第五章统计量及其分布习题解答Word格式.docx

1、则其经验分布函数 F5（X） = 0.4,X -35512从指数总体Exp（1/日）抽取了 40个样品，则X的渐近分布为 e,- （X7 X8 X9），6 319S2 二 （Xi -Y2）2, z 2（丫 -Y2）S,yP X（I） 5 = 0.3308解: P X16 10 -P X16 釘0 P X1 汨01628设 Xj（,Xn,Xn 1 为总体 X N A_ I n In _ 2Xn = i,s2 = （i Xn）分别为样本均值与方差。若 n i 2 n -1 iut分布，则C =,分布的自由度为 n -1 。29 .设X,l（,Xn为总体XN（i,1）的一个样本，则J的一个充分统计量

2、为T= Xi _。i :则服从自由度n-1的t分布的随机变量是（ BA. X，B. X，C. S 八,D. -sz1 S21 S3 SFF列命题错误的为，对于每个给定的X , Fn（X） （ A）。A是分布函数； B.依概率收敛于F（X）；C是一个统计量； D其数学期望是F（X）。3.设总体X服从0 1分布，X1, X2, X3, X4, X5是来自总体X的样本，X是样本均值, 则下列各选项中的量不是统计量的是（ B ）。A . mi rX1,X2,X3,X4,X5 ； B. X1-（1 - P）X;C. maCX1,X2,X3,X4,X5l D. X5X.已知而二2未知，则下列各选项中的4设

3、X1JH, Xn为来自NLf）的一个样本，其中量不是统计量的是（C ）。A 、 Xii 4-2; b.- （XiX ）2; C. n yL 2； D. minx5设X1,X2,X3为来自N （丄,匚2）的一个样本，其中已知而二2未知，则下列各选项中的量不是统计量的是（DA. X1 X2 X3; B. X3 3七 C.X1； D. Xi c26.设X,l（,X8和Y1,山,Y10分别来自两个正态总体N -1,2 和N（2,5）的样本，且相互独立，s2,s；分别为两个样本的样本方差,则服从F （7,9）的统计量是（B ）。A.堂；B.5S12.7.设X,（,Xn为来自面结论不成立的有（DSrC.5

4、S2Nef ）的一个样本,A . X和S相互独立;1 n 2c. X和W Xi -X 相互独立;Cr i =18.设X（l（,Xn为来自N（0,二）的一个样本,从自由度为n-1的t 分布的随机变量是（B. nXS29.设 X（,Xn 为来自 N（JF）的一个样本,A.42匚44 D. 22S25S；X和S2分别为样本均值和样本方差，则下X和（n - 1）S相互独立;D. X和 （Xi -Ii ）相互独立。Cr yA ）。10.设Xj（,Xn为来自N（0F2）的一个样本,X-T F（1,n -1）;SnX2Q2 F（1,n1）;D.S2分别为样本均值和样本方差，则服nXS2n-1Xi2 2-X

5、,贝y DS = （ D ）。2；一X和S2分别为样本均值和样本方差，则（n -1）X2Q2 F（1,n-1）;2（n 1）XQ2 F（1, n_ 1）.三、解答题1某地电视台想了解某电视栏目在该地区的收视率情况，于是委托一家市场咨询公司进行 一次电话访查。（1）该项研究的总体是什么？ （ 2）该项研究的样本是什么？（1）该项研究的总体是该地区全体电视观众；（2）该项研究的样本是该地区被访问的电视观众。2为了了解统计学专业本科毕业生的就业情况，我们调查了某地区 50名2008年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪情况。（1） 什么是总体？ （ 2）什么是样本？ （ 3）样本量是多少？（1）总

6、体是该地区2008年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪；（2） 样本是被调查的50名2008年毕业的统计学专业本科生实习期满后的月薪；（3） 样本量为50。3某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，为了了解其平均寿命，从中抽出 n件产品测其实际使用寿命，试说明什么是总体，什么是样本，并指出样本的分布。总体是该厂生产的电容器的使用寿命，或者可以说总体是指数分布 Exp，;样本是该厂被抽出的 n个电容器的使用寿命；若记被抽出的第i个电容器的使用寿命为Xi ,则Xi EXP扎）,匕1, 2 ,n样本n 、 -SXi（x1,III,xn ）的联合分布为口 =n i , xi0,i=1川,n。i =

7、14设有N个产品，其中有 M个次品。进行放回抽样。定义1,第i次取得次品，10,第i次取得正品，求样本XJ I （,Xn的联合分布。总体X的分布列为PX=Xi iM i1-M , X =o,1,IN 八 N J因此样本X1,l（,Xn的联合分布为5设Xj（,Xn是取自总体 X的一个样本。在下列三种情况下，分别写出 xj（, Xn的联合概率函数（1） X B（1,P）; （2） XExp（）; （3） XU（OJ） L 0）.（1 ） Xj（,Xn的联合概率函数为P X1 =X1,（, Xn=Xn ： 1 丨 PXi -X（3） X,（,Xn的联合概率函数为n 1 1f X1, I 11, Xn

8、 F， 0 ： X1,1 I ） , Xn ： 71i =Itl 廿6.某地随机地挑选了 100个中学生，量得他们的身高 （单位：厘米）如下:身高160162163165166168169171172174学生数61540309试就上述数据作出直方图。7.从某厂生产的零件中随机地抽取 30个进行测量，测得它们的重量 （单位：克）如下:6.1206.1296.1166.1146.1126.1196.1216.1246.1276.1136.1176.1266.1236.1226.1186.111试就上述数据作出直方图不全为零的已知常数。9 根据调查，某集团公司的中层管理人员的年薪数据如下（单位：千

9、元）38.8 38.6 39.6 40.0 34.7 41.736.7 37.1 37.7 39.2 36.9 38.3472425447377341369412419400382366399398423384418392372374385439428429430413405381403479443441433379386387一个充分统计量。（答案：T=Y Xi ）i W12设Xj（,Xn为来自N（Y）的一个样本。（1）在）已知时给出 二2的一个充分统计量； （2）在二2已知时给出J的一个充分统计量。（答案:（1） T = （Xi 卩）；（2） T=X ）i Zi13设X1,（,Xn为来自均

10、匀总体 U 九匕 的样本，试给出参数 九匕 的一个充分统计量。T = t1,t2 = xI ,Xn ）四、计算题1.在总体XN（52,632）中随机地抽取一个容量为 36的样本，求样本均值落在50.8与53.8 之间的概率。2 - 1 36由于 Xi N（52,6.32）（i =1, ,36）, X Xi，36 y故 E（X）=（1 36） 36 52 =52, D（H）= （1 362） 36 6.3 （6.3 6）2所以X N（52,（6.3 6）2）,从而 N（0,1）。于是可得6.3/6P50.8 X v53.8 = P 15）; pX（1）V1。4一 X 12解（1） X N（12-

11、） N（0,1）52 J5PX 12 =1 P二LU 丄;2 5 2, 45 2 5 J= I AJ5 2 严 L 、5 2 =2 2G（1.12） = 0.2628独立 5（2） PX（5） a15 =1 _PX（5）兰 15=1-p1 兰 15,X2 兰 15X3 兰 15X4 15,Xl51 PX 35= 1 （1.52= 1- （0.93320.2923i=1PCX（I） : 10 =1 - PIX（I） _10 =1 - PX1 _10,X2 _10,x3 _10, X4 _10,X5 _101卩4-1210-122 L=1 -二 pXi _10 ； =1 -二i吕 i 4=1 -二

12、 1 （一1） I -1 - 外 1 5 =0.57855.求总体N（20,3）的容量分别为10, 15的两独立样本均值差的绝对值大于 0.3的概率。设容量分别为10 , 15的两独立样本的均值分别为XIY ,则X -Y N（00.310 15丄1 -P、X-PX -Y =2 -2G（O3. 2） =06744.10 15 ,10 15106.设 X1,X2 ,X10 为 N（0,0.32）的一个样本，求 P Xi2 1.44?解 由于Xi （i =1,;10）为N（0,032）的一个样本，故Xi N（0,0.32）（i =1, ；10）,从而 XiriEXi） = 0 N（0,1）.D（Xi

13、） 03/ 、20.3；2（10）故即由d（50P（1-P）la）-n其分布律为繼；二 I 二. - J ：二（2）求 a Xi 分布律；（3）求 E（X）, D（X）,E（S2）。解 （1） X 的分布律为 PX = = px（1 一 p）n; X =0,1。X1, X2,；Xn 相互独立,于是X1,X2, ,Xn的分布律为:Xi =0,1n nP X1 =1,H,X n =X n 二.P Xi 二 Xi 二 Pi 二 y7 X JI P X 一 1 - P i1-X1 - P =P（2）由有賈广更i屈有亂羽b（n,P）瞩二二-Shl Xi）二活二 EOq）二話匸 P 二 P3）=D= PU

14、-P）+ PU- P）II=I f ilE（Sa）=E-10 2V Xi2 i4 （0.3）n（10）R16 = L（二一 10i=16 ： 15.987,得、-0.1P Xi2 = 0.17.设总体X b（1,p）,X1,X2 ,Xn是来自X的样本。（1）求（X1,X2, , Xn）分布律;+ Ettf卜+僦+聊）IieI-P（I-P）+P2LIip Xi0.3 0.3= pj7PJ8.设总体X尸ZLJSIaaB是来自X的样本，求E（X）S DCD E（护）。?解总体X 2n ,贝y E（X）= n, D（X） =2n ,由此得D（X） 2n E（X）=E（X）= n, D（X） 29.设在

15、总体XN =：）中抽取一容量为16的样本，这里卜：y：均为未知，（1）求 : - !.30.615）= 1-0.01 = 0.99上式0.01的由 pe 7.15=a 及厶2（15） = 30.615 吒30.587 反查出：口 =0.01（2）由字巴述TJ有宁一；-一，即旦二一、一故=三一二-n , 2求统计量Y二為！Xi Xn i -2X 的数学期望EYi AE（X 2） 22n E（Xi） D（Xi）I E（X E（X） D（XV丫八（Xi Xni -2X）2 八（Xi2 X1 4X2 2XiXnI -4XiX -4Xn iX）i =1 i d2n _ n _ 2n 2n _ n二為 X

16、i2 4nX2 XiXn i -4乂、Xi=為 Xi2 -4nX2 2 XiXn ii 1 i Zi i A i T i d2n _ nE（Y）八 E（Xi2）-4nE（X2） 2 E（Xi）E（Xni）= 曰 2=2L22）-4n（ 2） 2n2 =2（n-1）-2使得P（X 卩O0.95成立。G . n / 5 _0.975, . n/5 _1.96 ,即n_ 96.04,因此n至少为97时，上述概率不等式一 0.975，查表得.-1.96,-（1.96 /34.6即知样本容量n至少应取35.五、证明题1设X（l（,Xn是独立同分布的随机变量，且都服从 N（0F2）试证:证明：f（1 ）因

17、为Xj（,Xn独立同服从分布 N（0,二）,所以X1m,Xn二是相互独立J Xi2 Xii4（2 ）因为X1,11（, Xn独立同服从分布N（0,12）,所以7 Xi N 0, n2 ,1 n- Xi N 0,1,于是有. n 二 i 4X1 -2X 2 N 0 , 2七 X r X 22 N 0, 13X3 -4X4 N 0,100 = 1 3X3 -4X4 N 0,1 ,且 相互独（1 ）由题设知X1,（,X5相互独立都服从正态总体N（0f2）,所Xi X2 N 0,2二,X3/GX4 /；，X5 /二相互独立都服从标准正态分布，2 3 ,且它们相互独立。于是有X1 X2/ N 0,1 , XI Xl Xf / 2I 64.设X1,X2 ,X9是取自正态总体 X的简单随机样本， Y Xi ,6i =s1（Xi -Y2）2, ,证明统计量Z服从自由度为2的t分布。2 i