矩阵初等变换法解方程组教案Word下载.docx
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匕02
6丿
2
-1
3
12
.0
1
51
（-2）①•②,（_1）①•③得
2X1
-X23X3=1
X2-X3二2
X2—X3=5
2x1
1、
01-1
51
^4-1
2丿
对换④、
-X2
X2
4x2
3x2=1-X3=5一X3=2
⑤的位置得
X2—X3=5
5
4X2—X3=2
^04-1
（—4）X⑤+④得
3x2=1
2xi
_X2
2论一x2
二1
=5—18
3X3
-X3
3x3
'
1\
©
最后，将〜方程组的解代入①得
X3
-x23x3
X2*
一6代入⑤，
冷=9.
X1=9,X2--1,X3--6
=1
二5二一6
得因2此,;
—18丿
第1.1.3页
阐述
、〜4将例1的做法一般化，我们先来阐述
2线性方程组的概念
X1，X2，…,冷的线性方程组
KiXi+ai2X2+…+ainXn=bi
a2iXi+a22X2十八十a2nXn=b2
amlXi，am2X2•amnXn二bm
⑴
这里aj属于某个数域F，即aj^F,i=1,2,…，m,j=1,2,…，n,叫做方程组⑴的系数；
b—1,2,3,…，m,叫做⑴的常数项•因此，⑴叫做数域F上的线性方程组.小'
由
（1）得到矩形数表
其中AJ叫做⑴的系数矩阵,A叫做⑴的增若用阵知的一组数
容线往往要
高等代第1.1.4页
乘第i个方程;
人、备消法变换'
用一个数"
F乘第i个万程后加到第j个万程；
人、刃互换变换交换第i个、第j个方程的位置这三种变换叫做线性方程组的初等变换・
显然，若对
（1）作一次初等变换将它变为
a11x1+at2x2十八ta^Xn=b1
a21X1・a22x2■…'
a2nxn-b2
|，
amM，am2X2亠'
^mnX^bm
女口
^2）将
（1）变为
（2）;
可用
第i个方程后加到第j
2）变为］1）•倍法变换、互1一一
，y0，也是
（1）的解「因此，
⑵则⑴的任一个解X0,X0,,X0是
（2）的一个解•由于初等变换是可逆的/例如-若用消法变换数a）EF乘⑵的个方程，则
（2）变为J1）•倍法变换、亠换变换情形类似可见.于是，
（2）的任一个解yi0,y0,,y0，也是⑴的解•因此，
（1）与⑵有相同的解集，即⑴与⑵同牛这样，我们得到
定理1.1.1若线性方程组⑴经过有限次初等变换化为线性方程组（2崗，则
（1）与
（2）有相同的解集，即它
3化为阶梯形
<
M
\N>
"
4+a」2x2++a1.nxn
ayxk+•:
+agnxnHb2F
amkxk七
Hb3'
丿（3）琬令kv1・anb凹^浣恭10半M^sg^^凹a（3）{tR
>
+F2X2七；
……+alnxnHCT-
Xk+a2i*x7七：
+ajnxnHbJ
亠asx七：
+a八XnHb3壬〉
am-x-+■+amnxnHF
（4）
M¥
X^A-AAA3口凹^圧
X」十C」2X2七
Xk+C2k+xk+七
X-+C3一+X++
-%n尸
十pnxnHP
+C2nxnHd2
+C3nxnHd3
x「十csr+xr++:
+csnxnHds
0Hds+
（5）
0"
dm
为性方程组解的
组廿不难看出这样的化简程序只须对其增厂矩阵作相应的行的初等变换.
4线性方程组解的讨论
现在，线性方程组（12与（5）同解,借助搏我们来分不全为零解的情况无解.
k|2）有ds1r¥
则
（1）有唯一解是
3）右ds+则W）暮无穷
XU4，MlJ’Xi
第1.1.7页
—5—2
1—3—650
214-21
5-1217;
性项程组
1-3-650
0716-121
01432—247』
1-3-650
因此，
T0
716-121.
0005
组无解-
叨更第,3求更换后常
214-21|-
5-1212
是，更换后的
这解■方程组的增广矩阵
行初等变换
1-3-650
0000』
，则得万程
36111612」
X1=y-7ayb,X2=7〒a万b,刈=a,X4=b，其a,b
€F.
§
矩阵的运算
2.1矩阵的实例和记号
线性方程组求解时的用感受聘在际里介的组个解单的例也要用到矩阵,
例1（通路矩阵）a省两个城市s’和b省三个城市"
亠心
联结情况如图“…乞的数字表示联结这两城市的不同通
1_1所示,
交通每条线上
示通
第1.1.8页
路总数矩
息）'
这里通路、计算与利用这些信
:
辜:
：
V13］幻
;
022）a2
由1办H妇
FiF2F3F4
17711210
1591319S2，
1881519；
S3
这里的行就是第店，而列为食品3个分量表示该食品在3家商店中的3个售价.
「亠涉及到两个集合乂上面分别是a省城市与b省城帀，食品与商店），且目矩价格）将它们联系，常会出现这样勺矩例’3（原子矩阵）在复杂化学反应系统中，涉及到众多的化学物•为
辽东学院教案纸
第1.1.9页
CH—
C2H6•这时可写
引进量地研究反应的勺平子矩问题例如在合成氨生产的勺甲统内除蒸些惰性气体外，还存在以下7种化学物：
H2。
H2:
CO:
CO2:
C:
出原子矩阵：
C
H
O
者一百金，已
中、中等级的
F）,（中，上，
字时；
各王及下1忌在排种策马出方
（下（上,
（上:
下，中）（（中，下,略依次从车1到6编号，
田忌
高等代数
第1.1.10页
玄耳efi=l2…mj=12…
n，叫做A的元素；
i是行下标,，j是列下标，因而也称aj是A的第i行第j列的元素，简称为A的（i,j）元素.
将
（1）简记为A=（aj）mn•'
令
Fmn={A|A=（aj）mn，OjF},
（2）
合.当m=n时，称
（1）为n阶矩阵仿阵）；
F上的所有n阶矩阵的集合又记作Mn（F）.
在⑴中，若m=1,贝yA为1Xn矩阵，有时称之为n维行向量；
若
它是F上的所有mxn矩阵的集
第1.1.11页
n=1,则A为mX1矩阵，有时称之为m维列向量•行例）向量中的兀素叫做它们的分量.
课外作业：
P25:
1、1）、2）、3）;
3.
辽东学院教案纸课程：
高等代第1.1.12页
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