《一元一次不等式》教案2鲁教版七年级下.docx
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《一元一次不等式》教案2鲁教版七年级下
第8章一元一次不等式
8.1认识不等式
问题1
世纪公园的票价是:
每人5元;一次购票满30张,每张可少收1元。
某班有27名少先队员去世纪公园进行活动。
当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时,爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华,提议买30张票。
但有的同学不明白,明明我们只有27个人,买30张票,岂不是“浪费”吗?
那么,究竟李敏的提议对不对呢?
是不是真的“浪费”呢?
我们不妨一起来算一算:
买27张票,要付款
5×27=135(元)
买30张票,要付款
4×30=120(元)
显然120<135
这就是说,买30张票比买27张票付款要少,表面上看是“浪费”了3张票,而实际上反而节省了。
当然,如果去世纪公园的人数较少(例如10个人),显然不值得去买30张票,还是按实际人数买票为好。
现在的问题是:
至少要有多少人去世纪公园,多买票反而合算呢?
探索
我们一起来分析上面提出的问题。
设有x人要进世纪公园,如果x≧30,显然按实际人数买票,每张票只要付4元。
如果x<30,那么:
按实际人数买票x张,要付款5x(元)
买30张票,要付款4×30=120(元)
如果买30张票合算,那么应有
120<5x
现在的问题就是:
x取哪些数值时,上式成立?
前面已经算过,当x=27时,上式成立。
让我们再取一些值试一试,将结果填入下表。
x
5x
比较120与5x的大小
120<5x
21
105
120>5x
不成立
22
23
24
25
26
27
135
120<5x
成立
…
…
…
…
由上表可见,当x=___________时,不等式120<5x成立。
也就是说,少于30人时,至少要有_____人进公园时,买30张票反而合算。
概括
像上面出现的120<135,x<30,120<5x那样用不等号“<”或“>”表示不等关系的式子,叫做不等式(inequality)。
不等式120<5x中含有未知数x。
能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解(solutionofinequality)。
如上例中,x=25,26,27,…都是不等式120<5x的解,而x=24,23,22,21则不是它的解。
例用不等式表示:
(1)x的一半小于-1
(2)y与4的和大于0.5
(3)a是负数;(4)b是非负数;
解
(1)x<-1
(2)y+4>0.5
(3)a<0
(4)b是非负数,就是b不是负数,它可以是正数或零,即b>0或b=0,通常可表示成b≥0。
练习
1.用不等式表示:
(1)x的3倍大于5;
(2)y与2的差小于-1。
(3)x的2倍大于x;(4)y的与3的差是负数。
(5)a是正数;(6)b不是正数;
2.用“<”或“>”号填空:
(1)7+3________4+3;
(2)7+(-1)______4+(-1);
(3)7×3________4×3;(4)7×(-3)______4×(-3)。
3.下列各数中,哪些是不等式x+2>5的解?
哪些不是?
-3,-2,-1,0,1.5,2.5,3,3.5,5,7。
习题8.1
1.比较下列各数的大小,用“<”或“>”填空:
(1)-3______-2;
(2)-1______0;
(3)3______-4;(4)-5______-6;
(5)______;(6)-______-。
2.用不等式表示:
(1)x的与3的差大于2;
(2)2x与1的和小于零;
(3)a的2倍与4的差是正数;(4)b的与c的和是负数;
(5)a与b的差是非负数;(6)x的绝对值与1的和不小于1。
3.向阳小队10人到学校图书馆参加装订杂志的劳动,开始两天,每人每天完成5本杂志。
问以后3天,每人每天必须完成几本杂志,才能超额完成300本杂志的装订任务?
试列出不等式,找出符合题意的一些解。
8.2解一元一次不等式
1.不等式的解集
回忆
在上一节练习第3题中,我们发现,-3、-2、-1、0、1.5、2.5、3都不是不等式x+2>5的解。
由此可以看出,不等式x+2>5有许多个解。
进而看出,大于3的每一个数都是不等式x+2>5的解,而不大于3的每一个数都不是不等式x+2>5的解。
由此可见,不等式x+2>5的解有无限多个,它们组成一个集合,称为不等式x+2>5的解集。
概括
一个不等式的所有解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集(solutionset)。
研究不等式的一个重要任务,就是求出不等式的解集。
求不等式的解集的过程,叫做解不等式(solvinginequality)。
不等式x+2>5的解集,可以表示成x>3,它也可以在数轴上直观地表示出来,如图8.2.1所示。
同样,如果某个不等式的解集为x≤-2,也可以在数轴上直观地表示出来,如图8.2.2所示。
练习
1.根据“当x为任何正数时,都能使不等式x+3>2成立”,能不能说“不等式x+3>2的解集是x>0”?
为什么?
2.两个不等式的解集分别为x<2和x≤2,它们有什么不同?
在数轴上怎样表示它们的区别?
3.两个不等式的解集分别为x<1和x≥1,分别在数轴上将它们表示出来。
2.不等式的简单变形
回顾与探索
在解一元一次方程时,我们主要是对方程进行变形。
在研究解不等式时,我们同样应先探究不等式的变形规律。
如图8.2.3所示,一个倾斜的天平两边分别放有重物,其质量分别为a和b(显然a>b),如果在两边盘内分别加上等量的砝码c,那么盘子仍然像原来那样倾斜(即a+c>b+c)。
概括
不等式的性质1如果a>b,那么
a+c>b+c,a-c>b-c
这就是说,不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等式的方向不变。
思考
不等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数,不等号的方向是否也不变呢?
试一试
将不等式7>4两边都乘以同一个数,比较所得的数的大小,用“<”或“>”填空:
7×3_______4×3,
7×2_______4×2,
7×1_______4×1,
7×0_______4×0,
7×(-1)_______4×(-1),
7×(-2)_______4×(-2),
7×(-3)_______4×(-3),
………………………………………………
从中你能发现什么?
概括
不等式的性质2如果a>b,并且c>0,那么ac>bc。
不等式的性质3如果a>b,并且c<0,那么ac这就是说,不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
与解方程一样,解不等式的过程,就是要将不等式变形成x>a或x例1解不等式:
(1)x-7<8
(2)3x<2x-3
解
(1)不等式的两边都加上7,不等式的方向不变,所以
x-7+7<8+7,
得x<15
(2)不等式的两边都减去2x(即加上-2x),不等号的方向不变,所以
3x-2x<2x-3-2x
得x<-3
这里的变形,与方程变形中的移项相类似,你能说出不等式变形的“移项”该怎么进行吗?
例2解不等式:
(1)x>-3;
(2)-2x<6。
解
(1)不等式的两边都乘以2,不等号的方向不变,所以
x×2>(-3)×2,
得x>-6。
(2)不等式的两边都除以-2(即乘以-),不等式的方向改变,所以
-2x×(-)>6×(-),
得x>-3。
这里的变形,与方程变形中的“将未知数的系数化为1”相类似,它依据的是不等式的性质2或3,要注意不等式两边乘以(或除以)的数是正数还是负数,确定变形时不等号的方向是否需要改变。
练习
解下列不等式,并在数轴上表示出来:
1.X-2>02.X+1>0
3.-2x<44.3x≤0
3.解一元一次不等式
前面遇到的不等式有一个共同的特点:
它们都只含有一个未知数,且含未知
数的式子是整式,未知数的次数是1。
像这样的不等式叫做一元一次不等式(linearinequalitywithoneunknown)。
我们再来解一些一元一次不等式。
例3解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来:
(1)2x-1<4x+13;
(2)2(5x+3)≤x-3(1-2x).
解
(1)2x-1<4x+13,
2x-4x<13+1,
-2x<14,
x>-7.
它在数轴上的表示如图8.2.4.
(2)2(5x+3)≤x-3(1-2x),
10x+6≤x-3+6x,
3x≤-9,
x≤-3.
它在数轴上的表示如图8.2.5
例4当x取何值时,代数式与与的值的差大于1?
解根据题意,得->1,
2(x+4)-3(3x-1)>6,
2x+8-9x+3>6,
-7x+11>6,
-7x>-5,
得x<
所以,当x取小于的任何数时,代数式与与的值的差大于1。
讨论
试从例4的解答中总结一下解一元一次不等式的步骤,与你的同伴讨论和交流。
练习
1.解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:
(1)2x+1>3;
(2)2-x<1;
(3)2(x+1)<3x;(4)3(x+2)≥4(x-1)+7.
2.解不等式:
>
3.一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3,在前两天一共完成了120m3,由于整个工程调整工期,要求提前两天完成挖土任务。
问以后几天内,平均每天至少要挖土多少m3?
问题2
在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题,对于每一道题,答对得10分,答错或不答扣5分,总得分不少于80分者通过预选赛。
育才中学25名学生通过了预选赛,它们分别可能答对了多少道题?
实践与探索
试解决这个问题(不限定方法)。
你是用什么方法解决的?
有没有其他方法?
与你的同伴讨论和交流一下。
如果你是利用不等式的知识解决这个问题的,在得到不等式的解集以后,如何给出原问题的答案?
应该如何表述?
练习
1.求下列不等式的正整数解:
(1)-4x≥-12;
(2)3x-11<0.
2.学校图书馆搬迁,有15万册图书,原准备每天在一个班级的劳动课上,安排一个小组同学帮助搬运图书,两天共搬了1.8万册。
如果要求在一周内搬完,设每个小组搬运图书数相同,则在以后五天内,每天至少安排几个小组搬书?
习题8.2
1.解不等式:
(1)x-5<0
(2)3x≥2x-6
(3)2x<-3(4)-2x>
2.写出下图所表示的不等式的解集
3.解下列不等式,并把它们的解集在数轴上表示出来。
(1)3x≥-3;
(2)-3x+3<0
(3)2x+2≤3x+3(4)5x-1>8x+3
4.a取什么值时,代数式4a+2的值:
(1)大于1?
(2)等于1?
(3)小于1?
5.解下列不等式:
(1)+1>x;
(2)3(x+2)<4(x-1)+7;
(3)(x-3)<-2x;(4)->-2.
6.求不等式1-2x<6的负整数解。
7.某高速公路工地需要实施爆破,操作人员点燃导火线后,要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域。
已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒,人跑步的速度是5