高中数学第1章计数原理章末分层突破学案11Word文件下载.docx

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【规范解答】　

（1）完成的事情是带一本书，无论带外语书，还是数学书、物理书，事情都已完成，从而确定为应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12（种）.

（2）完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×

4×

3＝60（种）.

（3）选1本外语书和选1本数学书应用分步乘法计数原理，有5×

4＝20种选法；

同样，选外语书、物理书各1本，有5×

3＝15种选法；

选数学书、物理书各1本，有4×

3＝12种选法.即有三类情况，应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47（种）.

应用两个计数原理解决应用问题时主要考虑三方面的问题：

1要做什么事；

2如何去做这件事；

3怎样才算把这件事完成了.并注意计数原则：

分类用加法，分步用乘法.

[再练一题]

1.如图11为电路图，从A到B共有________条不同的线路可通电.

图11

【解析】　先分三类.第一类，经过支路①有3种方法；

第二类，经过支路②有1种方法；

第三类，经过支路③有2×

2＝4（种）方法，所以总的线路条数N＝3＋1＋4＝8.

【答案】　8

排列、组合的应用

排列、组合应用题是高考的重点内容，常与实际问题结合命题，要认真审题，明确问题本质，利用排列、组合的知识解决.

（1）某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加西部经济开发建设，其中甲不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

（2）在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目.

①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？

②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？

③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？

【精彩点拨】　按照“特殊元素先排法”分步进行，先特殊后一般.

【规范解答】　

（1）因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：

①若甲乙都不参加，则有派遣方案A种；

②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有A种方法，所以共有3A种方法；

③若乙参加而甲不参加同理也有3A种；

④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余学生到另两个城市有A种，共有7A种方法.

所以共有不同的派遣方法总数为A＋3A＋3A＋7A＝4088种.

（2）①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5040种方法；

第二步，再松绑，给4个节目排序，有A＝24种方法.

根据分步乘法计数原理，一共有5040×

24＝120960种.

②第一步，将6个演唱节目排成一列（如下图中的“□”），一共有A＝720种方法.

×

□×

第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间（即图中“×

”的位置），这样相当于7个“×

”选4个来排，一共有A＝7×

6×

5×

4＝840种.

根据分步乘法计数原理，一共有720×

840＝604800种.

③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有＝A＝132种排法.

解排列、组合应用题的解题策略

1.特殊元素优先安排的策略.

2.合理分类和准确分步的策略.

3.排列、组合混合问题先选后排的策略.

4.正难则反、等价转化的策略.

5.相邻问题捆绑处理的策略.

6.不相邻问题插空处理的策略.

7.定序问题除序处理的策略.

8.分排问题直排处理的策略.

9.“小集团”排列问题中先整体后局部的策略.

10.构造模型的策略.

简单记成：

合理分类，准确分步；

特殊优先，一般在后；

先取后排，间接排除；

集团捆绑，间隔插空；

抽象问题，构造模型；

均分除序，定序除序.

2.

（1）一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是（　　）

A.40B.74

C.84D.200

（2）（2016·

山西质检）A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（　　）

A.60种B.48种

C.30种D.24种

【解析】　

（1）分三类：

第一类，前5个题目的3个，后4个题目的3个；

第二类，前5个题目的4个，后4个题目的2个；

第三类，前5个题目的5个，后4个题目的1个.由分类加法计数原理得CC＋CC＋CC＝74.

（2）由题意知，不同的座次有AA＝48种，故选B.

【答案】　

（1）B　

（2）B

二项式定理问题的处理方法和技巧

对于二项式定理的考查常出现两类问题，一类是直接运用通项公式来求特定项.另一类，需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题.

（1）（2014·

湖北高考）若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a＝（　　）

A.2B.

C.1D.

沈阳高二检测）已知（1＋x＋x2）n（n∈N＋）的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n＝________.【导学号：

62980030】

（3）设（3x－1）6＝a6x6＋a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a6＋a4＋a2＋a0的值为________.

【精彩点拨】　

（1）、

（2）利用二项式定理的通项求待定项；

（3）通过赋值法求系数和.

【规范解答】　

（1）二项式7的展开式的通项公式为Tr＋1＝C（2x）7－rr＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.

（2）n展开式的通项是Tr＋1＝Cxn－rr＝Cxn－4r，r＝0,1,2，…，n，

由于（1＋x＋x2）n的展开式中没有常数项，所以Cxn－4r，xCxn－4r＝Cxn－4r＋1和x2Cxn－4r＝Cxn－4r＋2都不是常数，则n－4r≠0，n－4r＋1≠0，n－4r＋2≠0，又因为2≤n≤8，所以n≠2,3,4,6,7,8，故取n＝5.

（3）令x＝1，

得a6＋a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝26＝64.

令x＝－1，得a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝（－4）6＝4096.

两式相加，得2（a6＋a4＋a2＋a0）＝4160，

所以a6＋a4＋a2＋a0＝2080.

【答案】　

（1）C　

（2）5　（3）2080

1.解决与二项展开式的项有关的问题时，通常利用通项公式.

2.解决二项展开式项的系数（或和）问题常用赋值法.

3.

（1）（2014·

浙江高考）在（1＋x）6（1＋y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f（3,0）＋f（2,1）＋f（1,2）＋f（0,3）＝（　　）

A.45B.60

C.120　　D.210

（2）设a∈Z，且0≤a<

13，若512016＋a能被13整除，则a＝（　　）

A.0B.1

C.11D.12

【解析】　

（1）因为f（m，n）＝CC，

所以f（3,0）＋f（2,1）＋f（1,2）＋f（0,3）

＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.

（2）512016＋a＝（13×

4－1）2016＋a，被13整除余1＋a，结合选项可得a＝12时，512016＋a能被13整除.

【答案】　

（1）C　

（2）D

排列、组合中的分组与分配问题

n个不同元素按照条件分配给k个不同的对象称为分配问题，分定向分配与不定向分配两种问题；

将n个不同元素按照某种条件分成k组，称为分组问题，分组问题有不平均分组、平均分组、部分平均分组三种情况.分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使2组元素个数相同，但因所属对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组再排列.

　按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？

（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；

（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本；

（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；

（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本.

【精彩点拨】　这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏.

【规范解答】　

（1）无序不均匀分组问题.先选1本有C种选法，再从余下的5本中选2本有C种选法，最后余下3本全选有C种选法.故共有CCC＝60（种）.

（2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在第

（1）问基础上，还应考虑再分配，共有CCCA＝360（种）.

（3）无序均匀分组问题.先分三步，则应是CCC种方法，但是这里出现了重复.不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则CCC种分法中还有（AB，EF，CD），（AB，CD，EF），（CD，AB，EF），（CD，EF，AB），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD），共A种情况，而这A种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有＝15（种）.

（4）有序均匀分组问题.在第（3）问基础上再分配给3个人，共有分配方式·

A＝CCC＝90（种）.

（5）无序部分均匀分组问题.共有＝15（种）.

（6）有序部分均匀分组问题.在第（5）问基础上再分配给3个人，共有分配方式·

A＝90（种）.

（7）直接分配问题.甲选1本有C种方法，乙从余下5本中选1本有C种方法，余下4本留给丙有C种方法.共有CCC＝30（种）.

均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.

4.有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行.如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？

【解】　取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有3种情况：

1144,2233,1234.

所取卡片是1144的共有A种排法.

所取卡片是2233的共有A种排法.

所取卡片是1234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有排法A＋CA＋CA＋CA＋A＝16A种.所以共有18A＝432种.

1.（2015·

全国卷Ⅰ）（x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　）

A.10B.20　　　

C.30　　　D.60

【解析】　法一：

（x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，

含y2的项为T3＝C（x2＋x）3·

y2.

其中（x2＋x）3中含x5的项为Cx4·

x＝Cx5.

所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.

法二：

（x2＋x＋y）5为5个（x2＋x＋y）之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.

【答案】　C

2.（2016·

全国卷Ⅱ）如图12，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（　　）

图12

A.24B.18

C.12D.9

【解析】　先确定从E到G的步骤，再分别考虑每一步中最短路径的条数，最后求出最短路径的总条数.

从E到G需要分两步完成：

先从E到F，再从F到G.从F到G的最短路径，只要考虑纵向路径即可，一旦纵向路径确定，横向路径即可确定，故从F到G的最短路径共有3条.如图，从E到F的最短路径有两类：

先从E到A，再从A到F，或先从E到B，再从B到F.因为从A到F或从B到F都与从F到G的路径形状相同，所以从A到F，从B到F最短路径的条数都是3，所以从E到F的最短路径有3＋3＝6（条）.所以小明到老年公寓的最短路径条数为6×

3＝18.

【答案】　B

3.（2016·

全国卷Ⅱ）有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：

“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：

“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：

“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________.

【解析】　先确定丙的卡片上的数字，再确定乙的卡片上的数字，进而确定甲的卡片上的数字.

法一：

由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.

若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；

若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法.

故甲的卡片上的数字是1和3.

因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.

【答案】　1和3

4.（2016·

全国卷Ⅰ）（2x＋）5的展开式中，x3的系数是________.（用数字填写答案）

【解析】　（2x＋）5展开式的通项为Tr＋1＝

C（2x）5－r（）r＝25－r·

C·

x5－.

令5－＝3，得r＝4.

故x3的系数为25－4·

C＝2C＝10.

【答案】　10