高中数学第一章算法初步13中国古代数学中的算法案例教学案新人教B版必修3Word文档格式.docx
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“更相减损之术”求两个数的最大公约数的算法步骤
第一步，给定两个正整数m，n（m>
n）．
第二步，计算m－n所得的差k.
第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示．
第四步，若m＝n，则m，n的最大公约数等于m；
否则，返回第二步．
[活学活用]
1．用更相减损之术求36与135的最大公约数，需做减法的次数是________．
（135,36）→（99,36）→（63,36）→（36,27）→（27,9）→（18,9）→（9,9），故共进行了6次减法运算．
6
2．求378与90的最大公约数．
解：
法一：
378－90＝288，
288－90＝198，
198－90＝108，
108－90＝18，
90－18＝72，
72－18＝54，
54－18＝36，
36－18＝18，
∴378与90的最大公约数是18.
法二：
378＝90×
4＋18，
90＝18×
5，
用秦九韶算法求多项式的值
[典例] 用秦九韶算法求多项式f（x）＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，当x＝2时的值．
[解] 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f（x）＝8x7＋5x6＋0·
x5＋3·
x4＋0·
x3＋0·
x2＋2x＋1＝（（（（（（8x＋5）x＋0）x＋3）x＋0）x＋0）x＋2）x＋1.
而x＝2，所以有
v0＝8，
v1＝8×
2＋5＝21，
v2＝21×
2＋0＝42，
v3＝42×
2＋3＝87，
v4＝87×
2＋0＝174，
v5＝174×
2＋0＝348，
v6＝348×
2＋2＝698，
v7＝698×
2＋1＝1397.
所以当x＝2时，多项式的值为1397.
应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题
（1）要正确将多项式的形式进行改写．
（2）计算应由内向外依次计算．
（3）当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充．
用秦九韶算法写出当x＝3时，f（x）＝2x5－4x3＋3x2－5x＋1的值．
因为f（x）＝（（（（2x＋0）x－4）x＋3）x－5）x＋1，
v0＝2，v1＝2×
3＋0＝6，v2＝6×
3－4＝14，v3＝14×
3＋3＝45，v4＝45×
3－5＝130，v5＝130×
3＋1＝391，
所以f（3）＝391.
[层级一 学业水平达标]
1．78与36的最大公约数是（ ）
A．24 B．18
C．12D．6
选D （78,36）→（42,36）→（36,6）→…→（6,6）．
2．用秦九韶算法求多项式f（x）＝x3－3x2＋2x－11的值时应把f（x）变形为（ ）
A．x3－（3x＋2）x－11
B．（x－3）x2＋（2x－11）
C．（x－1）（x－2）x－11
D．（（x－3）x＋2）x－11
选D f（x）＝x3－3x2＋2x－11＝（（x－3）x＋2）x－11.
3．已知函数f（x）＝x3－2x2－5x＋6，则f（10）的值为________．
由秦九韶算法，得
f（x）＝x3－2x2－5x＋6
＝（x2－2x－5）x＋6
＝（（x－2）x－5）x＋6.
当x＝10时，
f（10）＝（（10－2）×
10－5）×
10＋6
＝（8×
＝75×
＝756.
756
4．求168,54,264的最大公约数．
为简化运算，先将三个数用2约简为84,27,132.
由更相减损之术，先求84与27的最大公约数．
84－27＝57,57－27＝30,30－27＝3，
27－3＝24,24－3＝21,21－3＝18,18－3＝15，
15－3＝12,12－3＝9,9－3＝6,6－3＝3，
故84与27的最大公约数是3.
再求3与132的最大公约数．
易知132＝3×
44，所以3与132的最大公约数就是3.
故84,27,132的最大公约数是3，
即168,54,264的最大公约数是6.
[层级二 应试能力达标]
1．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为（ ）
A．4B．5
选B 459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次．
2．用秦九韶算法求多项式f（x）＝0.5x5＋4x4－3x2＋x－1,当x＝3时的值时，先算的是（ ）
A．3×
3B．0.5×
35
C．0.5×
3＋4D．（0.5×
3＋4）×
3
选C 把多项式表示成如下形式：
f（x）＝（（（（0.5x＋4）x＋0）x－3）x＋1）x－1,按递推方法，由内往外，先算0.5x＋4的值．
3．4830与3289的最大公约数为（ ）
A．23 B．35
C．11D．13
选A 4830＝1×
3289＋1541；
3289＝2×
1541＋207；
1541＝7×
207＋92；
207＝2×
92＋23；
92＝4×
23；
∴23是4830与3289的最大公约数．
4．根据递推公式
其中k＝1,2，…，n，可得当k＝2时，v2的值为（ ）
A．v2＝anx＋an－1
B．v2＝（anx＋an－1）x＋an－2
C．v2＝（anx＋an－1）x
D．v2＝anx＋an－1x
选B 根据秦九韶算法知v0＝an，v1＝anx＋an－1，v2＝v1x＋an－2＝（anx＋an－1）x＋an－2.
5．用“更相减损之术”求128与48的最大公约数，第一步应为________________．
先求128－48的值，即128－48＝80.
128－48＝80
6．117与182的最大公约数等于________．
（117,182）→（117,65）→（52,65）→（52,13）→（39,13）→（26,13）→（13,13），所以其最大公约数为13.
13
7．阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，当x＝x0时，框图中A处应填入________．
f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，先用秦九韶算法改为一次多项式，
f（x）＝（…（（anx＋an－1）x＋an－2）x＋…＋a1）x＋a0.
f1＝an；
k＝1，f2＝f1x0＋an－1；
k＝2，f3＝f2x0＋an－2；
…；
归纳得第k次fk＋1＝fkx0＋an－k.故A处应填an－k.
an－k
8．用秦九韶算法计算多项式f（x）＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值．
将f（x）改写为f（x）＝（（（（（x－12）x＋60）x－160）x＋240）x－192）x＋64，v0＝1，v1＝1×
2－12＝－10，v2＝－10×
2＋60＝40，v3＝40×
2－160＝－80，v4＝－80×
2＋240＝80，v5＝80×
2－192＝－32，v6＝－32×
2＋64＝0.所以f
（2）＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
9．现有长度为2.4米和5.6米两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料？
为了使所焊接正方体的体积最大，需找出两种规格的钢筋的最大公约数．使用更相减损之术：
（5.6,2.4）→（3.2,2.4）→（0.8,2.4）→（0.8,1.6）→（0.8,0.8）．因此将正方体的棱长设计为0.8米时，正方体的体积最大且不浪费材料．
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列赋值语句正确的是（ ）
A．s＝a＋1 B．a＋1＝s
C．s－1＝aD．s－a＝1
选A 赋值语句的格式为“变量＝表达式”，“＝”的左侧只能是单个变量，故B、C、D均不正确．
2．在用“更相减损之术”求98和56的最大公约数时，操作如下：
（98,56）→（56,42）→（42,14）→（28,14）→（14,14）．由此可知两数的最大公约数为（ ）
A．98B．56
C．14D．42
选C 由更相减损术可知两数最大公约数为14.
3．阅读如图所示的程序框图，下列说法正确的是（ ）
A．该框图只含有顺序结构、条件分支结构
B．该框图只含有顺序结构、循环结构
C．该框图只含有条件分支结构、循环结构
D．该框图包含顺序结构、条件分支结构、循环结构
选D 阅读程序框图，可知该程序框图含有顺序结构、循环结构、条件分支结构，故选D.
4．如图是计算函数y＝
框图，在①②③处应分别填入的是（ ）
A．y＝ln（－x），y＝0，y＝2x
B．y＝ln（－x），y＝2x，y＝0
C．y＝0，y＝2x，y＝ln（－x）
D．y＝0，y＝ln（－x），y＝2x
选B 当x>
－2不成立时，有x≤－2，则①处填入y＝ln（－x）；
当x>
－2成立时，若x>
3成立，则y＝2x，则②处填入y＝2x；
若x>
3不成立，即－2<
x≤3，则y＝0，
则③处填入y＝0.
5．由下面循环语句可知输出的结果是（ ）
A．5B．6
C．7D．8
选C 程序执行的功能是S＝1＋2＋3＋…＋i，当i＝6时，S＞20，终止循环，此时输出的i＝7.
6．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2,第二次输入的a的值为1.2,则第一次、第二次输出的a的值分别为（ ）
A．0.2,0.2B．0.2,0.8
C．0.8,0.2D．0.8,0.8
选C 当a＝－1.2时，执行第一个循环体，a＝－1.2＋1＝－0.2＜0再执行一次第一个循环体，a＝－0.2＋1＝0.8,第一个循环体结束，输出；
当a＝1.2时，执行第二个循环体，a＝1.2－1＝0.2,输出．
7．已知函数f（x）＝
写f{f[f
（2）]}的算法时，下列哪些步骤是正确的（ ）
S1 由2＞0，得f
（2）＝0；
S2 由f（0）＝－1，得f[f
（2）]＝f（0）＝－1；
S3 由－1＜0，得f（－1）＝－1＋1＝0，
即f{f[f
（2）]}＝f（－1）＝0.
A．S1B．S2
C．S3D．三步都对
选D 以上三步遵循由内向外的计算顺序，计算结果正确，所以三步都对．
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（ ）
A．7B．6
C．5D．4
选B 第一次运行：
S＝0＋（－1）1×
1＝－1<
3；
第二次运行：
n＝2，S＝－1＋（－1）2×
2＝1<
第三次运行：
n＝3，S＝1＋（－1）3×
3＝－2<
第四次运行：
n＝4，S＝－2＋（－1）4×
4＝2<
第五次运行：
n＝5，S＝2＋（－1）5×
5＝－3<
第六次运行：
n＝6，S＝－3＋（－1）6×
6＝3，满足S≥3.故输出n的值为6，故选B.
9．若如图所示的程序框图输出的S的值为126，则条件①为（ ）
A．n≤5B．n≤6
C．n≤7D．n≤8
选B 由题知，第一次循环后，S＝2，n＝2；
第二次循环后，S＝6，n＝3；
第三次循环后，S＝14，n＝4；
第四次循环后，S＝30，n＝5；
第五次循环后，S＝62，n＝6；
第六次循环后，S＝126，n＝7，满足了S＝126，循环结束，所以条件①为n≤6.
10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则程序框图中的处理框“①”处应填写的是（ ）
A．n＝n－1B．n＝n－2
C．n＝n＋1D．n＝n＋2
选C 因为起始n＝1，输出的n＝4，所以排除A、B.若“①”处填n＝n＋1.则S＝
＝－1，n＝2，判断－1≠2，继续循环；
S＝
＝
，n＝3，判断
≠2，继续循环；
＝2，n＝4，判断2＝2，则输出n的值为4，故选C.
11．用秦九韶算法求多项式f（x）＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6的值，当x＝－4时，v4的值为（ ）
A．－57B．124
C．－845D．220
选D 依据秦九韶算法有v0＝a6＝3，v1＝v0x＋a5＝3×
（－4）＋5＝－7，v2＝v1x＋a4＝－7×
（－4）＋6＝34，v3＝v2x＋a3＝34×
（－4）＋79＝－57，v4＝v3x＋a2＝－57×
（－4）＋（－8）＝220，故选D.
12．执行如图所示的程序框图，若输出S＝
，则输入整数n＝（ ）
A．8B．9
C．10D．8或9
选D 在条件成立的情况下，执行第一次循环后，S＝
，i＝4；
执行第二次循环后，S＝
，i＝6；
执行第三次循环后，S＝
，i＝8；
执行第四次循环后，S＝
，i＝10.若n＝8或n＝9，此时10≤n不成立，退出循环，输出S＝
，因此n＝8或n＝9，故选D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）
13．下列程序运行后输出的结果为________．
当x＝5时，y＝－20＋3＝－17，
所以最后输出的x－y＝5－（－17）＝22.
22
14．用秦九韶算法求多项式P（x）＝8x4－17x3＋7x－2，当x＝21的值时，需把多项式改写为________．
根据秦九韶算法的原理可知，把多项式改写为P（x）＝（（（8x－17）x＋0）x＋7）x－2.
P（x）＝（（（8x－17）x＋0）x＋7）x－2
15．定义某种运算⊗，S＝a⊗b的运算原理如下图所示，则0⊗（－1）＝________；
设f（x）＝（0⊗x）x－2⊗x，则f
（1）＝________.
因为0＞－1，
故S＝0⊗（－1）＝|－1|＝1.
又因为，0＜1，故0⊗1＝0.而2＞1，
故2⊗1＝1.
故f
（1）＝（0⊗1）×
1－2⊗1
＝0－1＝－1.
1 －1
16．执行如图所示的框图所表达的算法，如果最后输出的S值为
，那么判断框中实数a的取值范围是________．
当1≤a<
2时，输出的S值为
；
当2≤a<
3时，输出的S值为
当3≤a<
4时，输出的S值为
当2015≤a<
2016时，输出的S值为
[2015,2016）
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）求72,120,168的最大公约数．
由更相减损之术，得
168－120＝48,120－48＝72,72－48＝24，
48－24＝24，
故120和168的最大公约数是24.
而72－24＝48,48－24＝24，
故72和24的最大公约数也是24，
所以72,120,168的最大公约数是24.
18．（本小题满分12分）编写一个程序，输出使1＋4＋7＋…＋i≥300成立的最小的正整数i.
程序如下：
19．（本小题满分12分）用秦九韶算法求多项式f（x）＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x，当x＝3时的值．
f（x）＝（（（（（（7x＋6）x＋5）x＋4）x＋3）x＋2）x＋1）x，
所以当x＝3时，
v1＝7×
3＋6＝27，
v2＝27×
3＋5＝86，
v3＝86×
3＋4＝262，
v4＝262×
3＋3＝789，
v5＝789×
3＋2＝2369，
v6＝2369×
3＋1＝7108，
v7＝7108×
3＝21324，
故x＝3时，多项式f（x）的值为21324.
20．（本小题满分12分）某公司为激励广大员工的积极性，规定：
若推销产品价值在10000元之内的年终提成5%；
若推销产品价值在10000元以上（包括10000元），则年终提成10%，设计一个求公司员工年终提成f（x）的算法的程序框图．
程序框图如下图所示：
21.（本小题满分12分）如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着边线BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数关系式并画出程序框图．
函数关系式为
y＝
程序框图如图所示：
22．（本小题满分12分）给出30个数1,2,4,7,11，…，其规律是：
第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推，要计算这30个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图（如图所示）．
（1）请在图中①处和②处填上合适的语句，使之能完成算法功能；
（2）根据程序框图写出程序．
（1）①处应填i≤30，②处应填p＝p＋i.
（2）程序如下：
2019-2020年高中数学第一章算法初步1.3算法案例学业分层测评新人教A版必修
一、选择题
1．关于进位制说法错误的是（ ）
A．进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统
B．二进制就是满二进一，十进制就是满十进一
C．满几进一，就是几进制，几进制的基数就是几
D．为了区分不同的进位制，必须在数的右下角标注基数
【解析】 一般情况下，不同的进位制须在数的右下角标注基数，但十进制可以不用标注，所以不是必须在数的右下角标注基数，所以D错误．
【答案】 D
2．下列四个数中，数值最小的是（ ）
A．25（10） B．54（4）
C．10110
（2） D．10111
（2）
【解析】 统一成十进制，B中，54（4）＝5×
41＋4＝24.C中，10110
（2）＝1×
24＋1×
22＋2＝22.D中，10111
（2）＝23.
【答案】 C
3．用更相减损术求1515和600的最大公约数时，需要做减法次数是（ ）
A．15 B．14
C．13D．12
【解析】 1515－600＝915,915－600＝315,600－315＝285,315－285＝30,285－30＝255,255－30＝225,225－30＝195,195－30＝165,165－30＝135,135－30＝105,105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15.
∴1515与600的最大公约数是15，则共做14次减法．
【答案】 B
4．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：
十六进制
1
2
4
5
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十进制
10
11
12
14
15
例如，用十六进制表示：
E＋D＝1B，则A×
B等于（ ）
A．6EB．72
C．5FD．B0
【解析】 A×
B用十进制表示10×
11＝110，而110＝6×
16＋14，所以用16进制表示6E.
【答案】 A
5．以下各数有可能是五进制数的是（ ）
A．15B．106
C．731D．21340
【解析】 五进制数中各个数字均是小于5的自然数，故选D.
二、填空题
6．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为________．
【解析】 ∵36与134都是偶数，∴第一步应为：
先除以2，得到18与67.
【答案】 先除以2，得到18与67
7．用秦九韶算法求f（x）＝2x3＋x－3当x＝3时的值v2＝________.
【解析】 f（x）＝（（2x＋0）x＋1）x－3，
v0＝2；
v1＝2×
3＋0＝6；
v2＝6×
3＋1＝19.
【答案】 19
8．将八进制数127（8）化成二进制数为________．
【解析】 先将八进制数127（8）化为十进制数：
127（8）＝1×
82＋2×
81＋7×
80＝64＋16＋7＝87，
再将十进制数87化成二进制数：
∴87＝1010111
（2），
∴127（8）＝1010111
（2）．
【答案】 1010111
（2）
三、解答题
9．用更相减损术求288与153的最大公约数．
【解】 288－153＝135,153－135＝18,135－18＝117,117－1
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