极坐标与参数方程知识点总结文档格式.docx

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（1）互化背景:

把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的xx单位,如图

（2）所示:

（2）互化公式:

设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:

点M

直角坐标

极坐标

互化公式

在一般情况下,由确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点,半径为

的圆

圆心为

半径为

过极点,倾斜角为

的直线

（1）

（2）

过点

与极轴垂直的直线

与极轴平行的直线

由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.

二、参数方程

1.参数方程的概念

一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个xx,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

2.参数方程和普通方程的互化

（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

（2）如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.

注：

普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数

如图所示，设圆的半径为，点M从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设M，则。

这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度。

圆心为，半径为的圆的普通方程是，

它的参数方程为：

。

4．椭圆的参数方程

以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；

焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为。

椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。

但当时，相应地也有，在其他象限内类似。

5．双曲线的参数方程

以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为，其中。

焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为，其中

以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。

6．抛物线的参数方程

以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为

7．直线的参数方程

经过点，倾斜角为的直线的普通方程是而过，倾斜角为的直线的参数方程为。

直线参数方程中参数的几何意义：

过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上方时，＞0；

当点在下方时，＜0；

当点与重合时，=0。

我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位xx与原直角坐标系中的单位xx相同。

【要点名师透析】

一、坐标系

（一）平面直角坐标系中的伸缩变换

〖例〗在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换

（1）求点经过变换所得的点的坐标；

（2）点B经过变换得到点，求点的坐标；

（3）求直线经过变换后所得到直线的方程；

（4）求双曲线经过变换后所得到曲线的焦点坐标。

（二）极坐标与直角坐标的互化

〖例2〗在极坐标系中，如果为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标。

（三）求曲线的极坐标方程

〖例〗已知P，Q分别在∠AOB的两边OA，OBxx，∠AOB=，⊿POQ的面积为8，求PQ中点M的极坐标方程。

（四）极坐标的应用

〖例〗如图，点A在直线x=4xx移动，⊿OPA为等腰直角三角形，⊿OPA的顶角为∠OPA（O，P，A依次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状。

（一）把参数方程化为普通方程

〖例〗已知曲线C：

（t为参数），C：

（为参数）。

（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线 

（t为参数）距离的最小值。

（二）椭圆参数方程的应用

在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值

解答：

（三）直线参数方程的应用

〖例〗过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应的的值。

解析：

（四）圆的参数方程的应用

〖例〗已知曲线C的参数方程是为参数），且曲线C与直线=0相交于两点A、B

（1）求曲线C的普通方程；

（2）求弦AB的垂直平分线的方程（3）求弦AB的长

【感悟高考真题】

1．在极坐标系中，点（2，）到圆的圆心的距离为（）

（A）2（B）（C）（D）

2．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（）

（A）（B）（C）（D）

3．在直角坐标系xOyxx，曲线的参数方程为,在极坐标系（与直角坐标系xOy有相同的xx单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）xx，曲线的方程为的交点个数为______

4．直角坐标系xOyxx，曲线的参数方程为在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的xx单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）xx，曲线的方程为的交点个数为___

5.

（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为.

6．（2011·

xx高考理科·

T15C）直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：

（为参数）和曲线：

上，则的最小值为．

7．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：

8.（2011.xx高考理科.T11）.已知抛物线的参数方程为（为参数）若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则=________.

9.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为.

10．

（2）在直角坐标系xOyxx，直线的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为.（I）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的xx单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）xx，点P的极坐标为，判断点P与直线l位置关系；

（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.

11.选修4-4：

坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点，且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。

12.（2011·

新课标全国高考理科·

Ｔ23）在直角坐标系xOy 

中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2

（Ⅰ）求C2的方程

（Ⅱ）在以O为极点，x 

轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.

13.（2011·

新课标全国高考文科·

中，曲线C1的参数方程为

（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2

14.（2011·

Ｔ23）（本小题满分10分）（选修4-4：

坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOyxx，曲线C1的参数方程为，曲线C2的参数方程为.在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系xx，射线l：

θ=a与C1，C2各有一个交点．当a=0时，这两个交点间的距离为2，当a=时，这两个交点重合．

（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；

（II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当a=-时，l与C1，

C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．

15.极坐标和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（D）

A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线

16．极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是

（A）两个圆（B）两条直线（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线

17．在极坐标系（ρ，θ）（0 

≤ 

θ<

2π）中，曲线ρ= 

与 

的交点的极坐标为______．

18．已知P为半圆C:

（为参数，）xx的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OPxx，线段OM与C的弧的xx均为。

（I）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；

（II）求直线AM的参数方程。

【考点模拟演练】

一、选择题

1．已知极坐标平面内的点P，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为（　　）

A.，（1，）B.，（1，－）C.，（－1，）D.，（－1，－）

2．在平面直角坐标系xOyxx，点P的直角坐标为（1，－）．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是（　　）

A.B.C.D.

3．在直角坐标系xOyxx，已知点C（－3，－），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标（ρ，θ）（ρ>

0，－π<

0）可写为________．

4．过点平行于极轴的直线的极坐标方程是（　　）

A．ρcosθ＝4B．ρsinθ＝4C．ρsinθ＝D．ρcosθ＝答案：

C

5．曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（　　）

A．（x－1）2（y－1）＝1B．y＝C．y＝＋1D．y＝－1

6．直线ρcosθ＝2关于直线θ＝对称的直线方程为（　　）

A．ρcosθ＝－2B．ρsinθ＝2C．ρsinθ＝－2D．ρ＝2sinθ

7．已知直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的斜率为（　　）

A．1B．－1C.D．－

8．直线3x－4y－9＝0与圆：

，（θ为参数）的位置关系是（　　）

A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但不过圆心

9．设直线过极坐标系中的点M（2,0），且垂直于极轴，则它的极坐标方程为________．

10．在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．

二、填空题

11．在极坐标系中，直线θ＝截圆ρ＝2cos（ρ∈R）所得的弦长是________．

12．直线2x＋3y－1＝0经过变换可以化为6x＋6y－1＝0，则坐标变换公式是________．

13．（xx八校2011届xx第二次联考）已知平面直角坐标系xOy内，直线l的参数方程式为（t为参数），以Ox为极轴建立极坐标系（取相同的xx单位），圆C的极坐标方程为，则直线l的圆C的位置关系是。

14.已知曲线的参数方程为,分别以t和为参数得到两条不同的曲线,这两条曲线公共点个数为.

15.已知2x2+3y2-6x=0（x,y∈R），则x2+y2的最大值为.

16.从极点O作直线与另一直线l∶cos=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·

OP=12，则点P的轨迹方程为.

三、解答题

17．在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3，

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）若Q点在圆Cxx运动，P在OQ的xxxx，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求动点P的轨迹方程．

18．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数），求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．