中心对称小结《矩形在平面内x轴上旋转顶点坐标规律的探索》文档格式.docx
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如图，矩形A0B0C0D0,A0（0,0）、B0（2,0）、C0（2,1）、D0（0,1）,矩形A0B0C0D0绕点B0顺时针方向旋转90°
后得到矩形A1B1C1D1，矩形A1B1C1D1再绕点C1顺时针方向旋转90°
后得到矩形A2B2C2D2，矩形A2B2C2D2再绕点D2顺时针方向旋转90°
后得到矩形A3B3C3D3，按这样方式继续旋转，得到矩形A4B4C4D4…
A0（0,0）
B0（2,0）
C0（2,1）
D0（0,1）
A4（，）
B4（,）
C4（，）
D4（，）
A8（，）
B8（，）
C8（，）
D8（，）
A1（2,2）
B1（2,0）
C1（3,0）
D1（3,2）
A2（5,1）
B2（3,1）
C2（3,0）
D2（5,0）
A3（6,0）
B3（6,2）
C3（5,2）
D3（5,0）
A2017（,）
B2017（,）
表中已给出了一些矩形的顶点坐标。
谁能快速地说出A4、B4、C4、D4的坐标呢？
学生回答
谁还能快速地说出A8、B8、C8、D8的坐标呢？
谁还能快速地说出A2017、B2017的坐标呢？
就没那么容易了吧。
那么如何又快又准地求出像A2017、B2017矩形旋转很多次得到的图形的顶点坐标呢？
这就是本节课要和大家共同解决的问题，即“矩形在平面内x轴上旋转顶点坐标规律的探索”
教师出示课题：
Ҥ
矩形在平面内x轴上旋转顶点坐标规律的探索”
希望通过本节课的共同探讨，同学们能够归纳总结出：
“求矩形经过任意次数的旋转后得到的图形的顶点坐标的规律”，为了达到这个目的,老师设计了以下几个活动和评分标准希望大家积极参与。
各组选手答题：
1号答对得1分，2号答对得2分，3号答对得3分，4号答对得4分，答错不得分，并由其他组选手补充，最后算出总分，小组评比。
评分表（教师提前画在黑板上）
选手
组别
1号
2号
3号
4号
总分
名次
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
活动一：
探索和矩形A0B0C0D0相当于平移变换（字母必须对应）的矩形的顶点坐标的规律（教师解释字母对应）
A4（6,0）
B4（8,0）
C4（8,1）
D4（6,1）
A8（12,0）
B8（14,0）
C8（14,1）
D8（12,1）
问题：
1、师：
找出现在有图中和矩形A0B0C0D0相当于平移变换的矩形，你是怎么看出来的？
生：
矩形A4B4C4D4、矩形A8B8C8D8
师：
你是怎么看出来的？
从图形和表格中对应点坐标的变化，如A点坐标的变化，纵坐不变，横坐标变化。
2、师：
说明从矩形A0B0C0D0到矩形A4B4C4D4平移的方向和长度，平移长度的特殊意义。
向右平移6个单位长度，恰好是矩形的周长。
3、师：
从矩形A0B0C0D0到矩形A4B4C4D4经过几次旋转？
为什么要经过这些次旋转会出现平移效果？
4次四边形外角和360°
4、师：
说明从矩形A0B0C0D0到矩形A8B8C8D8平移的方向和长度，平移长度的特殊意义。
向右平移8个单位长度，恰好是矩形的2倍周长。
5、师：
按这种方式旋转下去，同学们猜想一下，还有哪些矩形和矩形A0B0C0D0相当于平移变换？
说一个顶点角标数较大的点矩形。
矩形A12B12C12D12、矩形A16B16C16D16、矩形A20B20C20D20、矩形A24B24C24D24…矩形A2000B2000C2000D2000。
6、师板书：
矩形A0B0C0D0:
矩形A12B12C12D12、矩形A16B16C16D16、矩形A20B20C20D20…矩形A2000B2000C2000D2000。
7、师：
说说这些矩形顶点角标的特点。
都能被4整除。
8、师：
验证猜想。
按如下方法动手实践验证：
把课桌左边看作y轴，向上为正方向，把下边看作x轴，向右为正方向，建立直角坐标系，把事先准备好的和图中完全一样的矩形按上述的方式旋转，把通过实践操作得出的结论填入表一相应的空格中。
（教师边说边板前图形旋转示范，用两张重合的图形，下面的图形固定，上面的图形进行旋转。
）
9、师：
经过实践验证我们的猜想正确吗？
正确。
10、师：
相信同学们通过旋转很容易得到矩形A12B12C12D12、矩形A16B16C16D16、和矩A0B0C0D0有平移关系，那么像矩形A20B20C20D20、矩形A24B24C24D24这样的图形课桌不够长你是怎样旋转出来的呢？
板前演示，把矩形A0B0C0D0的位置当做矩形A12B12C12D12的位置进行旋转，解决课桌不够长的问题。
（评价）非常好很有创意。
11、师：
学生先试着独立完成表一中其他空格填写，解决不了的再小组合作完成。
巡视、指导、答疑。
12、生：
汇报成果。
为什么除以4？
为什么乘以6？
为什么加6？
…
每经过4次旋转图形就旋转一周，每旋转一周就平移6个向右平移6个单位，横坐标加6，纵坐标不变。
生总结：
矩形角标除4，用商乘6，横坐标加上结果就是后来的坐标。
（纠正补充）纠正补充，应是除以4，积加上横坐标，纵坐标不变就是对应点的坐标。
（评价）总结的非常全面。
（总结）求和矩形A0B0C0D0有平移关系的矩形的方法：
先用旋转后的有平移关系矩形顶点的角标除以4的商乘以周长，再用得到的积加上对照点的横坐标、纵坐标不变就是旋转后图形对应点坐标。
表一
旋转对照图形及顶点坐标
旋转后哪个矩形和对照图形相当于平移变换
从对照图形开始共旋转了几周（用数学算是表示）
沿x轴平移的长度（用数学算式表示）
旋转后个别点的坐标（横坐标用数学算式表示）
矩形A4B4C4D4
=6
A4（,0）
矩形A8B8C8D8
=12
B8（,0）
C12（，）
D16（，）
13、练习：
求A2016的坐标。
（板演）2016÷
4=504，504×
6=3024，A0（0，0），3024+0=3024
∴A2016（3024，0）。
我们归纳总结出了和矩形A0B0C0D0相当于平移变换（字母必须对应）的矩形的顶点坐标的规律，那么和矩形A1B1C1D1相当于平移变换（字母必须对应）的矩形的顶点坐标的规律又是什么样的呢？
下面我们就来共同探讨这个问题。
活动二：
探索和矩形A1BC1D1相当于平移变换（字母必须对应）的矩形的顶点坐标的规律
图中哪个矩形和矩形A1B1C1D1相当于平移变换？
（字母必须对应）
矩形A5B5C5D5
同学们猜想一下，除了矩形A5B5C5D5还有哪些矩形和矩形A1B1C1D1相当于平移变换？
说一个顶点角标数较大的矩形。
矩形A13A13B13C13D13、矩形A17A17B17C17D17…
矩形A2001A2001B2001C2001D2001。
3、教师板书：
矩形A1B1C1D1:
矩形A5B5C5D5、矩形A9B9C9D9、矩形A13B13C13D13、…
被4除余1，减1的差能被4整除。
5、师：
同学们像活动一那样实践操作来验证我们的猜想吧，把通过实践操作得出结论填入表二相应的空格中。
6、这些矩形相对于矩形A1B1C1D1各自旋转了几周?
你是怎样算出来的？
举例说明。
矩形A5B5C5D5一周、矩形A9B9C9D9两周、矩形A13B13C13D13三周、A2001A2001B2001C2001D2001500周，如2001÷
4=500…1
同学们先试着独立完成表二中其他空格填写，解决不了的再小组合作完成，师巡视、指导、答疑。
8、生：
提出疑问，如：
（9-1）÷
4=2中-1和2的意义，或9÷
4=2…1中2和1的意义。
1是和矩形A9B9C9D9有平移关系的最初的对照矩形的顶点的角标。
2是旋转的周数…
矩形的角标数除以4的商乘以6的积为平移的长度，余数就是对照点的角标，用长度加上对照点的横坐标纵坐标不变就是对应点的坐标。
师总结：
先用旋转后的有平移关系矩形的顶点的角标减1的差除以4后的商乘以周长，再用所得的积加上对照点的横坐标、纵坐标不变就是旋转后图形对应点坐标。
练习：
求A2017的坐标。
2017÷
4=504…1,504×
6=3024,A1（2，2），3024+2=3026，
∴A2017（3026,2）。
D5（,）
A9（,）
B13（，）
表二
我们归纳总结出了和矩形A1B1C1D1相当于平移变换（字母必须对应）的矩形顶点坐标的规律，那么和矩形A2B2C2D2相当于平移变换（字母必须对应）的矩形顶点坐标的规律又是什么样的呢？
活动三：
探索和矩形A2B2C2D2相当于平移变换（字母必须对应）的矩形的顶点坐标的规律
图中哪个矩形和矩形A2B2C2D2相当于平移变换（字母必须对应）？
矩形A6B6C6D6
2、师：
同学们猜想一下，除了矩形A6B6C6D6还有哪些矩形和矩形A2B2C2D2相当于平移变换？
矩形A10B10C10D10、矩形A14B14C14D14、…
矩形A2002B2002C2002D2002
矩形A2B2C2D2:
矩形A6B6C6D6、矩形A10B10C10D10、矩形A14B14C14D14、…
说说这些矩形顶点角标特点。
被4除余2
这些矩形相对于矩形A2B2C2D2各自旋转了几周?
如（14-2）÷
4=3,3周。
6、师：
同学们先试着独立完成表三的填写（本次活动可略去实践操作），解决不了的问题再小组合作完成。
教师巡视、指导、答疑。
7、生汇报成果。
提出疑问，学生解释说明，师生评价。
如：
（14-2）÷
4=3中-2和3的意义，或14÷
4=3…2中3和2的意义。
2是和矩形A14B14C14D14有平移关系的最初的对照矩形的顶点的角标。
3是旋转的周数…
师生总结：
先用旋转后的有平移关系矩形的顶点的角标减2的差除以4后的商乘以周长，再用所得的积加上对照点的横坐标、纵坐标不变就是旋转后图形对应点坐标。
矩形A6B6C6D6
D6（,）
C10（,）
B14（，）
表三
通过实践和小组合作我们归纳总结出了和矩形A1B1C1D1、矩形A2B2C2D2有平移关系（字母必须对应）的矩形的顶点坐标的规律，根据以上探究过程和总结的规律规律同学们试着直接归纳出和矩形A3B3C3D3相当于平移变换（字母必须对应）的矩形顶点坐标的规律。
活动四：
探索和矩形A3B3C3D3、相当于平移变换（字母必须对应）
的矩形顶点坐标的规律。
教师提问，学生直接解答，师生评价，教学实录过程同上。
表四
矩形A7B7C7D7
B7（,）
C11（,）
D15（，）
练习:
求A2019的坐标。
2019÷
4=504…3,504×
6=3024，A3（6，0），3024+=3030
∴A2018（3030,0）
归纳总结：
求矩形AnBnCnDn的顶点坐标的方法：
（学生总结，师生评价、归纳）如求B2011、C2012的坐标。
2011÷
4=502…3,502×
6=3012，B3（6，2），3012+6=3018
∴A2018（3018,2）
2012÷
4=503…0,503×
6=3018，C0（2，1），3018+0=3018
∴A2018（3018,1）
用矩形AnBnCnDn的顶点角标n除以4得的商乘以矩形的周长得的积a就是图形沿x轴相对于对照图形平移的长度，如果余数是b，和矩形AnBnCnDn有平移关系的最初的对参照图形就是矩形AbBbCbDb，再用a加上对照点的横坐标、纵坐标不变就是旋转后的图形对应点坐标。
活动五：
当堂练习
求点A19、A2022的坐标。
A19（30，0），A2022（3035，1）。
活动六：
巩固提升
如图，矩形A1B1C1D1,A1（0,0）、B1（2,0）、C1（2,1）、D1（0,1）,矩形A1B1C1D1绕点B1顺时针方向旋转90°
后得到矩形A2B2C2D2，矩形A2B2C2D2再绕点C2顺时针方向旋转90°
后得到矩形A3B3C3D3，矩形A3B3C3D3再绕点D3顺时针方向旋转90°
后得到矩形A4B4C4D4，按这样方式继续旋转，得到矩形A5B5C5D5…
求点C20、A2018的坐标。
C20（32,1），A2018（3026,2）。
答案都对吗？
C20（32,1）错了。
谁能说出错在哪里？
C20的对照点应该是C0（-1，1）或C4（5,1）而不是C1（2，1），
20÷
4=5,5×
6=30,30+（-1）=29，∴C20（29,1）。
答的非常好，继续努力。
活动七：
谈谈本节课的收获：
知识方面
要想求旋转后矩形的顶点坐标，先找出和它有平移关系的矩形。
过程与方法
经历了从简单到复杂的学习过程，和同学门一起和做，学习效率更高，有不会的同组的同学能主动帮助我，我感到很快了
谈谈本节课的感悟
一开始我觉得本节课很难，在老师的引导和同学们的帮助下我学会了本节课的内容，我体会到合作学习的快乐，我不仅学会了本节课的重点和难点而且增进了和同学们的友谊。
我感觉的再难的事只要有信心，肯付出一定会得到回报的。
同学们总结的非常好。
九、板书设计：
矩形在平面内x轴上旋转顶点坐标规律的探索
1、矩形A0B0C0D0：
矩形A12B12C12D12、矩形A16B16C16D16、矩形A20B20C20D20、矩形A24B24C24D24
A2016的坐标（解答过程）
2、矩形A1B1C1D1:
A2017的坐标（解答过程）
3、矩形A2B2C2D2:
A2018的坐标（解答过程）
4、矩形A3B3C3D3:
矩形A7B7C7D7、矩形A11B11C11D11、矩形A15B15C15D15、…
A2019的坐标（解答过程）
十、教学反思：
在本节课的教学过程中我采用从简单到复杂逐步归纳的教学方法，在我的引导下通过实例学生进行一步一步的归纳总结，总结之后进行验证。
学生整体表现很积极，愿意参加小组合作中来，能体会合作学习的快乐，互帮互助，互相提高。
不足之处：
老师让学生展示的机会少，当学生总结时提问的学生少，没能让学生总结的更充分。
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