AC上,∠BCD=∠CBE=30°
BE、CD相交于点O,OG⊥BC于点G,求证:
OE+OD=2OG.
1.B ∵△ABC是等边三角形,DE⊥AC,∴∠A=60°
∴∠ADE=30°
∴AD=2AE=2,又∵D为AB的中点,∴AB=2AD=4,∴等边三角形ABC的边长为4,故选B.
2.答案 等边
解析 如图.∵点P关于OA的对称点为E,∴OA垂直平分PE,∴OP=OE.同理,OF=OP,∴OE=OF.∴△EOF是等腰三角形.∵∠AOB=30°
∴∠EOF=60°
∴等腰△EOF是等边三角形.
3.证明
（1）∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC=
∠BAC,∵∠BAC=120°
120°
=60°
∵AD=AB,∴△ABD是等边三角形.
（2）∵△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°
BD=AD.
∵∠EDF=60°
∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE,
即∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中,
∴△BDE≌△ADF（ASA）,
∴BE=AF.
1.C 延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AN⊥BC,BN=CN,∵∠EBC=∠E=60°
∴△BEM为等边三角形,
∵BE=6cm,DE=2cm,
∴DM=4cm,∵△BEM为等边三角形,
∴∠EMB=60°
∵AN⊥BC,∴∠DNM=90°
∴∠NDM=30°
∴NM=2cm,∴BN=4cm,
∴BC=2BN=8cm.故选C.
2.答案 5
解析 如图,连接CC1,
∵两块三角板重叠在一起,较长直角边的中点为M,
∴M是AC、A1C1的中点,AC=A1C1,
∴CM=A1M=C1M=
AC=5,
∴∠A1=∠A1CM=30°
∴∠CMC1=60°
∴△CMC1为等边三角形,
∴CC1=CM=5,∴CC1的长为5.
3.解析
（1）CD=BE.理由如下:
∵△ABC和△ADE为等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=60°
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°
-∠EAC,
∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°
∴∠BAE=∠DAC.
在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD（SAS）,∴BE=CD.
（2）△AMN是等边三角形.理由如下:
∵△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD.
由
（1）得BE=CD.
∵M、N分别是BE、CD的中点,
∴BM=CN.
在△ABM和△ACN中,
∴△ABM≌△ACN（SAS）.
∴AM=AN,∠MAB=∠NAC.
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°
∴△AMN是等边三角形.
1.D ∵PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,
∴点P在∠BAC的平分线上,故①正确;
由已知及①可知,PB=PC,∵PR⊥AB,PS⊥AC,PS=PR,
∴Rt△BPR≌Rt△CPS,∴BR=CS,
∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,
∴AS=AR,故②正确;
∵AQ=PQ,∴∠PQC=2∠PAC=60°
=∠BAC,
∴PQ∥AR,故③正确;
易知△PQC是等边三角形,∵PS⊥QC,∴△PQS≌△PCS,
结合②可知△BRP≌△QSP,故④也正确.
故选D.
2.B 过点E作EF⊥BC于F,如图所示,
则∠BFE=90°
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°
∴∠FEB=90°
-60°
=30°
.∵BE=AB+AE=8+4=12,
∴BF=
BE=6,∴CF=BC-BF=2,
∵ED=EC,EF⊥BC,∴DF=CF=2,∴BD=BF-DF=4.故选B.
3.答案 -3;
C
解析 若点A表示的数为x-3,点B表示的数为2x+1,点C表示的数为-4,
则-4-（2x+1）=2x+1-（x-3）,∴-3x=9,x=-3.
故点A表示的数为x-3=-3-3=-6,
点B表示的数为2x+1=2×
（-3）+1=-5,
∴等边三角形ABC的边长为1.
数字2012对应的点到-4对应的点的距离为2012+4=2016,
∵2016÷
3=672,
∴数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合.
1.D ∵∠C=90°
∴∠CAB=60°
∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD=30°
∴∠CAD=∠BAD=∠B=30°
∴AD=BD,AD=2CD,
∴BD=2CD.
根据已知不能推出CD=ED,因此选项D错误,
2.B ∵BC的垂直平分线交AB于E,BE=2,∴BE=CE=2,∴∠B=∠DCE=30°
∵CE平分∠ACB,∴∠ACB=2∠DCE=60°
∠ACE=∠DCE=30°
∴∠A=180°
-∠B-∠ACB=90°
.在Rt△CAE中,∵∠A=90°
∠ACE=30°
CE=2,∴AE=
CE=1.
3.解析
（1）∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°
∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°
∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°
∴∠F=90°
-∠EDC=30°
（2）∵∠ACB=60°
∠EDC=60°
∴△EDC是等边三角形.∴ED=DC=2.
∵∠DEF=90°
∠F=30°
∴DF=2DE=4.
1.解析
（1）证明:
∵△ABC、△CDE都是等边三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,
∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE,
∴AD=BE.
（2）∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC.
∵三角形DCE是等边三角形,
∴∠CED=∠CDE=60°
∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED
=∠ADC+60°
+∠BED=∠CED+60°
=120°
∴∠DOE=180°
-（∠ADE+∠BED）=60°
（3）证明:
∵△ACD≌△BCE,
∴∠CAD=∠CBE,AD=BE,
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点,
∴AM=
AD,BN=
BE,∴AM=BN.
在△ACM和△BCN中,
∴△ACM≌△BCN,∴CM=CN,∠ACM=∠BCN,
又∠ACB=60°
∴∠ACM+∠MCB=60°
∴∠BCN+∠MCB=60°
∴∠MCN=60°
∴△MNC是等边三角形.
2.证明 如图,延长OE至点M,使OM=OC,连接CM,
∵∠BCD=∠CBE=30°
∴OB=OC,∠MOC=30°
+30°
∵OM=OC,∴△OMC为等边三角形,
∴CM=OC=OB,∠M=∠MOC=60°
又∠BEC=∠A+∠DBO=60°
+∠DBO,
∠BEC=∠M+∠MCE=60°
+∠MCE,
∴∠DBO=∠MCE.∵∠DOB=∠MOC,∴∠M=∠DOB.
在△BOD和△CME中,
∴△BOD≌△CME,∴DO=EM,
∴OE+OD=OM=OB.
在Rt△OBG中,∠OBG=30°
OG⊥BC,
∴2OG=OB,∴OE+OD=2OG.
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