《步步高》高考物理一轮复习讲义第十二章 第1课时 机械振动Word文件下载.docx

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B．第1s末与第3s末的速度相同

C．3s末至5s末的位移方向都相同

D．3s末至5s末的速度方向都相同

答案　AD

解析　由表达式x＝Asint知，ω＝，简谐运动的周期T＝＝

8s．表达式对应的振动图象如图所示．

质点在1s末的位移x1＝Asin（×

1）＝A

质点在3s末的位移x3＝Asin（×

3）＝A，故A正确．由前面计算可知t＝1s和t＝3s质点连续通过同一位置，故两时刻质点速度大小相等，但方向相反，B错误；

由x－t图象可知，3s～4s内质点的位移为正值，4s～5s内质点的位移为负值，C错误；

同样由x－t图象可知，在3s～5s内，质点一直向负方向运动，D正确．

2．[对单摆特点的理解]做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的1/2，则单摆振动的（　　）

A．频率、振幅都不变B．频率、振幅都改变

C．频率不变、振幅改变D．频率改变、振幅不变

答案　C

解析　由单摆周期公式T＝2π知周期只与l、g有关，与m和v无关，周期不变，其频率不变．又因为没改变质量前，设单摆最低点与最高点高度差为h，最低点速度为v，mgh＝mv2.质量改变后：

4mgh′＝×

4m·

（）2，可知h′≠h，振幅改变．

3．[对受迫振动与共振的理解]如图1所示，A球振动后，通过水平

细绳迫使B、C振动，振动达到稳定时，下列说法中正确的是（　　）

A．只有A、C振动周期相等

B．C的振幅比B的振幅小

C．C的振幅比B的振幅大图1

D．A、B、C的振动周期相等

答案　CD

解析　A振动后，水平细绳上驱动力的周期TA＝2π，迫使B、C做受迫振动，受迫振动的频率等于施加的驱动力的频率，所以TA＝TB＝TC，而TC固＝2π＝TA，TB固＝2π>

TA，故C共振，B不共振，C的振幅比B的振幅大，所以C、D正确．

考点梳理

1．简谐运动

（1）定义：

物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动．

（2）简谐运动的特征

①动力学特征：

F＝－kx.

②运动学特征：

x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化（注意v、a的变化趋势相反）．

③能量特征：

系统的机械能守恒，振幅A不变．

（3）描述简谐运动的物理量

①位移x：

由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，是矢量．

②振幅A：

振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，它表示振动的强弱．

③周期T和频率f：

物体完成一次全振动所需的时间叫做周期，而频率则等于单位时间内完成全振动的次数．它们是表示振动快慢的物理量，二者互为倒数关系：

T＝.

（4）简谐运动的表达式

①动力学表达式：

F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反．

②运动学表达式：

x＝Asin（ωt＋φ），其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，（ωt＋φ）代表简谐运动的相位，φ叫做初相．

2．单摆

如图2所示，在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸长和质量都不计，球的直径比摆线短得多，这样的装置叫做单摆．

（2）视为简谐运动的条件：

摆角小于5°

.

（3）回复力：

小球所受重力沿圆弧切线方向的分力，即：

F＝图2

G2＝Gsinθ＝x，F的方向与位移x的方向相反．

（4）周期公式：

T＝2π.

（5）单摆的等时性：

单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g，与振幅和振子（小球）质量都没有关系．

3．受迫振动与共振

（1）受迫振动：

系统在驱动力作用下的振动．做受迫振动的物体，它的周期（或频率）等于驱动力的周期（或频率），而与物体的固有周期（或频率）无关．

（2）共振：

做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的频率越接近，

其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大，这就是共振现象．共振曲线如图3所示．

图3

4．[用图象法描述简谐运动]如图4所示为弹簧振子P在0～4s内的振

动图象，从t＝0开始（　　）

A．再过1s，该振子的位移是正的最大

B．再过1s，该振子的速度方向沿正方向

C．再过1s，该振子的加速度方向沿正方向

D．再过1s，该振子的加速度最大

解析　振动图象描述质点在各个时刻偏离平衡位置的位移的情况．依题意，从t＝0开始，再经过1s，振动图象将延伸到正x最大处．这时振子的位移为正的最大，因为回复力与位移成正比且方向与位移方向相反，所以此时回复力最大且方向为负方向，故振动物体的加速度最大且方向为负方向．此时振动物体的速度为零，无方向可谈．所以正确的选项为A、D.

5．[用图象法描述简谐运动]图5是某质点做简谐运动的振动图

象．根据图象中的信息，回答下列问题．

（1）质点离开平衡位置的最大距离是多少？

（2）在1.5s和2.5s这两个时刻，质点的位置各在哪里？

（3）在1.5s和2.5s这两个时刻，质点向哪个方向运动？

图5

答案　

（1）10cm

（2）在1.5s时，质点的位置在7cm处．在2.5s时，质点的位置在x＝－7cm处．

（3）这两个时刻，质点都向位移负方向运动．

方法提炼

1．简谐运动的图象表示物体的位移随时间变化的规律．

2．图景结合：

解决此类问题时，应把图象信息与质点的实际运动情景结合起来.

考点一　简谐运动的图象及运动规律

振动图象的信息：

（1）由图象可以看出振幅、周期．

（2）可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移．

（3）可以根据图象确定某时刻质点回复力、加速度和速度的方向．

①回复力和加速度的方向：

因回复力总是指向平衡位置，故回复力和加速度在图象上总是指向t轴．

②速度的方向：

速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离t轴，下一时刻位移如减小，振动质点的速度方向就是指向t轴．

例1

　如图6所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题：

（1）写出该振子简谐运动的表达式．

（2）在第2s末到第3s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、

动能和弹性势能各是怎样变化的？

（3）该振子在前100s的总位移是多少？

路程是多少？

图6

解析　

（1）由振动图象可得：

A＝5cm，T＝4s，φ＝0

则ω＝＝rad/s

故该振子简谐运动的表达式为x＝5sint（cm）

（2）由图可知，在t＝2s时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断增大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大．当t＝3s时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值．

（3）振子经过一个周期位移为零，路程为5×

4cm＝20cm，前100s刚好经过了25个周期，所以前100s振子位移x＝0，振子路程s＝20×

25cm＝500cm＝5m.

答案　

（1）x＝5sint（cm）　

（2）见解析　（3）0　5m

突破训练1

　弹簧振子做简谐运动的图象如图7所示，下列说法不正

确的是（　　）

A．在第5秒末，振子的速度最大且沿＋x方向

B．在第5秒末，振子的位移最大且沿＋x方向图7

C．在第5秒末，振子的加速度最大且沿－x方向

D．在0到5秒内，振子通过的路程为10cm

答案　A

考点二　单摆的回复力与周期

1．受力特征：

重力和细线的拉力

（1）回复力：

摆球重力沿切线方向上的分力，F＝－mgsinθ＝－x＝－kx，负号表示回复力F与位移x的方向相反．

（2）向心力：

细线的拉力和重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcosθ.

特别提醒　1.当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcosθ.

2．当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m.

2．周期公式：

T＝2π，f＝

（1）只要测出单摆的摆长l和周期T，就可以根据g＝4π2，求出当地的重力加速度g.

（2）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离，要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在圆弧的圆心．

（3）g为当地的重力加速度．

例2

　如图8所示为一单摆及其振动图象，由图回答：

图8

（1）若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图象中O、A、B、C点分别对应单摆中的__________点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________，势能增加且速度为正的时间范围是__________．

（2）单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是（　　）

A．位移B．速度

C．加速度D．动能

E．摆线张力

（3）求单摆的摆长（g＝10m/s2，π2≈10）．

解析　

（1）振动图象中O点位移为零，O到A的过程位移为正，且增大，A处最大，历时周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O对应E，A对应G.A到B的过程分析方法相同，因而O、A、B、C对应E、G、E、F点．摆动中EF间加速度为正，且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小，即从F向E的运动过程，在图象中为C到D的过程，时间范围是1.5s～2.0s间．摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，而速度为正，显然是从E向G的运动过程，在图象中为从O到A，时间范围是0～0.5s．

（2）经过同一位置时，位移、回复力和加速度不变；

由机械能守恒知，动能不变，速率也不变，摆线张力FT＝mgcosα＋m也不变；

相邻两次过同一点，速度方向改变．

（3）由题图可知：

T＝2s，由T＝2π得l＝＝1m.

答案　

（1）E、G、E、F　1.5s～2.0s　0～0.5s　

（2）B

（3）1m

突破训练2

　如图9所示，一单摆悬于O点，摆长为L，若在O点的竖直

线上的O′点钉一个钉子，使OO′＝L/2，将单摆拉至A处释放，小球将在A、B、C间来回振动，若振动中摆线与竖直方向夹角小于5°

，则此摆的周期是（　　）

A．2π图9

B．2π

C．2π（＋）

D．π（＋）

答案　D

解析　根据T＝2π，该单摆有周期摆长为L，周期摆长为L，故T＝π＋

π，故D正确．

考点三　受迫振动和共振

1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较

　振动　

项目　　

自由振动

受迫振动

共振

受力情况

仅受回

复力　

受驱动

力作用

振动周期或频率

由系统本身性

质决定，即固

有周期T0或

固有频率f0

由驱动力

的周期或

频率决定，

即T＝T驱

或f＝f驱

T驱＝T0

或f驱＝f0

振动能量

振动物体

的机械能

不变　　

由产生驱

动力的物

体提供　

获得的能

量最大　

常见例子

弹簧振子

或单摆

（θ≤5°

）

机械工作

时底座发

生的振动

共振筛、声

音的共鸣等

2．对共振的理解

（1）共振曲线：

如图10所示，横坐标为驱动力频率f，纵坐标为振幅A.它直观地反映了驱动力频率对某振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f与f0越接近，振幅A越大；

当f＝f0时，振幅A最大．

（2）受迫振动中系统能量的转化：

受迫振动系统机械能不守恒，系图10

统与外界时刻进行能量交换．

例3

　一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，图11所示的装置可用于研究

该弹簧振子的受迫振动．匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动．把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期．若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图12甲所示．当把手以某一速度匀速转动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图线如图乙所示．图11

若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，Y表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则（　　）

图12

A．由图线可知T0＝4s

B．由图线可知T0＝8s

C．当T在4s附近时，Y显著增大；

当T比4s小得多或大得多时，Y很小

D．当T在8s附近时，Y显著增大；

当T比8s小得多或大得多时，Y很小

解析　由题图可知弹簧振子的固有周期T0＝4s，故A选项正确，B选项错误；

根据受迫振动的特点；

当驱动力的周期与系统的固有周期相同时发生共振，振幅最大；

当驱动力的周期与系统的固有周期相差越多时，受迫振动物体振动稳定后的振幅越小，故C选项正确，D选项错误．

答案　AC

突破训练3

　某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f.若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是（　　）

A．当f<

f0时，该振动系统的振幅随f增大而减小

B．当f>

f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大

C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0

D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f

答案　BD

解析　物体在外界驱动力作用下的振动叫做受迫振动，物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系，驱动力的频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅增大，所以B、D正确．

52．单摆模型问题的特点和应用

单摆是一种理想化的物理模型，其周期公式T＝2π，其中l为等效摆长：

摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离．如图13甲所示的双线摆的摆长l＝r＋Lcosα.乙图中小球（可看做质点）在半径为R的光滑圆槽中靠近A点振动，其等效摆长为l＝R.

图13

例4

　如图14所示，ACB为光滑弧形槽，弧形槽半径为R，R≫

.甲球

从弧形槽的球心处自由落下，乙球从A点由静止释放，问：

（1）两球第1次到达C点的时间之比．

（2）若在圆弧的最低点C的正上方h处由静止释放小球甲，让其自由下图14

落，同时乙球从圆弧左侧由静止释放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点C处相遇，则甲球下落的高度h是多少？

解析　

（1）甲球做自由落体运动

R＝gt，所以t1＝

乙球沿圆弧做简谐运动（由于

≪R，可认为摆角θ＜5°

）．此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同，故此等效摆长为R，因此乙球第1次到达C处的时间为t2＝T＝×

2π＝，所以t1∶t2＝

（2）甲球从离弧形槽最低点h高处开始自由下落，到达C点的时间为t甲＝

由于乙球运动的周期性，所以乙球到达C点的时间为

t乙＝＋n＝（2n＋1）　n＝0,1,2，…

由于甲、乙在C点相遇，故t甲＝t乙

解得h＝（n＝0,1,2，…）

答案　

（1）　

（2）（n＝0,1,2，…）

突破训练4

　一个半圆形光滑轨道如图15所示，半径是R，圆心是O，

如果拿两个物体分别放在O点和B点（B点离A点很近），同时从静止释放，问这两个物体谁先到达A点？

图15

答案　放在O点的物体先到达A点

解析　解决此问题的关键是看这两个物体的运动可以看成什么物理模型．对于放在O点的物体，可看成是自由落体运动，于是可以求出从O到A的时间t1，由R＝gt，得

t1＝1.41

对于放在B点的物体，从受力情况来看，受到了重力与指向圆心O的轨道面的支持力的作用，这个运动物体与单摆摆球的受力情况相似．又由于B离A很近，相当于摆角很小，于是，可以把它的运动看成单摆运动，从B到A经历个周期，设为t2，由T＝2π

得t2＝T＝1.57，即t2>

t1，所以，放在O点的物体先到达A点.

高考题组

1.（2012·

重庆理综·

14）装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图16所示，将试管竖

直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则以下描述试管振动的图象中可能正确的是（　　）图16

解析　试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始计时时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移，因此应选D.

2．（2012·

北京理综·

17）一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是（　　）

解析　根据F＝－kx及牛顿第二定律得a＝＝－x，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，其具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误．

3．（2011·

上海单科·

5）两个相同的单摆静止于平衡位置，使摆球分别以水平初速度v1、v2（v1>

v2）在竖直平面内做小角度摆动，它们的频率与振幅分别为f1，f2和A1，A2，则（　　）

A．f1>

f2，A1＝A2B．f1<

f2，A1＝A2

C．f1＝f2，A1>

A2D．f1＝f2，A1<

A2

解析　由单摆周期公式T＝2π知，单摆振动的周期或频率只与摆长和当地重力加速度有关，因此两单摆的频率相等，即f1＝f2；

由机械能守恒定律有mv2＝mgh，解得h＝，即摆球经过平衡位置的速度越大，到达的高度越高，其振幅也就越大，则本题只有选项C正确．

4．（2011·

江苏单科·

12B（3））将一劲度系数为k的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为m的物块．将物块向下拉离平衡位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周期．请由单摆的周期公式推算出该物块做简谐运动的周期T.

答案　2π

解析　物块平衡时，弹簧伸长量为L，则mg＝kL，由单摆周期公式T＝2π，解得T＝2π

模拟题组

5．有一个单摆，在竖直平面内做小摆角振动，周期为2s．如果从单摆向右运动通过平衡位置时开始计时，在t＝1.4s至t＝1.5s的过程中，摆球的（　　）

A．速度向右在增大，加速度向右在减小

B．速度向左在增大，加速度向左也在增大

C．速度向左在减小，加速度向右在增大

D．速度向右在减小，加速度向左也在减小

解析　在t＝1.4s至t＝1.5s的过程中，摆球在向左从平衡位置到最大位移处运动的过程中，所以速度向左在减小，加速度向右在增大，C项正确．

6.如图17所示为某弹簧振子在0～5s内的振动图象，由图可知，下

列说法中正确的是（　　）

A．振动周期为5s，振幅为8cm

B．第2s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值图17

C．第3s末振子的速度为正向的最大值

D．从第1s末到第2s末振子在做加速运动

解析　根据图象可知，弹簧振子的周期T＝4s，振幅A＝8cm，选项A错误；

第2s末振子到达波谷位置，速度为零，加速度最大，且沿x轴正方向，选项B错误；

第3s末振子经过平衡位置，速度达到最大，且向x轴正方向运动，选项C正确；

从第1s末到第2s末振子经过平衡位置向下运动到达波谷位置，速度逐渐减小，选项D错误．

7．甲、乙两弹簧振子，振动图象如图18所示，则可知（　　）

图18

A．两弹簧振子完全相同

B．两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1

C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大

D．两振子的振动频率之比f甲∶f乙＝1∶2

解析　从图象中可以看出，两弹簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，得频率之比f甲∶f乙＝1∶2，D选项正确；

弹簧振子周期与振子质量、弹簧劲度系数k有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A错误；

由于弹簧的劲度系数k不一定相同，所以两振子所受回复力（F＝－kx）的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1，所以B错误；

由简谐运动的特点可知，在振子到达平衡位置时位移为零，速度最大；

在振子到达最大位移处时，速度为零，从图象中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰好到达平衡位置，所以C正确．

（限时：

30分钟）

►题组1　对简谐运动的概念及对称性的考查

1．简谐运动的平衡位置是指（　　）

A．速度为零的位置B．回复力为零的位置

C．加速度为零的位置D．位移最大的位置

答案　B

解析　简谐运动的平衡位置是回复力为零的位置，而物体在平衡位置时加速度不一定为零，例如单摆在平衡位置时存在向心加速度．简谐运动的物体经过平衡位置时速度最大，位移为零．

2.如图1所示，弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2s，振子经

a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4s，则该振子的振动频率为（　　）

A．1HzB．1.25HzC．2HzD．2.5Hz图1

解析　由简谐运动的对称性可知，tOb＝0.1s，tbc＝0.1s，故＝0.2s，解得T＝0.8s，f＝＝1.25Hz，选项B正确．

►题组2　对简谐运动的图象的考查

3．摆长为l的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时（取t＝0），当振动至t＝时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象是下列图中的（　　）

4．悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期为2s，从最低点的位置向上运动时开始计时，它的振