最新人教版数学八年级上册第十三章第8课时 等腰三角形的判定与性质教师版文档格式.docx

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【例1】

（2014春•历城区期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，求CE的长度．

总结：

1.当题中出现等腰三角形时，直接利用等腰三角形的性质解答边、角问题.

2.当图中出现等腰三角形，但题中未给出等腰三角形这一条件，要通过题中边、角的条件判定等腰三角形，再利用等腰三角形的性质解答边与角的问题.

练1（2014•盘锦）如图，△ABC中，AB=AC=6，点M在BC上，ME∥AC，交AB于点E，MF∥AB，交AC于点F，则四边形MEAF的周长是（　　）

A．6B．8C．10D．12

练2如图，在△ABC中，AB=AC，高BD、CE相交于点O，试用所学习的知识说明OB=OC．

2.构造等腰三角形解题

【例2】如图，在△ABC中，∠ABC=120O,BD是AC边上的高，若AB+AD=DC，求∠C的度数.

当题中和图中没有给出等腰三角形时，可以添加适当的辅助线构造等腰三角形求【解析】

（1）若题中存在等角，可通过添加平行线将等角转移到一个三角形中，得到等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质求解；

（2）若题中出现倍角关系，可通过倍角关系向外延长（或向内截取）构造等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质和判定求解.

（3）若题中出现线段的和差关系，可通过线段的和差关系向外延长（或向内截取）构造等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质和判定求解.

练3（2014秋•丰都县校级期中）如图，已知BD=CE，AD=AE，求证：

AB=AC．

五、课后小测

一、选择题

1．（2014秋•定兴县期末）如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，当∠A的位置及大小变化时，线段EF和BE+CF的大小关系（　　）

A．EF＞BE+CFB．EF=BE+CFC．EF＜BE+CFD．不能确定

2．（2014秋•巢湖期末）如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是（　　）

①△BDF、△CEF都是等腰三角形；

②DE=BD+CE；

③△ADE的周长为AB+AC；

④BD=CE．

A．③④B．①②C．①②③D．②③④

3．（2014秋•江津区期末）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=8，则DF的长是（　　）

A．2B．3C．

D．4

4．（2014秋•新泰市期末）在等腰三角形ABC中，AB=AC，BE，CD分别是底角的平分线，DE∥BC，图中等腰三角形的个数有（　　）

A．4个B．5个C．6个D．8个

二、填空题

5．（2014•南宁校级模拟）在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°

方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°

方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距　　m．

6．（2014春•浦东新区期末）如图，已知△ABC，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC交AC于点E．如果EC=2AE，AC=5，则DE=　　．

7．（2014秋•启东市期中）如图，△ABC中，AE为中线，AD为高，∠BAD=∠EAD．若BC=10cm，则DC=　　．

三、解答题

8．（2015•杭州模拟）已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB于点F．请找出一组相等的线段（AB=AC除外）并加以证明．

9．（2013秋•微山县期末）如图，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，求△PDE的周长．

10．（2013秋•海淀区期末）在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB=5，求线段DE的长．

11．（2014秋•天津期末）在△ABC中，已知∠B、∠C的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB，AC于E、F．

（1）图1中写出等腰三角形，并找出EF与BE、CF间的关系；

（2）图2中∠ABC的平分线与三角形外角∠ACG的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，这时图中还有等腰三角形吗？

如果有写出来，此时EF与BE、CF间的关系如何？

说明理由．

12．（2013秋•渭城区校级期末）如图，已知：

△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，AB=8cm，AC=6cm．

（1）求证：

BE+CF=EF．

（2）求△ADE的周长．

13．（2014秋•天河区期中）如图，BA⊥AD，∠ADB=∠ABD=∠DAO，∠DBC=60°

，∠DCO=∠BCO．

BD⊥AC；

（2）求∠DCO的度数；

（3）求证：

BC=DC．

典例探究答案：

【例1】【解析】根据等边对等角得出∠B=∠C，再根据EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°

，∠B+∠BFP=90°

，从而得出∠E=∠BFP，再根据对顶角相等得出∠BFP=∠AFE，所以∠E=∠AFE，最后根据等角对等边即可得出答案．

证明：

在△ABC中，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∵EP⊥BC，

∴∠C+∠E=90°

，

∴∠E=∠BFP，

又∵∠BFP=∠AFE，

∴∠E=∠AFE，

∴AF=AE，

∴△AEF是等腰三角形．

又∵AF=2，BF=3，

∴CA=AB=5，AE=2，

∴CE=7．

点评：

本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明∠E=∠AFE，注意等边对等角，以及等角对等边的灵活使用．

练1．【解析】∵ME∥AC，MF∥AB，

则四边形AEMF是平行四边形，

∠B=∠FMC，∠EMB=∠C

∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∴∠B=∠EMB，∠C=∠FMC

∴BE=EM，FM=FC，

所以：

▱AFDE的周长等于AE+EM+AF+FM=（AE+BE）+（AF+FC）=AB+AC=12．

故选：

D．

练2．【解析】先根据AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，再由垂直可得90°

的角，在△BCE和△BCD中，利用内角和为180°

，可分别求∠BCE和∠DBC，利用等量减等量差相等，可证．

解：

∴∠ABC=∠ACB．

∵BD、CE分别是高，

∴BD⊥AC，CE⊥AB．

∴∠CEB=∠BDC=90°

．

∴∠ECB=90°

-∠ABC，∠DBC=90°

-∠ACB．

∠ECB=∠DBC．

∴OB=OC．

本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；

等量减等量差相等的利用是解答本题的关键．

【例2】【解析】延长DA到E，使AE=AB，从而求出DE=DC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BC=BE，再根据等边对等角可得∠C=∠E，∠E=∠ABE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BAD，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解.

如图，延长DA到E，使AE=AB，

∵AB+AD=DC，

∴AE+AD=AB+AD=DC,

又∵BD是AC边上的高，

∴BD是CE的垂直平分线，

∴BC=BE.

根据等边对等角，得∠C=∠E，∠E=∠ABE，

根据三角形的外角性质，得∠BAD=∠E+∠ABE=2∠C，

又∵在△ABC中，∠BAD+∠C+∠ABC=180O,

∴2∠C+∠C+120O=180O,

解得∠C=20O.

本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，利用“补长”法作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键.

练3．【解析】过点F作AF⊥BC于点F，

∵AD=AE，

∴DF=EF，

∵BD=CE，

∴BF=CF，

∴AB=AC．

课后小测答案：

1．【解析】由BD平分∠ABC得，∠EBD=

∠ABC，

∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠ABC=2∠EBD，∠AEF=∠EBD+∠EDB，

∴∠EBD=∠EDB，

∴△BED是等腰三角形，

∴ED=BE，

同理可得，DF=FC，（△CFD是等腰三角形）

∴EF=ED+EF=BE+FC，

∴EF=BE+CF．

故选B．

2．【解析】∵DE∥BC，

∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，

∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，

∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，

∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，

∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．

∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，

∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．

故选C．

3．【解析】∵△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，

∴DE∥AB，BD=

BC=4，

∴∠ABF=∠BFD，

∵BF平分∠ABC，

∴∠FBC=∠ABF，

∴∠BFD=∠DBF，

∴DB=DF=4，

故选D．

4．【解析】如图，

∴∠ABC=∠ACB（设为2α）；

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠AED=2α；

∠DEO=∠CBO=α，∠EDO=∠BCO=α；

∵BE，CD分别是底角的平分线，

∴∠ABE=∠CBE=α，∠ACD=∠BCD=α，

∴∠DBE=∠DEB，∠EDC=∠ECD，∠ODE=∠OED，∠OBC=∠OCB，

∴AD=AE、OD=OE、OB=OC、BD=ED、CE=DE，

∴图中共有6个等腰三角形，

5．【解析】∵B在A的正东方，C在A地的北偏东60°

方向，

∴∠BAC=90°

﹣60°

=30°

∵C在B地的北偏东30°

∴∠ABC=90°

+30°

=120°

∴∠C=180°

﹣∠BAC﹣∠ABC=180°

﹣30°

﹣120°

∴∠BAC=∠C，

∴BC=AB=200m．

故答案为：

200．

6．【解析】∵DC平分∠ACB，

∴∠BCD=∠ACD，

∴∠EDC=∠BCD，

∴∠EDC=∠ACD，

∴ED=EC，

∵EC=2AE，AC=5，

∴EC=

AC=

∴DE=

7．【解析】∵AD为高，∠BAD=∠EAD，

∴BD=DE，

∵AE为中线，BC=10cm，

∴BE=CE=

BC=5cm，

BE=2.5（cm），

∴DC=DE+EC=7.5（cm）．

7.5cm．

8．【解析】AD=AF；

∴∠B=∠C

∵DE⊥BC，

∴∠BEF=∠DEC=90°

∴∠BFE=∠D，

∵∠BFE=∠DFA，

∴∠DFA=∠D，

∴AF=AD．

9．【解析】∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，

∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，

∵PD∥AB，PE∥AC，

∴∠ABP=∠DPB，∠ACP=∠CPE，

∴∠PBD=∠DPB，∠PCE=∠CPE，

∴BD=PD，EC=PE，

∵BC=5cm，

∴△PDE的周长为：

PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5（cm）．

10．【解析】∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵DE∥AC，

∴∠CAD=∠ADE，

∴∠BAD=∠ADE，

∴AE=DE，

∵AD⊥DB，

∴∠ADB=90°

∴∠EAD+∠ABD=90°

，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°

∴∠ABD=∠BDE，

∴DE=BE，

∵AB=5，

∴DE=BE=AE=

AB=2.5．

11．【解析】

（1）图中的等腰三角形有△BEO和△CFO．

∴∠EOB=∠OBC．

∵∠EBO=∠OBC，

∴∠EOB=∠EBO，

∴△BEO是等腰三角形；

同理可证：

△CFO是等腰三角形；

（2）EF=BE﹣CF．

理由：

∵BO平分∠ABC，

∴∠ABO=∠OBC．

又∵EO∥BC，

∴∠EOB=∠OBC；

∴∠ABO=∠EOB，

∴BE=EO；

CF=FO；

∵EF=EO﹣FO，

∴EF=BE﹣CF．

12．【解析】

（1）证明：

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD=∠DBC，

∴∠EDB=∠DBC，

∴∠EDB=∠EBD，

同理CF=DF，

∴EF=DE+DF=BE+CF，

即BE+CF=EF．

（2）

【解析】∵BE=ED，DF=DC，

∴△AEF的周长=AE+AF+EF=AB+AC=8+6=14（厘米）．

13．【解析】

∵BA⊥AD，

∴∠BAD=90°

∴∠ABD=∠ADB=45°

∴∠DAO=45°

∴∠AOD=90°

∴BD⊥AC；

【解析】

∵∠DCO=∠BCO，且∠DBC=60°

∴∠DCO=∠BCO=30°

；

（3）证明：

由

（1）可知O为BD中点，且AC⊥BD，

∴AC垂直平分BD，

∴BC=DC．