第五章统计量及其分布习题解答Word格式.docx
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则其经验分布函数F5（X）=¢
0.4,
X-355
12•从指数总体Exp（1/日）抽取了40个样品，则X的渐近分布为^e,-
<
40.丿
13.设X1,X2」H,X25是从均匀总体U（0,5）抽取的样本，则X的渐近分布为
14.设X1,X2,∣l（,X2（是从二点分布b（1,p）抽取的样本，则X的渐近分布为
Np,P（^I）。
I20J-
15•设Xι,∣l（,X8是从正态总体N（10,9）中抽取的样本，则样本均值X的标准差为
16.设X1,X2Λ,Xn为来自泊松分布P-的一个样本，X,S分别为样本均值和样
本方差。
则E（X）=，Var（X）=—，E（S）=,o
n_
1I2f2）
17.设X1,X2,川,X7为总体X~N（0,0.5的一个样本，则P∣ΣXi"
∕4=
IiVJ
P271—o
YL相互独立,
3
99
1
且X=-VXi与
9i⅛i=1
AXiXXi
9τ1i~1x1+…+x9
因而-^i-——:
-i-——:
-1x9服从参数为9的t分布。
I'
/'
HHy
20.设Xi,X2,X3,X是取自正态总体X~N（0,22）的简单随机样本且
22
丫=a（X1—2X2）+b（3X3—4X4）,则a=，b=时，统计量Y服
从2分布，其自由度为。
112
[答案：
a=（——），b=（——）时，统计量Y服从E分布，其自由度为
（2）]
20100
由统计量Y=a（X1-2X2）2b（3X3-4X4）2=[.a（X1-2X2）]2[b（3X3-4X4）]2
设丫1=a（X1-2X2）,Y2='
一b（3X3-4X4）即Y「Y2由X~N（0,22）可知
\=1
Xi~N（0,22）,i=1,234,且EY=Eh/a（X1-2X2）]=√a（EX1-2EX2）=√a（0-2汉0）=0
EY2=E[∙b（3X3-4X4）]=b（3EX3-4EX4）=b（30-40）=0
DY1=D[-a（X1-2X2）]=a（DX14DX2）=a（22422）=20a
DY2=D[∙b（3X3-4X4）]=b（9DX316DX4）=b（9221622）=100b
.22
若统计量Y服从分布，则由Y="
Yi，可知自由度为2且Yi（i=1,2）服从标准正态分
iT：
22.设总体X~N（0,22）,而X1,X2^I,X15是来自总体X的简单随机样本，则随机变
解「⅜~N（O,I）,4（XrX12O）~2（IO）4（X121W2⑸
且显然此二者相互独立，则：
23.
7X12+…十x：
Y^22~
2（x!
1x15）
设随机变量X~t（n）
122
—（X1X10）
4
⑪F（10,5）
-（X11X125）
5
（n1），Y2,则丫~—Fn,1X
0.8。
设随机变量X~F（n,n）且PX.M-0.2,这里A为常数，则PIX
设X1,X2,∣I（,X9是正态总体X的样本，记
丫1（X1X2川X6）,Y>
（X7X8X9），
63
19
S2二―'
（Xi-Y2）2,z~2（丫-Y2）∕S,
y
PX（I）5=0.3308
解:
PX1610^-PX16釘0PX1汨0
16
28
设Xj∣（,Xn,Xn1为总体X~NA
_InIn_2
Xn=—∑χi,s2=——∑（χi—Xn）分别为样本均值与方差。
若ni2n-1iu
t分布，则C=
分布的自由度为n-1。
29.设Xι,∣l（,Xn为总体X~N（∙i,1）的一个样本，则J的一个充分统计量为
T=∖Xi_。
i:
—
则服从自由度n-1的t分布的随机变量是（B
A.—X」，B.—X」，C.S八,D.-χ-
s∕√^z1S2∕√^1S3S√√F
F列命题错误的为，对于每个给定的
X,Fn（X）（A
）。
A是分布函数；
B
.依概率收敛于
F（X）；
C是一个统计量；
D
•其数学期望是
F（X）。
3.设总体X服从0—1分布，X1,X2,X3,X4,X5是来自总体X的样本，X是样本均值,则下列各选项中的量不是统计量的是（B）。
A.mir√X1,X2,X3,X4,X5}；
B.X1-（1-P）X;
C.maχCX1,X2,X3,X4,X5lD.X^5X.
μ已知而二2未知，则下列各选项中的
4•设X1JH,Xn为来自NLf）的一个样本，其中
量不是统计量的是（C）。
A、Xi
i4
-μ⅛2;
b.
-∑（Xi—X）2;
C.ny
L△2；
D.minx'
5•设X1,X2,X3为来自
N（丄,匚
2）的一个样本，其中μ
已知而二2未知，则下列各选项中的
量不是统计量的是（D
A.X1X2X3;
B.X33七C.
X1；
D.'
Xic2
6.设Xι,∣l（,X8和Y1,山,Y10分别来自两个正态总体
N-1,2和N（2,5）的样本，且相互独
立，s2,s；
分别为两个样本的样本方差,
则服从
F（7,9）的统计量是（B）。
A.堂；
B.
5S12.
7.设Xι,∣∣（,Xn为来自
面结论不成立的有（D
Sr
C.
5S2
Nef）的一个样本,
A.X和S相互独立;
1n2
c.X和WXi-X相互独立;
Cri=1
8.设X（l（,Xn为来自N（0,二）的一个样本,
从自由度为n-1的t—分布的随机变量是（
B.nX
S2
9.设X（∣（,Xn为来自N（JF
）的一个样本,
A.
σ4
2匚4
4'
D.2∙
2S2
5S；
X和S2分别为样本均值和样本方差，则下
X和（n-1）S相互独立;
D.X和—∑（Xi-Ii）相互独立。
Cry
A）。
10.设Xj∣（,Xn为来自N（0F2）的一个样本,
X
-T~F（1,n-1）;
S
nX2
Q2~F（1,n—1）;
D.
S2分别为样本均值和样本方差，则服
nX
S2'
n-1
Xi
—22
-X,贝yDS=（D）。
2；
一
X和S2分别为样本均值和样本方差，则
（n-1）X2
Q2~F（1,n-1）;
—2
（n1）X
Q2~F（1,n_1）.
三、解答题
1某地电视台想了解某电视栏目在该地区的收视率情况，于是委托一家市场咨询公司进行一次电话访查。
（1）该项研究的总体是什么？
（2）该项研究的样本是什么？
（1）该项研究的总体是该地区全体电视观众；
（2）该项研究的样本是该地区被访问的电视观众。
2•为了了解统计学专业本科毕业生的就业情况，我们调查了某地区50名2008年毕业的统
计学专业本科生实习期满后的月薪情况。
（1）什么是总体？
（2）什么是样本？
（3）样本量是多少？
（1）总体是该地区2008年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪；
（2）样本是被调查的50名2008年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪；
（3）样本量为50。
3•某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了了解其平均寿命，从中抽出n件产品
测其实际使用寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布。
总体是该厂生产的电容器的使用寿命，或者可以说总体是指数分布Exp，;
样本是该厂被抽出的n个电容器的使用寿命；
若记被抽出的第i个电容器的使用寿命为Xi,则Xi~EXP扎）,匕1,2∏,n样本
n、-SXi
（x1,III,xn）的联合分布为口=λnθi±
xi>
0,i=1川,n。
i=1
4•设有N个产品，其中有M个次品。
进行放回抽样。
定义
「1,第i次取得次品，
10,第i次取得正品，
求样本XJI（,Xn的联合分布。
总体X的分布列为PX=XiiMi1-M,X=o,1,
IN八NJ
因此样本X1,∣l（,Xn的联合分布为
5•设Xj∣（,Xn是取自总体X的一个样本。
在下列三种情况下，分别写出xj∣（,Xn的联
合概率函数
（1）X~B（1,P）;
（2）X~Exp（∙）;
（3）X~U（OJ）L0）.
（1）Xj∣（,Xn的联合概率函数为
PX1=X1,∣∣（,Xn=Xn•：
1丨PX
i-X
（3）Xι,∣∣（,Xn的联合概率函数为
n11
fX1,I11,XnF，0：
X1,1I）,Xn：
71
i=Itl廿
6.某地随机地挑选了100个中学生，量得他们的身高（单位：
厘米）如下:
身高
160~162
163~165
166~168
169~171
172~174
学生数
6
15
40
30
9
试就上述数据作出直方图。
7.从某厂生产的零件中随机地抽取30个进行测量，测得它们的重量（单位：
克）如下:
6.120
6.129
6.116
6.114
6.112
6.119
6.121
6.124
6.127
6.113
6.117
6.126
6.123
6.122
6.118
6.111
试就上述数据作出直方图
不全为零的已知常数。
9•根据调查，某集团公司的中层管理人员的年薪数据如下（单位：
千元）
38.838.639.640.034.741.7
36.737.137.739.236.938.3
472
425
447
377
341
369
412
419
400
382
366
399
398
423
384
418
392
372
374
385
439
428
429
430
413
405
381
403
479
443
441
433
379
386
387
一个充分统计量。
（答案：
T=YXi）
iW
12•设Xj∣（,Xn为来自N（Y）的一个样本。
（1）在）已知时给出二2的一个充分统计量；
（2）在二2已知时给出J的一个充分统计量。
（答案:
（1）T=Σ（Xi―卩）；
（2）T=X）
iZi
13•设X1,∣∣（,Xn为来自均匀总体U九匕的样本，试给出参数九匕的一个充分统计量。
T=t1,t2=xI,Xn）
四、计算题
1.在总体X〜N（52,6∙32）中随机地抽取一个容量为36的样本，求样本均值落在50.8与53.8之间的概率。
2-136
由于Xi~N（52,6.32）（i=1,,36）,XXi，
36y
故E（X）=（136）3652=52,D（H）=（1362）366.3^（6.36）2
所以X~N（52,（6.36）2）,从而~N（0,1）。
于是可得
6.3/6
P{50.8<
Xv53.8}=P」<
<
A
6.366.366.36'
=心（1.714）-1.143）=0.9564-（1-0.8729）=0.8293
2•设总体X的概率密度函数为P（X）=6x（1-X）,0：
x：
1,X1,∣H,X9是来自X的样
本，试求样本中位数的分布。
总体分布函数为
X22
F（X）=O6t（1—t）dt=χ2（3—2x）,0空x乞1=1一F（x）二（1一x）2（2x1）,0乞x乞1
故样本中位数m∣0.5=X（5）的精确分布密度函数为
9}4549944
p5（x）=∣（F（x））P（X）（I—F（X））=3780x9（1—X）（3—2x）（2x+1）
IA丿J丿
3•设Xj∣（,Xn是取自总体X的一个样本，已知X~U（0J）,其中r0,试求最大次序统计量X（n）的均值与方差。
4•设X1JH,X5是取自总体X~N（12,4）的一个样本，X为样本均值。
求
（1）P（IX—12卜1）；
（2）Pgs>
15）;
p{X
（1）V1θ}。
4一X—12
解
（1）X~N（12-）~N（0,1）
52J5
P^X—12"
}=1—P』
二L<
U<
丄;
2√52,452√5J
=IAJ52严◎L、52=2—2G（1.12）=0.2628
独立5
（2）P{X（5）a15}=1_P{X（5）兰15}=1-p{χ1兰15,X2兰15X3兰15X4<
15,X^l5
1"
PX35=1[φ（1.52=1-（0.93320.2923
i=1
PCX（I）:
10}=1-PIX（I）_10=1-P^X1_10,X2_10,x3_10,X4_10,X5_101
卩4
-12
10-12]
'
2L
=1-二p[Xi_10•；
=1-二
i吕i4
=1-二1（一1）I-1-外15=0.5785
5.求总体
N（20,3）的容量分别为10,15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。
设容量分别为10,15的两独立样本的均值分别为XIY,则
X-Y~N（0<
3^）=N（0,1）从而
-Y兰0.3〉
P（X-Y>
0.3
1015
丄1-P、X
^-P
X-Y
=2-2G（O3.2）=0∙6744
..1015,1015
10
6.设X1,X2√,X10为N（0,0.32）的一个样本，求P^ΣXi2>
1.44?
解由于Xi（i=1,…;
10）为N（0,0∙32）的一个样本，故
Xi~N（0,0.32）（i=1,'
；
10）,从而XiriEXi）=0~N（0,1）
..D（Xi）0∙3
Σ
/、、2
0.3；
2（10）
故
即
由
d（50
∑P（1-P）
Γ÷
l⅛a）-n
¼
其分布律为［繼；
■二I二.-J■■■■■■：
二〔「
（2）求aXi分布律；
（3）求E（X）,D（X）,E（S2）。
解
（1）X的分布律为P{X=χ}=px（1一p）n;
X=0,1。
X1,X2,…；
Xn相互独立,
于是X1,X2,,Xn的分布律为:
Xi=0,1
nn
PX1=χ1,∣H,Xn=Xn二.PXi二Xi二P^
i二y
7XJ
」IPX一1-Pi≡
1-X
1-P=P
（2）由有賈广更i屈有亂羽b（n,P）
⑶瞩二二-ShlXi）二活二EOq）二話匸P二P
Σ3¾
）=⅛ΣD^=⅛[PU-P）+≡→PU-P）I
I=Ifi^l
E（Sa）=E-
102
VXi
2■
i4（0.3）
n（10）∖R
>
16>
=α
L（⅛
二一10i=16：
15.987,得、-0.1
P^Xi2>
=0.1
7.设总体X~b（1,p）,X1,X2^,Xn是来自X的样本。
（1）求（X1,X2,,Xn）分布律;
+[Ettf卜+僦+[聊））
IieI
-P（I-P）+P2
LIi
p{∑Xi
0.30.3
}
=pj∑
7
PJ
8.设总体X〜尸⑴ZLJSIaaB⅞是来自X的样本，求E（X）SDCD⅛E（护）。
?
解总体X~2n,贝yE（X）=n,D（X）=2n,由此得
D（X）2nE（X）=E（X）=n,D（X）2
9.设在总体X~Nψ=：
）中抽取一容量为16的样本，这里卜：
y：
均为未知，
（1）求■:
-!
.<
_，其中•为样本方差；
（2）求厢胖］.
解
（1）设叙；
i”；
U、純为总体X一个样本，则呼we・［）
从而V：
:
二二=U―二•二・
^l-P~>
30.615）=1-0.01=0.99
上式0.01的由p{e≥7.^15^=a及厶2£
（15）=30.615吒30.587反查出：
口=0.01
（2）由字巴述TJ有［宁一；
-一，即旦二一、一
故］「=三一二-
n,—2
求统计量Y二為！
Xi∙Xn∙i-2X的数学期望EY
iA
E（X2）2
2n
E（Xi）^D（Xi）IE（X—E（X）"
D（XV
丫八（XiXni-2X）2八（Xi2X∏14X22XiXnI-4XiX-4XniX）
i=1id
2n_n_2n2n_n
二為Xi24nX2XiXni-4乂、Xi=為Xi2-4nX22'
XiXni
i1iZiiAiTid
2n_n
E（Y）八E（Xi2）-4nE（X2）2'
E（Xi）E（Xni）
]=±
曰
σ2
=2∏L2」2）-4n
（2）2n」2=2（n-1）-2
使得P（X―卩＜O≥0.95成立。
G..n/5_0.975,.n/5_1.96,即n_96.04,因此n至少为97时，上述概率不等式
一0.975，查表得.-1.96,-（1.96/34.6即知样本容量n至少应取35.
五、证明题
1•设X（l（,Xn是独立同分布的随机变量，且都服从N（0F2）试证:
证明：
f∖
（1）因为Xj∣（,Xn独立同服从分布N（0,二）,所以X1∕m,Xn∕二是相互独立
JXi2—Xi
i4
（2）因为X1,11（,Xn独立同服从分布N（0,12）,所以7Xi~N0,n2,
1n
-×
Xi~N0,1,于是有
∙.n二i4
X1-2X2~N0,2七XrX22N~0,1
3X3-4X4~N0,100=13X3-4X4~N0,1,且相互独
（1）由题设知X1,∣∣（,X5相互独立都服从正态总体N（0f2）,所
XiX2~N0,2二,X3/GX4/；
「，X5/二相互独立都服从标准正态分布，
23,且它们相互独立。
于是有
X1X2/~N0,1,XIXlXf/~2
I6
4.设X1,X2Λ,X9是取自正态总体X的简单随机样本，YXi,
6i=±
s^1θ（Xi-Y2）2,^^,证明统计量Z服从自由度为2的t分布。
2i
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