学年人教B版高中数学必修3教学案第一章中国古代数学中的算法案例Word.docx
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学年人教B版高中数学必修3教学案第一章中国古代数学中的算法案例Word
预习课本P27～32，思考并完成以下问题
（1）如何求两个数的最大公约数？
（2）秦九韶算法的原理是什么？
1．“更相减损之术”
更相减损之术就是对于给定的两个数，以两数中较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成一对新数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差和较小的数相等，此时相等的两数便为两个原数的最大公约数．
2．割圆术
割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注《九章算术》中所采用的用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率π的方法．
3．秦九韶算法
把一元n次多项式函数P（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写：
P（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
＝（anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1）x＋a0
＝（（anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2）x＋a1）x＋a0
＝（…（（anx＋an－1）x＋an－2）x＋…＋a1）x＋a0，
令vk＝（…（anx＋an－1）x＋…＋an－（k－1））x＋an－k，
则递推公式为
其中k＝1,2，…，n.
这样求一元n次多项式P（x）的值就转化为求n个一次多项式的值，这种求n次多项式值的方法就叫做秦九韶算法．
1．用更相减损术求98与63的最大公约数时，需做减法的次数为（ ）
A．4 B．5
C．6D．7
解析：
选C （98,63）→（35,63）→（35,28）→（7,28）→（7,21）→（7,14）→（7,7），∴共进行6次减法．
2．225与150的最大公约数是（ ）
A．15B．30
C．45D．75
解析：
选D 因为（225,150）→（75,150）→（75,75），所以225与150的最大公约数是75.
3．已知多项式f（x）＝4x5＋3x4＋2x3－x2－x－
，用秦九韶算法求f（－2）等于（ ）
A．－
B.
C.
D．－
解析：
选A ∵f（x）＝（（（（4x＋3）x＋2）x－1）x－1）x－
，∴f（－2）＝－
.
4．用圆内接正多边形逼近圆，因而得到的圆周率总是________π的实际值．
解析：
用割圆术法求出的是π的不足近似值．
答案：
小于
求最大公约数
[典例] 求261和319的最大公约数．
[解] 319－261＝58，
（261,319）→（261,58）→（203,58）→（145,58）→（87,58）→（29,58）→（29,29），所以319与261的最大公约数是29.
“更相减损之术”求两个数的最大公约数的算法步骤
第一步，给定两个正整数m，n（m>n）．
第二步，计算m－n所得的差k.
第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示．
第四步，若m＝n，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步．
[活学活用]
1．用更相减损之术求36与135的最大公约数，需做减法的次数是________．
解析：
（135,36）→（99,36）→（63,36）→（36,27）→（27,9）→（18,9）→（9,9），故共进行了6次减法运算．
答案：
6
2．求378与90的最大公约数．
解：
法一：
378－90＝288，
288－90＝198，
198－90＝108，
108－90＝18，
90－18＝72，
72－18＝54，
54－18＝36，
36－18＝18，
∴378与90的最大公约数是18.
法二：
378＝90×4＋18，
90＝18×5，
∴378与90的最大公约数是18.
用秦九韶算法求多项式的值
[典例] 用秦九韶算法求多项式f（x）＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，当x＝2时的值．
[解] 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f（x）＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝（（（（（（8x＋5）x＋0）x＋3）x＋0）x＋0）x＋2）x＋1.
而x＝2，所以有
v0＝8，
v1＝8×2＋5＝21，
v2＝21×2＋0＝42，
v3＝42×2＋3＝87，
v4＝87×2＋0＝174，
v5＝174×2＋0＝348，
v6＝348×2＋2＝698，
v7＝698×2＋1＝1397.
所以当x＝2时，多项式的值为1397.
应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题
（1）要正确将多项式的形式进行改写．
（2）计算应由内向外依次计算．
（3）当多项式函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充．
[活学活用]
用秦九韶算法写出当x＝3时，f（x）＝2x5－4x3＋3x2－5x＋1的值．
解：
因为f（x）＝（（（（2x＋0）x－4）x＋3）x－5）x＋1，
v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3－4＝14，v3＝14×3＋3＝45，v4＝45×3－5＝130，v5＝130×3＋1＝391，
所以f（3）＝391.
[层级一 学业水平达标]
1．78与36的最大公约数是（ ）
A．24 B．18
C．12D．6
解析：
选D （78,36）→（42,36）→（36,6）→…→（6,6）．
2．用秦九韶算法求多项式f（x）＝x3－3x2＋2x－11的值时应把f（x）变形为（ ）
A．x3－（3x＋2）x－11
B．（x－3）x2＋（2x－11）
C．（x－1）（x－2）x－11
D．（（x－3）x＋2）x－11
解析：
选D f（x）＝x3－3x2＋2x－11＝（（x－3）x＋2）x－11.
3．已知函数f（x）＝x3－2x2－5x＋6，则f（10）的值为________．
解析：
由秦九韶算法，得
f（x）＝x3－2x2－5x＋6
＝（x2－2x－5）x＋6
＝（（x－2）x－5）x＋6.
当x＝10时，
f（10）＝（（10－2）×10－5）×10＋6
＝（8×10－5）×10＋6
＝75×10＋6
＝756.
答案：
756
4．求168,54,264的最大公约数．
解：
为简化运算，先将三个数用2约简为84,27,132.
由更相减损之术，先求84与27的最大公约数．
84－27＝57,57－27＝30,30－27＝3，
27－3＝24,24－3＝21,21－3＝18,18－3＝15，
15－3＝12,12－3＝9,9－3＝6,6－3＝3，
故84与27的最大公约数是3.
再求3与132的最大公约数．
易知132＝3×44，所以3与132的最大公约数就是3.
故84,27,132的最大公约数是3，
即168,54,264的最大公约数是6.
[层级二 应试能力达标]
1．用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为（ ）
A．4B．5
C．6D．7
解析：
选B 459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次．
2．用秦九韶算法求多项式f（x）＝0.5x5＋4x4－3x2＋x－1,当x＝3时的值时，先算的是（ ）
A．3×3B．0.5×35
C．0.5×3＋4D．（0.5×3＋4）×3
解析：
选C 把多项式表示成如下形式：
f（x）＝（（（（0.5x＋4）x＋0）x－3）x＋1）x－1,按递推方法，由内往外，先算0.5x＋4的值．
3．4830与3289的最大公约数为（ ）
A．23 B．35
C．11D．13
解析：
选A 4830＝1×3289＋1541；
3289＝2×1541＋207；
1541＝7×207＋92；
207＝2×92＋23；92＝4×23；
∴23是4830与3289的最大公约数．
4．根据递推公式
其中k＝1,2，…，n，可得当k＝2时，v2的值为（ ）
A．v2＝anx＋an－1
B．v2＝（anx＋an－1）x＋an－2
C．v2＝（anx＋an－1）x
D．v2＝anx＋an－1x
解析：
选B 根据秦九韶算法知v0＝an，v1＝anx＋an－1，v2＝v1x＋an－2＝（anx＋an－1）x＋an－2.
5．用“更相减损之术”求128与48的最大公约数，第一步应为________________．
解析：
先求128－48的值，即128－48＝80.
答案：
128－48＝80
6．117与182的最大公约数等于________．
解析：
（117,182）→（117,65）→（52,65）→（52,13）→（39,13）→（26,13）→（13,13），所以其最大公约数为13.
答案：
13
7．阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，当x＝x0时，框图中A处应填入________．
解析：
f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，先用秦九韶算法改为一次多项式，
f（x）＝（…（（anx＋an－1）x＋an－2）x＋…＋a1）x＋a0.
f1＝an；k＝1，f2＝f1x0＋an－1；
k＝2，f3＝f2x0＋an－2；…；
归纳得第k次fk＋1＝fkx0＋an－k.故A处应填an－k.
答案：
an－k
8．用秦九韶算法计算多项式f（x）＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64，当x＝2时的值．
解：
将f（x）改写为f（x）＝（（（（（x－12）x＋60）x－160）x＋240）x－192）x＋64，v0＝1，v1＝1×2－12＝－10，v2＝－10×2＋60＝40，v3＝40×2－160＝－80，v4＝－80×2＋240＝80，v5＝80×2－192＝－32，v6＝－32×2＋64＝0.所以f
（2）＝0，即x＝2时，原多项式的值为0.
9．现有长度为2.4米和5.6米两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料？
解：
为了使所焊接正方体的体积最大，需找出两种规格的钢筋的最大公约数．使用更相减损之术：
（5.6,2.4）→（3.2,2.4）→（0.8,2.4）→（0.8,1.6）→（0.8,0.8）．因此将正方体的棱长设计为0.8米时，正方体的体积最大且不浪费材料．
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列赋值语句正确的是（ ）
A．s＝a＋1 B．a＋1＝s
C．s－1＝aD．s－a＝1
解析：
选A 赋值语句的格式为“变量＝表达式”，“＝”的左侧只能是单个变量，故B、C、D均不正确．
2．在用“更相减损之术”求98和56的最大公约数时，操作如下：
（98,56）→（56,42）→（42,14）→（28,14）→（14,14）．由此可知两数的最大公约数为（ ）
A．98B．56
C．14D．42
解析：
选C 由更相减损术可知两数最大公约数为14.
3．阅读如图所示的程序框图，下列说法正确的是（ ）
A．该框图只含有顺序结构、条件分支结构
B．该框图只含有顺序结构、循环结构
C．该框图只含有条件分支结构、循环结构
D．该框图包含顺序结构、条件分支结构、循环结构
解析：
选D 阅读程序框图，可知该程序框图含有顺序结构、循环结构、条件分支结构，故选D.
4．如图是计算函数y＝
框图，在①②③处应分别填入的是（ ）
A．y＝ln（－x），y＝0，y＝2x
B．y＝ln（－x），y＝2x，y＝0
C．y＝0，y＝2x，y＝ln（－x）
D．y＝0，y＝ln（－x），y＝2x
解析：
选B 当x>－2不成立时，有x≤－2，则①处填入y＝ln（－x）；
当x>－2成立时，若x>3成立，则y＝2x，则②处填入y＝2x；
若x>3不成立，即－2则③处填入y＝0.
5．由下面循环语句可知输出的结果是（ ）
A．5B．6
C．7D．8
解析：
选C 程序执行的功能是S＝1＋2＋3＋…＋i，当i＝6时，S＞20，终止循环，此时输出的i＝7.
6．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为－1.2,第二次输入的a的值为1.2,则第一次、第二次输出的a的值分别为（ ）
A．0.2,0.2B．0.2,0.8
C．0.8,0.2D．0.8,0.8
解析：
选C 当a＝－1.2时，执行第一个循环体，a＝－1.2＋1＝－0.2＜0再执行一次第一个循环体，a＝－0.2＋1＝0.8,第一个循环体结束，输出；当a＝1.2时，执行第二个循环体，a＝1.2－1＝0.2,输出．
7．已知函数f（x）＝
写f{f[f
（2）]}的算法时，下列哪些步骤是正确的（ ）
S1 由2＞0，得f
（2）＝0；
S2 由f（0）＝－1，得f[f
（2）]＝f（0）＝－1；
S3 由－1＜0，得f（－1）＝－1＋1＝0，
即f{f[f
（2）]}＝f（－1）＝0.
A．S1B．S2
C．S3D．三步都对
解析：
选D 以上三步遵循由内向外的计算顺序，计算结果正确，所以三步都对．
8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（ ）
A．7B．6
C．5D．4
解析：
选B 第一次运行：
S＝0＋（－1）1×1＝－1<3；第二次运行：
n＝2，S＝－1＋（－1）2×2＝1<3；第三次运行：
n＝3，S＝1＋（－1）3×3＝－2<3；第四次运行：
n＝4，S＝－2＋（－1）4×4＝2<3；第五次运行：
n＝5，S＝2＋（－1）5×5＝－3<3；第六次运行：
n＝6，S＝－3＋（－1）6×6＝3，满足S≥3.故输出n的值为6，故选B.
9．若如图所示的程序框图输出的S的值为126，则条件①为（ ）
A．n≤5B．n≤6
C．n≤7D．n≤8
解析：
选B 由题知，第一次循环后，S＝2，n＝2；第二次循环后，S＝6，n＝3；第三次循环后，S＝14，n＝4；第四次循环后，S＝30，n＝5；第五次循环后，S＝62，n＝6；第六次循环后，S＝126，n＝7，满足了S＝126，循环结束，所以条件①为n≤6.
10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则程序框图中的处理框“①”处应填写的是（ ）
A．n＝n－1B．n＝n－2
C．n＝n＋1D．n＝n＋2
解析：
选C 因为起始n＝1，输出的n＝4，所以排除A、B.若“①”处填n＝n＋1.则S＝
＝－1，n＝2，判断－1≠2，继续循环；S＝
＝
，n＝3，判断
≠2，继续循环；S＝
＝2，n＝4，判断2＝2，则输出n的值为4，故选C.
11．用秦九韶算法求多项式f（x）＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6的值，当x＝－4时，v4的值为（ ）
A．－57B．124
C．－845D．220
解析：
选D 依据秦九韶算法有v0＝a6＝3，v1＝v0x＋a5＝3×（－4）＋5＝－7，v2＝v1x＋a4＝－7×（－4）＋6＝34，v3＝v2x＋a3＝34×（－4）＋79＝－57，v4＝v3x＋a2＝－57×（－4）＋（－8）＝220，故选D.
12．执行如图所示的程序框图，若输出S＝
，则输入整数n＝（ ）
A．8B．9
C．10D．8或9
解析：
选D 在条件成立的情况下，执行第一次循环后，S＝
，i＝4；执行第二次循环后，S＝
，i＝6；执行第三次循环后，S＝
，i＝8；执行第四次循环后，S＝
，i＝10.若n＝8或n＝9，此时10≤n不成立，退出循环，输出S＝
，因此n＝8或n＝9，故选D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）
13．下列程序运行后输出的结果为________．
解析：
当x＝5时，y＝－20＋3＝－17，
所以最后输出的x－y＝5－（－17）＝22.
答案：
22
14．用秦九韶算法求多项式P（x）＝8x4－17x3＋7x－2，当x＝21的值时，需把多项式改写为________．
解析：
根据秦九韶算法的原理可知，把多项式改写为P（x）＝（（（8x－17）x＋0）x＋7）x－2.
答案：
P（x）＝（（（8x－17）x＋0）x＋7）x－2
15．定义某种运算⊗，S＝a⊗b的运算原理如下图所示，则0⊗（－1）＝________；设f（x）＝（0⊗x）x－2⊗x，则f
（1）＝________.
解析：
因为0＞－1，
故S＝0⊗（－1）＝|－1|＝1.
又因为，0＜1，故0⊗1＝0.而2＞1，
故2⊗1＝1.
故f
（1）＝（0⊗1）×1－2⊗1
＝0－1＝－1.
答案：
1 －1
16．执行如图所示的框图所表达的算法，如果最后输出的S值为
，那么判断框中实数a的取值范围是________．
解析：
当1≤a<2时，输出的S值为
＝
；
当2≤a<3时，输出的S值为
＝
；
当3≤a<4时，输出的S值为
＝
；…；
当2015≤a<2016时，输出的S值为
.
答案：
[2015,2016）
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）求72,120,168的最大公约数．
解：
由更相减损之术，得
168－120＝48,120－48＝72,72－48＝24，
48－24＝24，
故120和168的最大公约数是24.
而72－24＝48,48－24＝24，
故72和24的最大公约数也是24，
所以72,120,168的最大公约数是24.
18．（本小题满分12分）编写一个程序，输出使1＋4＋7＋…＋i≥300成立的最小的正整数i.
解：
程序如下：
19．（本小题满分12分）用秦九韶算法求多项式f（x）＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x，当x＝3时的值．
解：
f（x）＝（（（（（（7x＋6）x＋5）x＋4）x＋3）x＋2）x＋1）x，
所以当x＝3时，
v1＝7×3＋6＝27，
v2＝27×3＋5＝86，
v3＝86×3＋4＝262，
v4＝262×3＋3＝789，
v5＝789×3＋2＝2369，
v6＝2369×3＋1＝7108，
v7＝7108×3＝21324，
故x＝3时，多项式f（x）的值为21324.
20．（本小题满分12分）某公司为激励广大员工的积极性，规定：
若推销产品价值在10000元之内的年终提成5%；若推销产品价值在10000元以上（包括10000元），则年终提成10%，设计一个求公司员工年终提成f（x）的算法的程序框图．
解：
程序框图如下图所示：
21.（本小题满分12分）如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着边线BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数关系式并画出程序框图．
解：
函数关系式为
y＝
程序框图如图所示：
22．（本小题满分12分）给出30个数1,2,4,7,11，…，其规律是：
第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推，要计算这30个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图（如图所示）．
（1）请在图中①处和②处填上合适的语句，使之能完成算法功能；
（2）根据程序框图写出程序．
解：
（1）①处应填i≤30，②处应填p＝p＋i.
（2）程序如下：
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