完整版学年浙江省台州市高一下学期期末质量评估数学试题解析版.docx

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完整版学年浙江省台州市高一下学期期末质量评估数学试题解析版

2018-2019学年浙江省台州市高一下学期期末质量评估数学试题

一、单选题

1．已知数列的前4项为：

l，，，，则数列的通项公式可能为（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】分母与项数一样，分子都是1，正负号相间出现，依此可得通项公式

【详解】

正负相间用表示，∴．

故选D．

【点睛】

本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律．

2．不等式的解集为（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】结合二次函数图象可得不等式的解．

【详解】

的两根为1和，故原不等式的解为或，即解集为．

故选C．

【点睛】

本题考查解一元二次不等式，解题关键是牢记“三个二次”之间的关系．

3．己知中，角所对的边分別是.若，则=（）

A．B．1C．2D．

【答案】B

【解析】由正弦定理可得．

【详解】

∵，∴．

故选B．

【点睛】

本题考查正弦定理，解题时直接应用正弦定理可解题，本题属于基础题．

4．已知向量=（3，4），=（2，1），则向量与夹角的余弦值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由向量的夹角公式计算．

【详解】

由已知，，．

∴．

故选A．

【点睛】

本题考查平面向量的数量积，掌握数量积公式是解题基础．

5．已知实数满足约束条件，则的最大值为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【解析】作出可行域，作直线，平移直线可得最优解．

【详解】

作出可行域，如图内部（含边界），作直线，平移直线，当直线过点时，为最大值．

故选C．

【点睛】

本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域．

6．已知点G为的重心，若，，则=（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由重心分中线为，可得，又（其中是中点），再由向量的加减法运算可得．

【详解】

设是中点，则，又为的重心，∴．

故选B．

【点睛】

本题考查向量的线性运算，解题关键是掌握三角形重心的性质，即重心分中线为两段．

7．己知关于的不等式解集为，则突数的取值范围为（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】利用绝对值的几何意义求解，即表示数轴上与和－2的距离之和，其最小值为．

【详解】

∵，∴由解集为，得，解得．

故选C．

【点睛】

本题考查绝对值不等式，考查绝对值的性质，解题时可按绝对值定义去绝对值符号后再求解，也可应用绝对值的几何意义求解．不等式解集为，可转化为的最小值不小于1，这是解题关键．

8．己知数列和的通项公式分別内，，若，则数列中最小项的值为（）

A．B．24C．6D．7

【答案】D

【解析】根据两个数列的单调性，可确定数列，也就确定了其中的最小项．

【详解】

由已知数列是递增数列，数列是递减数列，且计算后知，又，∴数列中最小项的值是7．

故选D．

【点睛】

本题考查数列的单调性，数列的最值．解题时依据题意确定大小即可．本题难度一般．

9．若实数满足，则的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】利用基本不等式得，然后解不等式可得，同时注意．

【详解】

∵，∴（时取等号），，∴，又，∴，

∴．

故选A．

【点睛】

本题考查基本不等式求最值问题，解题关键是掌握基本不等式的变形应用：

．

10．若三角形三边的长度为连续的三个自然数，则称这样的三角形为“连续整边三角形”。

下列说法正确的是（）

A．“连续整边三角形”只能是锐角三角形

B．“连续整边三角形”不可能是钝角三角形

C．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形有且仅有1个

D．若“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍，则这样的三角形可能有2个

【答案】C

【解析】举例三边长分别是的三角形是钝角三角形，否定A，B，通过计算求出最大角是最小角的二倍的三角形，从而可确定C、D中哪个正确哪个错误．

【详解】

三边长分别是的三角形,最大角为，则，是钝角　，三角形是钝角三角形，A，B都错，

如图中，，，是的平分线，则，∴，，∴，

，

又由是的平分线，得，∴，解得，

∴“连续整边三角形”中最大角是最小角的2倍的三角形只有一个，边长分别为4，5，6，C正确，D错误．

故选D．

【点睛】

本题考查余弦定理，考查命题的真假判断，数学上要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可，而要说明它是真命题，则要进行证明．

二、填空题

11．己知等差数列满足：

，，则公差=______；=_______.

【答案】14

【解析】由等差数列的通项公式进行计算．

【详解】

∵，∴，，∴，，∴．

故答案为1；4．

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．

12．已知向量=（，4），=（l，2）.若向量与共线，则=_____；若⊥，则=____.

【答案】2-8

【解析】根据向量共线的坐标运算和向量垂直的坐标运算直接计算即可．

【详解】

若与共线，则，即；

若与共线，则，即．

故答案为2；．

【点睛】

本题考查向量平行和垂直的坐标运算，属于基础题，解题时要注意两者的区别．

13．已知数列满足：

，.设为数列的前n项和，则=____；=_____.

【答案】35047

【解析】直接代入值计算出．再计算出后，发现数列是周期数列，周期为2．由此易求得和．

【详解】

由题意，又，∴数列是周期数列，周期为2．

∴．

故答案为3；5047．

【点睛】

本题考查数列的递推式，考查周期数列．属于基础题．

14．已知突数，则_____，_____（用>，<填空）.

【答案】<<

【解析】用作差法比较大小．

【详解】

∵，∴，∴，∴．

，∴．

故答案为＜；＜．

【点睛】

本题考查实数的大小比较，解题方法一般是作差法．对于两个正数也可用作商法比较大小．

15．己知中，角所対的辻分別是.若，=，，则=______.

【答案】5

【解析】应用余弦定理得出，再结合已知等式配出即可．

【详解】

∵，即，

∴，①

又由余弦定理得，②，

②－①得，∴，

∴．

故答案为5．

【点睛】

本题考查余弦定理，掌握余弦定理是解题关键，解题时不需要求出的值，而是用整体配凑的方法得出配凑出，这样可减少计算．

16．已知等比数列的公比为，关于的不等式有下列说法：

①当吋，不等式的解集

②当吋，不等式的解集为

③当>0吋，存在公比，使得不等式解集为

④存在公比，使得不等式解集为R.

上述说法正确的序号是_______.

【答案】③

【解析】利用等比数列的通项公式，解不等式后可得结论．

【详解】

由题意，

不等式变为，即，

若，则，

当或时解为，当或时，解为，

时，解为；

若，则，

当或时解为，当或时，解为，

时，不等式无解．

对照A、B、C、D，只有C正确．

故选C．

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式，考查解一元二次不等式，难点是解一元二次不等式，注意分类讨论，本题中需对二次项系数分正负，然后以要对两根分大小，另外还有一个是相应的一元二次方程是否有实数解分类（本题已经有两解，不需要这个分类）．

17．已知平面向量，，满足：

，且，则的最小值为____.

【答案】-2

【解析】，，，

由经过向量运算得，知点在以为圆心，2为半径的圆上，这样，只要最小，就可化简．

【详解】

如图，，则，设是中点，则，

∵，

∴，即，

，记，则点在以为圆心，2为半径的圆上，记，

，注意到，因此当与反向时，最小，

∴．

∴最小值为-2．

故答案为-2．

【点睛】

本题考查平面向量的数量积，解题关键是由已知得出点轨迹（让表示的有向线段的起点都是原点）是圆，然后分析出只有最小时，才可能最小．从而得到解题方法．

三、解答题

18．已知不等式的解集为.

（Ⅰ）若，求集合；

（Ⅱ）若集合是集合的子集，求实数a的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（I）结合二次函数图象直接得出一元二次不等式的解集；

（II）结合已知集合的包含关系得出，从而可写出集合，再由包含关系得出的最终取值范围．

【详解】

（Ⅰ）当时，由，

得

解得

所以

（Ⅱ）因为

可得，

又因为集合是集合的子集，

所以可得，（当时不符合题意，舍去）

所以

综上所述.

【点睛】

本题考查集合的包含关系，考查一元二次不等式的求解，在解含参数的一元二次不等式时，注意分类讨论．

19．已知向量，满足：

=4，=3，

（Ⅰ）求·的值；

（Ⅱ）求的值.

【答案】（Ⅰ）=2（Ⅱ）

【解析】（I）计算，结合两向量的模可得；

（II）利用，把求模转化为向量的数量积运算．

【详解】

解：

（Ⅰ）由题意得

即

又因为

所以

解得=2.

（Ⅱ）因为，

所以=16+36-4×2=44.

又因为

所以.

【点睛】

本题考查平面向量的数量积，解题关键是掌握性质：

，即模数量积的转化．

20．已知各项均为正数的等比数列满足：

，且，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（I）由得出，可得公比为2，再求出后可得；

（II）由（I）得，则，可用错位相减法求．

【详解】

解：

（Ⅰ）因为

所以

即.

由因为

所以，公比

所以

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以.

所以

因为

所以

所以

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式，考查错位相减法求和．数列求和根据数列的通项公式可采取不同的方法，一般有公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等．

21．已知中，角的对边分别为.已知，.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）设点满足，求线段长度的取值范围.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（I）利用数量积的定义和三角形面积公式可求得，从而得角；

（II）由得，平方后可求得，即中线长，结合可得最小值，从而得取值范围．

【详解】

（Ⅰ）因为，所以

因为，所以得以

两式相除得

所以

（Ⅱ）因为，所以

因为，

所以

所以

所以．

当且仅当时取得等号

所以线段长度的取值范围时.

【点睛】

本题考查平面向量的数量积，考查平面向量的线性运算、三角形面积公式，解题关键是把中线向量表示为，这样把线段长度（向量模）转化为向量的数量积．

22．已知数列满足，.

（Ⅰ）求，的值，并证明：

0<≤1；

（Ⅱ）证明：

；

（Ⅲ）证明：

.

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明

【解析】（I）直接代入计算得，利用得从而可证结论；

（II）证明，即可；

（III）由（II）可得，即，，应用累加法可得，从而证得结论．

【详解】

解：

（Ⅰ）由已知得，.

因为

所以.

所以

又因为

所以与同号.

又因为＞0

所以.

（Ⅱ）因为

又因为，所以.

同理

又因为，所以

综上，

（Ⅲ）证明：

由（Ⅱ）可得

所以，即

所以，，...，

累加可得

所以

由（Ⅱ）可得

所以，即

所以，，...，

累加可得

所以

即

综上所述.

【点睛】

本题考查数列递推公式，考查数列中的不等式证明．第（I）问题关键是证明数列是递减数列，第（II）问题是用作差法证明，第（III）问题是在第（II）问基础上用累加法求和（先求）．