第5章《平面直角坐标系》常考题集0952平面直角坐标系.docx

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第5章《平面直角坐标系》常考题集0952平面直角坐标系

第5章《平面直角坐标系》常考题

填空题

1．（2006•余姚市）点P（﹣1，3）关于原点对称的点的坐标是　_________　．

2．（2005•青海）已知点A（3，n）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2），那么n的值为　_________　，点A关于原点对称的点的坐标是　_________　．

3．在直角坐标系内，点P（2，3）关于原点的对称点坐标为　_________　．

4．已知a＞0，那么点P（﹣a2﹣1，a+3）关于原点的对称点Q在第　_________　象限．

5．点P（3，﹣2）关于原点中心对称的点的坐标是　_________　．

6．（2001•上海）点A（1，3）关于原点的对称点坐标是　_________　．

解答题

7．如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3．

（1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是　_________　，B4的坐标是　_________　；

（2）若按第

（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是　_________　，Bn的坐标是　_________　．

8．（2005•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0）．

（1）画出等腰三角形ABC（画一个即可）；

（2）写出

（1）中画出的三角形ABC的顶点C的坐标．

19．如图：

在直角坐标系中，第一次将△AOB变换成△OA1B1，第二次将三角形变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2，变换成△OA3B3，已知A（1，3），A1（3，3），A2（5，3），A3（7，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．

（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是　_________　，B4的坐标是　_________　．

（2）若按

（1）找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测An的坐标是　_________　，Bn的坐标是　_________　．

10．（2010•宣武区一模）请在所给网格中按下列要求操作：

（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0）；

（2）在x轴上画点C，使△ABC为等腰三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．

11．附加题：

请自己动手，建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点的位置：

A（﹣4，4），B（﹣2，2），C（3，﹣3），D（5，﹣5），E（﹣3，3），F（0，0）

你发现这些点有什么位置关系？

你能再找出类似的点吗？

（再写出三点即可）

12．在平面直角坐标系中，顺次连接（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣2），（2，3）各点，你会得到一个什么图形？

试求出该图形的面积．

13．如图所示是某台阶的一部分，如果点A的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1），

（1）请建立适当的直角坐标系，并写出C，D，E，F的坐标；

（2）说明B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标比较有什么变化？

（3）如果该台阶有10级，你能得到该台阶的高度吗？

14．在平面直角坐标系内，已知点（1﹣2a，a﹣2）在第三象限的角平分线上，求a的值及点的坐标．

15．如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，0）、B（9，0）、C（7，5）、D（2，7）．求四边形ABCD的面积．

16．在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是A（5，0）、B（0，3）、C（5，3），O为坐标原点，点E在线段BC上，若△AEO为等腰三角形，求点E的坐标．（画出图象，不需要写计算过程）

17．如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB=3．

（1）求点B的坐标，并画出△ABC；

（2）求△ABC的面积．

18．已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），求△ABO的面积．

19．写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标并回答：

（1）点B、E的位置有什么特点；

（2）从点B与点E，点C与点D的位置看，它们的坐标有什么特点？

20．在平面直角坐标系中，已知点A（2a﹣b，﹣8）与点B（﹣2，a+3b）关于原点对称，求a、b的值．

第5章《平面直角坐标系》常考题集（09）：

5.2平面直角坐标系

参考答案与试题解析

　填空题

181．（2006•余姚市）点P（﹣1，3）关于原点对称的点的坐标是　（1，﹣3）　．

考点：

关于原点对称的点的坐标．4435607

分析：

关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数．

182．（2005•青海）已知点A（3，n）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2），那么n的值为　2　，点A关于原点对称的点的坐标是　（﹣3，﹣2）　．

考点：

关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．4435607

分析：

平面直角坐标系中任意一点P（x，y），分别关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．

183．在直角坐标系内，点P（2，3）关于原点的对称点坐标为　（﹣2，﹣3）　．

184．已知a＞0，那么点P（﹣a2﹣1，a+3）关于原点的对称点Q在第　四　象限．

185．点P（3，﹣2）关于原点中心对称的点的坐标是　（﹣3，2）　．

186．（2001•上海）点A（1，3）关于原点的对称点坐标是　（﹣1，﹣3）　．

点评：

解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

解答题

187．如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3．

（1）观察每次变换前后的三角形的变化规律，若将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是　（16，3）　，B4的坐标是　（32，0）　；

（2）若按第

（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测An的坐标是　（2n，3）　，Bn的坐标是　（2n+1，0）　．

考点：

规律型：

图形的变化类；点的坐标．4435607

专题：

规律型．

分析：

根据图形写出点A系列的坐标与点B系列的坐标，根据具体数值找到规律即可．

解答：

解：

（1）因为A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）…纵坐标不变为3，横坐标都和2有关，为2n，那么A4（16，3）；

因为B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）…纵坐标不变，为0，横坐标都和2有关为2n+1，那么B的坐标为B4（32，0）；

（2）由上题规律可知An的纵坐标总为3，横坐标为2n，Bn的纵坐标总为0，横坐标为2n+1．

点评：

依次观察各点的横纵坐标，得到规律是解决本题的关键．

188．（2005•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0）．

（1）画出等腰三角形ABC（画一个即可）；

（2）写出

（1）中画出的三角形ABC的顶点C的坐标．

考点：

坐标与图形性质；等腰三角形的性质．4435607

分析：

（1）由题意可得，AB的中垂线是y轴，则在y轴上任取一点即可；

（2）根据所画情况而定，如（0，3）

解答：

解：

（1）如图；

（2）C（0，3）或（0，5）都可以（答案不唯一）．

点评：

本题综合考查了图形的性质和坐标的性质及等腰三角形的性质；发现并利用AB的中垂线是y轴是正确解答本题的关键．

189．如图：

在直角坐标系中，第一次将△AOB变换成△OA1B1，第二次将三角形变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2，变换成△OA3B3，已知A（1，3），A1（3，3），A2（5，3），A3（7，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．

（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是　（9，3）　，B4的坐标是　（32，0）　．

（2）若按

（1）找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测An的坐标是　（2n+1，3）　，Bn的坐标是　（2n+1，0）　．

考点：

坐标与图形性质．4435607

专题：

规律型．

分析：

对于A1，A2，An坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现An的横坐标为2n+1，而纵坐标都是3，同理B1，B2，Bn也一样找规律．

解答：

解：

（1）已知A（1，3），A1（3，3），A2（5，3），A3（7，3）；

对于A1，A2，An坐标找规律比较从而发现An的横坐标为2n+1，而纵坐标都是3；

同理B1，B2，Bn也一样找规律，规律为Bn的横坐标为2n+1，纵坐标为0．

由上规律可知：

（1）A4的坐标是（9，3），B4的坐标是（32，0）；

（2）An的坐标是（2n+1，3），Bn的坐标是（2n+1，0）

点评：

本题是观察坐标规律的问题，需要分别从横坐标，纵坐标两方面观察规律，写出答案．

190．（2010•宣武区一模）请在所给网格中按下列要求操作：

（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0）；

（2）在x轴上画点C，使△ABC为等腰三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．

考点：

坐标与图形性质；等腰三角形的性质．4435607

专题：

网格型．

分析：

（1）根据A点坐标为（0，2），B点坐标为（﹣2，0），则点A所在的纵线一定是y轴，B所在的横线一定是x轴．

（2）分AB时底边或腰两种情况进行讨论．

解答：

解：

（1）在网格中建立平面直角坐标系如图所示：

（2）满足条件的点有4个：

C1：

（2，0）；C2：

（

，0）；C3：

（0，0）；C4：

（

，0）．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

191．附加题：

请自己动手，建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点的位置：

A（﹣4，4），B（﹣2，2），C（3，﹣3），D（5，﹣5），E（﹣3，3），F（0，0）

你发现这些点有什么位置关系？

你能再找出类似的点吗？

（再写出三点即可）

考点：

坐标与图形性质．4435607

分析：

本题可根据“横纵坐标互为相反数，那么这些点在一条直线上”来解题．

解答：

解：

由上图所示，这些点在同一直线上，在二四象限的角平分线上．类似的点还有如：

（1，﹣1）、（﹣1，1）、（2，﹣2）等．

点评：

用的知识点为：

二四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．

192．在平面直角坐标系中，顺次连接（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣2），（2，3）各点，你会得到一个什么图形？

试求出该图形的面积．

考点：

坐标与图形性质．4435607

分析：

本题需要根据点的坐标特点，分别描点、顺次连线，再观察整个图形的形状．

由于点（﹣2，1），（﹣2，﹣1）和点（2，﹣2），（2，3）的横坐标分别相同两点的连线都垂直于x轴，故图形是梯形，再根据梯形面积公式求面积．

解答：

解：

如图依次连接可得：

图形是梯形，面积为：

×（2+5）×4=14．

点评：

本题主要是对点的坐标的表示及正确描点、连线等知识的直接考查．同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高．

193．如图所示是某台阶的一部分，如果点A的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1），

（1）请建立适当的直角坐标系，并写出C，D，E，F的坐标；

（2）说明B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标比较有什么变化？

（3）如果该台阶有10级，你能得到该台阶的高度吗？

考点：

坐标与图形性质．4435607

分析：

从A（0，0）到B（1，1）可以看出，每一级台阶的横坐标、纵坐标都比前一个依次增加1，由此即可得解．

解答：

解：

（1）以A点为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．

所以C，D，E，F各点的坐标分别为C（2，2），D（3，3），E（4，4），F（5，5）．

（2）B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标相比较，

横坐标与纵坐标分别加1，2，3，4，5；

（3）每级台阶高为1，宽也为1，

所以10级台阶的高度是10，长度为11．

点评：

本题也可以用坐标平移的观点来解，即向右平移1个单位，再向上平移1个单位，依此类推．

194．在平面直角坐标系内，已知点（1﹣2a，a﹣2）在第三象限的角平分线上，求a的值及点的坐标．

考点：

坐标与图形性质．4435607

分析：

根据第三象限角平分线上点的特点解答即可．

解答：

解：

∵点（1﹣2a，a﹣2）在第三象限的角平分线上，

∴1﹣2a=a﹣2，解得a=1，

故此点坐标为（﹣1，﹣1）．

点评：

本题主要考查第三象限角平分线上点的特点：

点的横纵坐标相等．

195．如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，0）、B（9，0）、C（7，5）、D（2，7）．求四边形ABCD的面积．

考点：

坐标与图形性质．4435607

分析：

本题应利用分割法，把四边形分割成两个三角形加上一个梯形后再求面积．

解答：

解：

过D，C分别作DE，CF垂直于AB，E、F分别为垂足，则有：

S=S△OED+SEFCD+S△CFB=

×AE×DE+

×（CF+DE）×EF+

×FC×FB．

=

×2×7+

×（7+5）×5+

×2×5=42．

故四边形ABCD的面积为42平方单位．

点评：

主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要掌握两点间的距离公式和图形有机结合起来的解题方法．

196．在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是A（5，0）、B（0，3）、C（5，3），O为坐标原点，点E在线段BC上，若△AEO为等腰三角形，求点E的坐标．（画出图象，不需要写计算过程）

考点：

坐标与图形性质；等腰三角形的性质．4435607

专题：

作图题．

分析：

要根据题意描点画图，设计等腰三角形时，可以按A，O，E都有可能作为等腰三角形的顶点，分类画图，根据勾股定理计算点的坐标，注意点E在线段BC上这个限制条件．

解答：

解：

图形如下：

（1）若等腰△AEO以A为顶角所在的顶点，则E（1，3）；

（2）若等腰△AEO以E为顶角所在的顶点，则E（2.5，3）；

（3）若等腰△AEO以O为顶角所在的顶点，则E（4，3）．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形的性质；在设计等腰三角形时，用到了分类思想，每次分类的标准只能有一个，或者按边，或者按角，本题是按顶角来分类的．

197．如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB=3．

（1）求点B的坐标，并画出△ABC；

（2）求△ABC的面积．

考点：

三角形的面积；坐标与图形性质．4435607

分析：

（1）由于点B在x轴上，所以纵坐标为0，又AB=3，所以B的坐标就可以确定了，根据坐标也就画出了图形；

（2）根据已知条件可以得到AB边上的高为4，然后利用三角形的面积公式就可以求出△ABC的面积．

解答：

解：

（1）∵点B在x轴上，∴纵坐标为0，又AB=3，∴B（2，0）或（﹣4，0）；

（2）S△ABC=

=6．

点评：

此题主要考查了利用坐标求线段长，然后求三角形的面积．

198．已知坐标平面内的三个点A（1，3），B（3，1），O（0，0），求△ABO的面积．

考点：

三角形的面积；坐标与图形性质．4435607

分析：

过A，B分别作y轴，x轴的垂线，则三角形ABC的面积可以转化为梯形和三角形的面积的和差的问题解决．

解答：

解：

如图所示，

过A，B分别作y轴，x轴的垂线，垂足为C，E，两线交于点D，

则C（0，3），D（3，3），E（3，0）．

又因为O（0，0），A（1，3），B（3，1），

所以OC=3，AC=1，OE=3，BE=1，

AD=DC﹣AC=3﹣1=2，

BD=DE﹣BE=3﹣1=2，

则四边形OCDE的面积为3×3=9，

△ACO和△BEO的面积都为

×3×1=

，

△ABD的面积为

×2×2=2，

所以△ABO的面积为9﹣2×

﹣2=4．

点评：

一些不规则图形可以转化为一些以求面积的图形的和或差来计算．

199．如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）

（1）求B点坐标；

（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求∠AOD的度数；

（3）过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式

=1是否成立？

若成立，请证明：

若不成立，说明理由．

考点：

全等三角形的判定；坐标与图形性质；等腰三角形的性质．4435607

专题：

计算题；探究型．

分析：

（1）因为△AOB为等腰直角三角形，A（4，4），作AE⊥OB于E，则B点坐标可求；

（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，求证△DFC≌△CEA，再根据等量变换，证明△AOB为等腰直角三角形，则∠AOD的度数可求；

（3）等式成立．在AM上截取AN=OF，连EN，易证△EAN≌△EOF，再根据角与角之间的关系，证明△NEM≌△FEM，则有AM﹣MF=OF，即可求证等式成立．

解答：

解：

（1）作AE⊥OB于E，

∵A（4，4），

∴OE=4，

∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥OB，

∴OE=EB=4，

∴OB=8，

∴B（8，0）；

（2）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，

∵△ACD为等腰直角三角形，

∴AC=DC，∠ACD=90°

即∠ACF+∠DCF=90°，

∵∠FDC+∠DCF=90°，

∴∠ACF=∠FDC，

在△DFC和△CEA中，

∴△DFC≌△CEA，

∴EC=DF，FC=AE，

∵A（4，4），

∴AE=OE=4，

∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，

∴OF=CE，

∴OF=DF，

∴∠DOF=45°，

∵△AOB为等腰直角三角形，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°；

方法一：

过C作CK⊥x轴交OA的延长线于K，

则△OCK为等腰直角三角形，OC=CK，∠K=45°，

又∵△ACD为等腰Rt△，

∴∠ACK=90°﹣∠OCA=∠DCO，AC=DC，

∴△ACK≌△DCO（SAS），

∴∠DOC=∠K=45°，

∴∠AOD=∠AOB+∠DOC=90°；

（3）

成立，理由如下：

在AM上截取AN=OF，连EN．

∵A（4，4），

∴AE=OE=4，

又∵∠EAN=∠EOF=90°，AN=OF，

∴△EAN≌△EOF（SAS），

∴∠OEF=∠AEN，EF=EN，

又∵△EGH为等腰直角三角形，

∴∠GEH=45°，即∠OEF+∠OEM=45°，

∴∠AEN+∠OEM=45°

又∵∠AEO=90°，

∴∠NEM=45°=∠FEM，

又∵EM=EM，

∴△NEM≌△FEM（SAS），

∴MN=MF，

∴AM﹣MF=AM﹣MN=AN，

∴AM﹣MF=OF，

即

；

方法二：

在x轴的负半轴上截取ON=AM，连EN，MN，

则△EAM≌△EON（SAS），EN=EM，∠NEO=∠MEA，

即∠NEF+∠FEO=∠MEA，而∠MEA+∠MEO=90°，

∴∠NEF+∠FEO+∠MEO=90°，而∠FEO+∠MEO=45°，

∴∠NEF=45°=∠MEF，∴△NEF≌△MEF（SAS），∴NF=MF，

∴AM=OF=OF+NF=OF+MF，即

．

注：

本题第（3）问的原型：

已知正方形AEOP，∠GEH=45°，

将∠GEH的顶点E与正方形的顶点E重合，∠GEH的两边分别

交PO、AP的延长线于F、M，求证：

AM=MF+OF．

点评：

此题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质结合求解，综合性强，难度较大．考查学生综合运用数学知识的能力．

200．写出如图中“小鱼”上所标各点的坐标并回答：

（1）点B、E的位置有什么特点；

（2）从点B与点E，点C与点D的位置看，它们的坐标有什么特点？

考点：

关于x轴、y轴对称的点的坐标．4435607

专题：

几何图形问题．

分析：

根据图象可直观看出点B和点E在y轴上，且到x轴的距离都是2个单位长度所以它们关于x轴对称；点C与点D也是关于x轴对称，所以它们的横坐标相同纵坐标互为相反数．

解答：

解：

（1）点B（0，﹣2）和点E（0，2）关于x轴对称；

（2）点B（0，﹣2）与点E（0，2），点C（2，﹣1）与点D（2，1），它们的横坐标相同纵坐标互为相反数．

点评：

主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

201．在平面直角坐标系中，已知点A（2a﹣b，﹣8）与点B（﹣2，a+3b）关于原点对称，求a、b的值．

解答：

解：

根据题意，得

，

解得

．

点评：

这一类题目是需要识记的基础题．解决的关键是对知识点的正确记忆．

这类题目一般可以转化为方程或方程组的问题，能够熟练运用消元法解方程组．