高中数学第一章算法初步13中国古代数学中的算法案例教学案新人教B版必修3Word文档格式.docx

1、“更相减损之术”求两个数的最大公约数的算法步骤第一步，给定两个正整数m，n（mn）第二步，计算mn所得的差k.第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示，小者用n表示第四步，若mn，则m，n的最大公约数等于m；否则，返回第二步活学活用1用更相减损之术求36与135的最大公约数，需做减法的次数是_（135,36）（99,36）（63,36）（36,27）（27,9）（18,9）（9,9），故共进行了6次减法运算62求378与90的最大公约数解：法一：37890288，28890198，19890108，1089018，901872，721854，541836，361818，378与90的最大公约

2、数是18.法二：37890418，90185，用秦九韶算法求多项式的值典例用秦九韶算法求多项式f（x）8x75x63x42x1，当x2时的值解根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f（x）8x75x60x53x40x30x22x1（8x5）x0）x3）x0）x0）x2）x1.而x2，所以有v08，v182521，v2212042，v3422387，v48720174，v517420348，v634822698，v7698211 397.所以当x2时，多项式的值为1 397.应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的3个问题（1）要正确将多项式的形式进行改写（2）计算应由内向外依次计算（3）当多项式

3、函数中间出现空项时，要以系数为零的齐次项补充 用秦九韶算法写出当x3时，f（x）2x54x33x25x1的值因为f（x）（2x0）x4）x3）x5）x1，v02，v12306，v263414，v3143345，v44535130，v513031391，所以f（3）391.层级一学业水平达标178与36的最大公约数是（）A24 B18C12 D6选D（78,36）（42,36）（36,6）（6,6）2用秦九韶算法求多项式f（x）x33x22x11的值时应把f（x）变形为（）Ax3（3x2）x11B（x3）x2（2x11）C（x1）（x2）x11D（x3）x2）x11选Df（x）x33x22x11

4、（x3）x2）x11.3已知函数f（x）x32x25x6，则f（10）的值为_由秦九韶算法，得f（x）x32x25x6（x22x5）x6（x2）x5）x6.当x10时，f（10）（102）105）106（875756.7564求168,54,264的最大公约数为简化运算，先将三个数用2约简为84,27,132.由更相减损之术，先求84与27的最大公约数842757,572730,30273，27324,24321,21318,18315，15312,1239,936,633，故84与27的最大公约数是3.再求3与132的最大公约数易知132344，所以3与132的最大公约数就是3.故84,27

5、,132的最大公约数是3，即168,54,264的最大公约数是6.层级二应试能力达标1用更相减损术求459与357的最大公约数，需要做减法的次数为（）A4 B5选B459357102,357102255,255102153,15310251,1025151，所以459与357的最大公约数为51，共做减法5次2用秦九韶算法求多项式f（x）0.5x54x43x2x1, 当x3时的值时，先算的是（）A33 B0.535C0.534 D（0.534）3选C把多项式表示成如下形式：f（x）（0.5x4）x0）x3）x1）x1, 按递推方法，由内往外，先算0.5x4的值34 830与3 289的最大公约数

6、为（）A23 B35C11 D13选A4 83013 2891 541；3 28921 541207；1 541720792；20729223；92423；23是4 830与3 289的最大公约数4根据递推公式其中k1,2，n，可得当k2时，v2的值为（）Av2anxan1Bv2（anxan1）xan2Cv2（anxan1）xDv2anxan1x选B根据秦九韶算法知v0an，v1anxan1，v2v1xan2（anxan1）xan2.5用“更相减损之术”求128与48的最大公约数，第一步应为_先求12848的值，即1284880.12848806117与182的最大公约数等于_（117,182

7、）（117,65）（52,65）（52,13）（39,13）（26,13）（13,13），所以其最大公约数为13.137阅读程序框图，利用秦九韶算法计算多项式f（x）anxnan1xn1a1xa0，当xx0时，框图中A处应填入_f（x）anxnan1xn1a1xa0，先用秦九韶算法改为一次多项式，f（x）（anxan 1）xan2）xa1）xa0.f1an；k1，f2f1x0an1；k2，f3f2x0an2；归纳得第k次fk1fkx0ank.故A处应填ank.ank8用秦九韶算法计算多项式f（x）x612x560x4160x3240x2192x64，当x2时的值将f（x）改写为f（x）（x12

8、）x60）x160）x240）x192）x64，v01，v1121210，v21026040，v340216080，v480224080，v580219232，v6322640.所以f（2）0，即x2时，原多项式的值为0.9现有长度为2.4米和5.6米两种规格的钢筋若干，要焊接一批正方体模型，问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料？为了使所焊接正方体的体积最大，需找出两种规格的钢筋的最大公约数使用更相减损之术：（5.6,2.4）（3.2,2.4）（0.8,2.4）（0.8,1.6）（0.8,0.8）因此将正方体的棱长设计为0.8米时，正方体的体积最大且不浪费材料（时间120分钟，满分1

9、50分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列赋值语句正确的是（）Asa1 Ba1sCs1a Dsa1选A赋值语句的格式为“变量表达式”，“”的左侧只能是单个变量，故B、C、D均不正确2在用“更相减损之术”求98和56的最大公约数时，操作如下：（98,56）（56,42）（42,14）（28,14）（14,14）由此可知两数的最大公约数为（）A98 B56C14 D42选C由更相减损术可知两数最大公约数为14.3阅读如图所示的程序框图，下列说法正确的是（）A该框图只含有顺序结构、条件分支结构B该框图只含有顺序结构、循环结构C

10、该框图只含有条件分支结构、循环结构D该框图包含顺序结构、条件分支结构、循环结构选D阅读程序框图，可知该程序框图含有顺序结构、循环结构、条件分支结构，故选D.4如图是计算函数y框图，在处应分别填入的是（）Ayln（x），y0，y2xByln（x），y2x，y0Cy0，y2x，yln（x）Dy0，yln（x），y2x选B当x2不成立时，有x2，则处填入yln（x）；当x2成立时，若x3成立，则y2x，则处填入y2x；若x3不成立，即2x3，则y0，则处填入y0.5由下面循环语句可知输出的结果是（）A5 B6C7 D8选C程序执行的功能是S123i，当i6时，S20，终止循环，此时输出的i7.6执行

11、两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为1.2, 第二次输入的a的值为1.2, 则第一次、第二次输出的a的值分别为（）A0.2, 0.2 B0.2, 0.8C0.8, 0.2 D0.8, 0.8选C当a1.2时，执行第一个循环体，a1.210.20再执行一次第一个循环体，a0.210.8, 第一个循环体结束，输出；当a1.2时，执行第二个循环体，a1.210.2, 输出7已知函数f（x）写fff（2）的算法时，下列哪些步骤是正确的（）S1由20，得f（2）0；S2由f（0）1，得ff（2）f（0）1；S3由10，得f（1）110，即fff（2）f（1）0.AS1 BS2CS3 D三步都对

12、选D以上三步遵循由内向外的计算顺序，计算结果正确，所以三步都对8阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为（）A7 B6C5 D4选B第一次运行：S0（1）1113；第二次运行：n2，S1（1）221第三次运行：n3，S1（1）332第四次运行：n4，S2（1）442第五次运行：n5，S2（1）553第六次运行：n6，S3（1）663，满足S3.故输出n的值为6，故选B.9若如图所示的程序框图输出的S的值为126，则条件为（）An5 Bn6Cn7 Dn8选B由题知，第一次循环后，S2，n2；第二次循环后，S6，n3；第三次循环后，S14，n4；第四次循环后，S30，n5；第五次循环

13、后，S62，n6；第六次循环后，S126，n7，满足了S126，循环结束，所以条件为n6.10阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则程序框图中的处理框“”处应填写的是（）Ann1 Bnn2Cnn1 Dnn2选C因为起始n1，输出的n4，所以排除A、B.若“”处填nn1.则S1，n2，判断12，继续循环；S，n3，判断2，继续循环；2，n4，判断22，则输出n的值为4，故选C.11用秦九韶算法求多项式f（x）1235x8x279x36x45x53x6的值，当x4时，v4的值为（）A57 B124C845 D220选D依据秦九韶算法有v0a63，v1v0xa53（4）57，v

14、2v1xa47（4）634，v3v2xa334（4）7957，v4v3xa257（4）（8）220，故选D.12执行如图所示的程序框图，若输出S，则输入整数n（）A8 B9C10 D8或9选D在条件成立的情况下，执行第一次循环后，S，i4；执行第二次循环后，S，i6；执行第三次循环后，S，i8；执行第四次循环后，S，i10.若n8或n9，此时10n不成立，退出循环，输出S，因此n8或n9，故选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上）13下列程序运行后输出的结果为_当x5时，y20317，所以最后输出的xy5（17）22.2214用秦九韶算法求多项式P（x

15、）8x417x37x2，当x21的值时，需把多项式改写为_根据秦九韶算法的原理可知，把多项式改写为P（x）（8x17）x0）x7）x2.P（x）（8x17）x0）x7）x215定义某种运算，Sab的运算原理如下图所示，则0（1）_；设f（x）（0x）x2x，则f（1）_.因为01，故S0（1）|1|1.又因为，01，故010.而21，故211.故f（1）（01）121011.1116执行如图所示的框图所表达的算法，如果最后输出的S值为，那么判断框中实数a的取值范围是_当1a2时，输出的S值为；当2a3时，输出的S值为当3a4时，输出的S值为当2 015a2 016时，输出的S值为2 015,2

16、 016）三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）求72,120,168的最大公约数由更相减损之术，得16812048,1204872,724824，482424，故120和168的最大公约数是24.而722448,482424，故72和24的最大公约数也是24，所以72,120,168的最大公约数是24.18（本小题满分12分）编写一个程序，输出使147i300成立的最小的正整数i.程序如下：19（本小题满分12分）用秦九韶算法求多项式f（x）7x76x65x54x43x32x2x，当x3时的值f（x）（7x6）x5）x4）x3）x

17、2）x1）x，所以当x3时，v173627，v2273586，v38634262，v426233789，v5789322 369，v62 369317 108，v77 108321 324，故x3时，多项式f（x）的值为21 324.20（本小题满分12分）某公司为激励广大员工的积极性，规定：若推销产品价值在10 000元之内的年终提成5%；若推销产品价值在10 000元以上（包括10 000元），则年终提成10%，设计一个求公司员工年终提成f（x）的算法的程序框图程序框图如下图所示：21.（本小题满分12分）如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着边线BCDA由点B（起点）向

18、点A（终点）运动设点P运动的路程为x，APB的面积为y，求y与x之间的函数关系式并画出程序框图函数关系式为y程序框图如图所示：22（本小题满分12分）给出30个数1,2,4,7,11，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推，要计算这30个数的和现已给出了该问题算法的程序框图（如图所示）（1）请在图中处和处填上合适的语句，使之能完成算法功能；（2）根据程序框图写出程序（1）处应填i30，处应填ppi.（2）程序如下：2019-2020年高中数学第一章算法初步1.3算法案例学业分层测评新人教A版必修一、选择题1关于进位制说法错误的是

19、（）A进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统B二进制就是满二进一，十进制就是满十进一C满几进一，就是几进制，几进制的基数就是几D为了区分不同的进位制，必须在数的右下角标注基数【解析】一般情况下，不同的进位制须在数的右下角标注基数，但十进制可以不用标注，所以不是必须在数的右下角标注基数，所以D错误【答案】D2下列四个数中，数值最小的是（）A25（10） B54（4）C10 110（2） D10 111（2）【解析】统一成十进制，B中，54（4）541424.C中，10 110（2）124122222.D中，10 111（2）23.【答案】C3用更相减损术求1 515和600的最大公约数时

20、，需要做减法次数是（） A15 B14C13 D12【解析】1 515600915,915600315,600315285,31528530,28530255,25530225,22530195,19530165,16530135,13530105,1053075,753045,453015,301515.1 515与600的最大公约数是15，则共做14次减法【答案】B4计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09和字母AF共16个计数符号，这些符号与十进制数的对应关系如下表：十六进制1245789ABCDEF十进制1011121415例如，用十六进制表示：ED1B，则AB等于（）

21、A6E B72C5F DB0【解析】AB用十进制表示1011110，而11061614，所以用16进制表示6E.【答案】A5以下各数有可能是五进制数的是（）A15 B106C731 D21 340【解析】五进制数中各个数字均是小于5的自然数，故选D.二、填空题6用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为_【解析】36与134都是偶数，第一步应为：先除以2，得到18与67.【答案】先除以2，得到18与677用秦九韶算法求f（x）2x3x3当x3时的值v2_.【解析】f（x）（2x0）x1）x3，v02；v12306；v263119.【答案】198将八进制数127（8）化成二进制数为_【解析】先将八进制数127（8）化为十进制数：127（8）1822817806416787，再将十进制数87化成二进制数：871010111（2），127（8）1010111（2）【答案】1010111（2）三、解答题9用更相减损术求288与153的最大公约数【解】288153135,15313518,13518117,1171