高中数学《中国古代数学中的算法案例》教案1北师大版必修3.docx
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高中数学《中国古代数学中的算法案例》教案1北师大版必修3
2019-2020年高中数学《中国古代数学中的算法案例》教案1北师大版必修3
教学目标：
1．知识与技能目标：
（１）了解中国古代数学中求两个正整数最大公约数的算法以及割圆术的算法；
（２）通过对“更相减损之术”及“割圆术”的学习，更好的理解将要解决的问题“算法化”
的思维方法，并注意理解推导“割圆术”的操作步骤。
2．过程与方法目标：
（１）改变解决问题的思路，要将抽象的数学思维转变为具体的步骤化的思维方法，提高逻
辑思维能力；
（２）学会借助实例分析，探究数学问题。
3．情感与价值目标：
（１）通过学生的主动参与，师生，生生的合作交流，提高学生兴趣，激发其求知欲，培养探索精神；
（２）体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。
教学重点与难点：
重点：
了解“更相减损之术”及“割圆术”的算法。
难点：
体会算法案例中蕴含的算法思想，利用它解决具体问题。
教学方法：
通过典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑
结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。
教学过程：
教学
环节
教学内容
师生互动
设计意图
创设 情境
引入新课
引导学生回顾
人们在长期的生活，生产和劳动过程中，创造了整数，分数，小数，正负数及其计算，以及无限逼近任一实数的方法，在代数学，几何学方面，我国在宋，元之前也都处于世界的前列。
我们在小学，中学学到的算术，代数，从记数到多元一次联立方程的求根方法，都是我国古代数学家最先创造的。
更为重要的是我国古代数学的发展有着自己鲜明的特色，也就是“寓理于算”，即把解决的问题“算法化”。
本章的内容是算法，特别是在中国古代也有着很多算法案例，我们来看一下并且进一步体会“算法”的概念。
教师引导，学生回顾。
教师启发学生回忆小学初中时所学算术代数知识，共同创设情景，引入新课。
通过对以往所学数学知识的回顾，使学生理清知识脉络，并且向学生指明，我国古代数学的发展“寓理于算”，不同于西方数学，在今天看仍然有很大的优越性，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强爱国主义情怀。
阅读
课本
探究
新知
1．求两个正整数最大公约数的算法
学生通常会用辗转相除法求两个正整数的最大公约数：
例１：
求７８和３６的最大公约数
（1）利用辗转相除法
步骤：
计算出７８３６的余数６，再将前面的除数３６作为新的被除数，３６６＝６，余数为０，则此时的除数即为７８和３６的最大公约数。
理论依据：
，得与有相同的公约数
（2）更相减损之术
指导阅读课本P----P，总结步骤
步骤：
以两数中较大的数减去较小的数，即７８－３６＝４２；以差数４２和较小的数3６构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即４２－３６＝６,再以差数６和较小的数３６构成新的一对数，对这一对数再用大数减去小数，即３６－６＝３０,继续这一过程,直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数
即，
理论依据：
由，得与有相同的公约数
算法：
输入两个正数；
如果，则执行，否则转到；
将的值赋予；
若，则把赋予，把赋予，否则把赋予，重新执行；
输出最大公约数
程序:
a=input（“a=”）
b=input（“b=”）
whilea<>b
ifa>=b
a=a-b;
else
b=b-a
end
end
print（%io
（2）,a,b）
学生阅读课本内容，分析研究，独立的解决问题。
教师巡视，加强对学生的个别指导。
由学生回答求最大公约数的两种方法，简要说明其步骤，并能说出其理论依据。
由学生写出更相减损法和辗转相除法的算法，并编出简单程序。
教师将两种算法同时显示在屏幕上，以方便学生对比。
教师将程序显示于屏幕上，使学生加以了解。
数学教学要有学生根据自己的经验，用自己的思维方式把要学的知识重新创造出来。
这种再创造积累和发展到一定程度，就有可能发生质的飞跃。
在教学中应创造自主探索与合作交流的学习环境，让学生有充分的时间和空间去观察，分析，动手实践，从而主动发现和创造所学的数学知识。
求两个正整数的最大公约数是本节课的一个重点，用学生非常熟悉的问题为载体来讲解算法的有关知识，，强调了提供典型实例，使学生经历算法设计的全过程，在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构，学会有条理地思考问题、表达算法，并能将解决问题的过程整理成程序框图。
为了能在计算机上实现，还适当展示了将自然语言或程序框图翻译成计算机语
言的内容。
总的来说，不追求形式上的严谨，通过案例引导学生理解相应内容所反映的数学思想与数学方法。
应用
举例
例1：
用等值算法（更相减损术）求下列两数的最大公约数。
（1）225，135
（2）98，280
例2：
用辗转相除法验证上例中两数的最大公约数是否正确。
学生练习，教师巡视检查。
学生回答。
巩固所学知识，进一步加深对知识的理解，用辗转相除法步骤较少，而更相减损术虽然有些步骤较长，但运算简单。
体会我国古代数学中“寓理于算”的思想。
深化
算法
应用
举例
2．割圆术
魏晋时期数学家刘徽，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”
即从圆内接正六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些内接正多边形的面积，从而得到一系列逐次递增的数值。
阅读课本P----P，
步骤：
第一，从半径为１的圆内接正六边形开始，计算它的面积；
第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形，正二十四边形，正四十八边形…的面积，到一定的边数（设为２m）为止，得到一列递增的数，
第三，在第二步中各正边形每边上作一高为余径的矩形，把其面积与相应的面积相加，得，这样又得到一列递增数：
，，，…，。
第四，圆面积满足不等式
估计的近似值，即圆周率的近似值。
算法：
设圆的半径为１，弦心距为，正边形的边长为，面积为，由勾股定理得
，
则
图可知，正边形的面积等于正边形的面积加上个等腰三角形的面积和，即
（）
利用这个递推公式，可以得到正六边形的面积为，
由于圆的半径为１，所以随着的增大，的值不断趋近于圆周率。
程序：
n=6;
x=1;
s=6*sqrt（3）/4;
forI=1:
1:
16
h=sqrt（1-（x/2）ˆ2）;
s=s+n*x*（1-h）/2;
n=2*n;
x=sqrt（（x/2）ˆ2+（1-h）ˆ2）;
end
print（%io
（2）,n,s）
学生阅读课本，教师巡视注意个别指导，帮助学生识图，分析。
教师概括割圆术的步骤，学生观察图形，引导学生提出问题并解答。
步骤较复杂，教师注意结合图形帮助学生分析，理解。
通过教师分析的割圆术的步骤，又学生讨论制定割圆术的算法，教师注意指导，适当提示，引导学生出现算法中的递推关系。
教师将算法显现在屏幕上，又学生对应写出简单的程序。
割圆术是从圆内接六边形开始，让边数逐次加倍，逐个算出这些内接正多边形的面积，从而得到一系列逐次递增的数值。
在但是要付出艰辛的劳动，现在有计算机，我们只需利用刘徽的思想，寻找割圆术中的算法，即运算规律，计算机会迅速得到所求答案。
分析刘徽割圆术中的算法是难点所在，学生先阅读课本，有初步印象之后教师再与学生一起总结割圆术的步骤，在此基础上，又学生将所分析的步骤写为算法，引导学生体会算法的核心是一般意义上的解决问题策略的具体化。
面临一个问题时，在分析、思考后获得了解决它的基本思路（解题策略），将这种思路具体化、条理化，用适当的方式表达出来（画出程序框图，转化为程序语句），这个过程就是算法设计过程，这是一个思维的条理化、逻辑化的过程。
归纳小结
1．求最大公约数的辗转相除法和更相减损法；
2．割圆术的算法
学生小结并相互补充，师生共同整理完善。
学生学后反思总结，可以提高学生自己获得知识的能力以及归纳概括能力。
课后作业
习题1—31，2
选作习题1—3
巩固所学知识，是学有余力的同学的创造性得到进一步的发挥。
2019-2020年高中数学《事件与基本事件空间》教学设计新人教B版必修3
一、教学目标：
1知识与技能目标：
（1）联系实际，了解随机现象及随机事件。
（1）了解事件的基本事件空间。
2过程与方法目标：
从生活中的实例入手，分析随机现象与随机事件。
要注重对概念的理解，区分事件与基本事件及基本事件空间等概念。
3情感、态度、价值观目标：
随机现象在客观世界中是极为普遍的，通过对各种现象及事件的分析，培养严谨的逻辑思维能力，并深刻体会数学是服务于实践的一门学科。
二、教学重点、难点：
1重点：
基本事件和基本事件空间的概念。
2难点：
实际问题中，正确的求出某试验中事件A包含的基本事件的个数和基本事件空间中的基本事件的总数。
三、教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
判断下列现象是必然现象还是随机现象
1掷一枚质地均匀的硬币的结果
2行人在十字路口看到的交通信号灯的颜色。
3三角形的内角和是
4函数（a>1）在上是增函数
问题一：
（幻灯片一：
）
在10个同类产品中，有8个正品，2个次品，从中任意抽取3个检验
问题1：
抽到的次品数是多少？
能否抽到3个次品？
问题2：
有人说一定会抽到正品，这种说法对吗？
教师给出具体问题，铺垫复习，学生思考，积极回答。
教师根据学生的回答情况进行补充总结，进一步提出问题，学生交流。
通过四个问题让学生温习、重现已有相关知识，为学生学习新知识作铺垫。
从学生新知识形成的最近发展区出发，给学生创造合作交流的机会，引导学生在原有知识和经验的基础上走进新问题。
定
理
建
概
念
形
成
概
念
深
化
（第一组学生代表）：
因为已知条件中只有2个次品，所以不可能抽出3个次品，我认为次品数可能为1或2
（第二组学生代表）：
原条件中并没有说明一定有次品被抽出，所以我认为次品数为0、1、2都有可能。
（第三组学生代表）：
这种说法是正确的，因为总共有两个次品，所以抽出的3个产品中肯定至少出现一个正品
（教师）：
那么抽出的3个产品的所有可能结果有哪些？
（第四组学生代表）：
抽出的产品的可能结果分别是“两次一正、一次两正、三正”
（教师）：
以上我们所解决的问题就是本节课我们要学习的内容（板书课题）
1、不可能事件、必然事件、随机事件
当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生，也可能不发生的结果称为随机事件。
随机事件通常用A、B、C…等来表示。
可以简称为事件。
有时讲到事件时，其中可能包含不可能事件和必然事件的意思。
问题二：
（幻灯片二）
（1）一先一后掷两枚硬币，观察正反面出现的情况，试写出所有可能结果。
（2）掷一颗骰子，掷出的点数可能有哪些？
２、基本事件、基本事件空间：
一次试验中，我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果。
它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描绘，这样的事件称为基本事件；所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，基本事件空间常用大写希腊字母Ω表示。
问题三：
（幻灯片三）
掷一颗骰子，观察掷出的点数。
（1）写出这个试验的基本事件空间
（2）设事件A表示“出现偶数点”，用集合表示事件A，它与Ω有什么关系？
（3）事件A包含几个基本事件？
什么叫事件A发生了（或不发生）？
教师引导学生思考问题1和2，分组讨论，解决问题。
同时引导学生发现总结：
在几位同学的回答中已经涉及到了“不可能、可能、肯定”等词语，从而概括出不可能事件、必然事件、随机事件的概念。
1、教师首先要求学生思考问题二，并分组讨论、交流得出答案。
然后结合12两个问题给出基本事件、基本事件空间的概念。
２、教师出示问题三，学生结合着问题看课本（第99-100页例题上方的部分）内容后再作答，不足之处师生共同纠正。
学生在感性认识基础上学习新知识总是不完整不全面的，从具体问题入手有利于学生主动参与，通过分组讨论交流不但培养了学生严谨的逻辑思维能力，同时也培养了同学之间的协作精神。
学生对知识的掌握是建立在对知识的理解基础上的，学生通过小组讨论自己解决问题建构知识，从而体验到成功的乐趣，大大提高了学习的热情。
1、教师从具体问题入手分析讲解两个概念：
（“基本事件与基本事件空间”，）便于学生接受。
2、通过设计的三个问题引导学生学会从集合的
角度理解随机事件；明确事件A发生了（或不发生）的真正含义；明确事件与基本事件的区别与联系。
概
念
深
化
3、从集合的角度理解随机事件：
把随机事件理解为基本事件空间的子集
４、事件A发生了（或不发生）：
一般的，如果在一次试验中，出现的结果是集合A中的某个基本事件，我们就说事件A发生了，否则就说事件A没有发生。
练习：
写出问题二的第
（1）题中“至少有一次出现正面”包括的基本事件。
学生举例：
如3中的事件A包括三个基本事件：
“出现2点”、“出现4点”、“出现6点”。
如果掷出了2点，那么就说事件A发生了,如果掷出了3点就说事件A没有发生
通过问题二、三的解决，让学生走出了概念一带而过的误区，走向“重视过程，重视探究，重视交流”的新天地。
应
用
举
例
例1：
一个盒子中装有10个完全相同的球，分别以号码1、2…10，从中任取一球，观察球的号码，写出这个试验的基本事件和基本事件空间
例2：
连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面
（1）写出这个试验的基本事件空间；
（2）求这个试验的基本事件的总数；
（3）“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个基本事件？
例3：
袋中有红、白、黄、黑颜色大小相同的四个小球
（1）从中任取一球
（2）从中任取两球（3）先后各取一球。
分别求上述试验的基本事件总数
练习：
1、掷两颗骰子时“点数总和小于7”与掷十颗骰子时“点数总和小于7”是同一类事件吗？
为什么？
2、课本P101练习A：
1
3、课本P101练习A：
2
例1比较简单，找学生口答即可，过程中出现问题及时纠正。
例2由一个学生
板书示范解题步骤，并及时纠正解题过程中出现的问题。
例3可组织学生讨论，然后让学生回答.练习1可先组织学生讨论、交流再作答。
练习2、3让学生在笔记本上完成后再回答.
幻灯片四：
（练习答案）
通过应用进一步理解和巩固事件、基本事件、基本事件空间等概念。
逐步学会从集合的角度理解随机事件。
同时规范了学生的思维与解题步骤，培养了学生独立解决问题的能力。
练习1让学生明确：
不论哪类事件都是相对于一定的试验条件而言的，如果试验条件变了，事件的性质也会发生变化。
练习2、3让学生学会用集合表示事件与基本事件空间
（一）知识小结
（二）思想方法总结
学会用集合的思想理解随机事件
区分事件、基本事件、基本事件空间等概念。
学生反思总结，教师补充提炼。
学生自己梳理本节所学知识，以便对本节课所学知识的内容、结构有一个清晰的认识，能抓住重点进行课后学习。
（1）书面作业：
P101练习B、2
P108习题A、2
（2）课外作业：
1、P109习题B、2
2、预习教材第102—104页
书面作业要求所有学生独立完成，课外作业要求学有余力的同学完成。
考虑到不同学生的个性差异和发展层次，作业分两个层次，书面作业及时巩固本节所学知识，发现和弥补教学中的不足，要求所有学生都要完成；课外作业主要是让学有余力的同学完成，从而达到拔尖与“减负”的目的。
教学设计说明
新课标指出，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，更重要的是应倡导自主探索、合作交流。
所以，在教学过程中，注重学生自主学习与合作交流能力的培养，尽可能调动学生学习的主动性与积极性。
本节课先安排了一组2分种的诊断测试题，让学生复习回顾前面所学知识。
接着提出问题，引发讨论。
概念形成环节，考虑到高一学生的抽象概括能力不是很强，所以教学过程中通过设计具体问题让学生自己探讨、思考，设法培养学生具体到抽象的思维方式，从而使学生饶有兴趣的进入对枯燥概念的学习中去。
学生的学习是对知识的内化过程，学生只有通过自己去思考、发现、揭示数学本质或规律，才能更好的促进素质与能力的提高，所以在概念深化环节，通过设计一些揭示概念本质的问题，引导学生积极思考探讨，从而解决了本节课的重点。
应用举例环节，通过设计典型例题，放手于学生，教师及时评价总结，从而加强了学生对数学概念的理解，规范了学生的思维与解题步骤。
在归纳小结环节，为了让学生对所学知识在头脑中形成清晰的框架，先让学生反思总结，然后教师进行补充提练，从而提升了学生的思维。
为了让不同的学生都有所发展，作业分书面作业与课后作业，书面作业使全体学生巩固本节本节所学知识，发现和弥补教学中的不足。
课外作业使学有余力的同学有所提高，从而达到了拔尖与“减负”的目的。
总之，本设计在每个环节都充分考虑到学生的实际情况，学生能够自己解决的，教师尽量不包办代替，个别地方需要点拨的也尽可能作到点到为止，从而使教与学达到了完美的统一。
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