中考数学一轮复习第三章函数第5节二次函数的综合应用练.docx
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中考数学一轮复习第三章函数第5节二次函数的综合应用练
第5节 二次函数的综合应用
课时1 与线段、周长有关的问题
（建议答题时间：
40分钟）
1.（2017滨州）如图，直线y＝kx＋b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（－4，0）、B（0，3），抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C.
（1）求直线y＝kx＋b的函数解析式；
（2）若点P（x，y）是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；
（3）若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．
第1题图
2.（2017宁波）如图，抛物线y＝x2＋x＋c与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B，连接AB，点C（6，）在抛物线上，直线AC与y轴交于点D.
（1）求c的值及直线AC的函数表达式；
（2）点P在x轴正半轴上，点Q在y轴正半轴上，连接PQ与直线AC交于点M，连接MO并延长交AB于点N，若M为PQ的中点．
①求证：
△APM∽△AON；
②设点M的横坐标为m，求AN的长．（用含m的代数式表示）
第2题图
3.（2017东营）如图，直线y＝－x＋分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°，抛物线y＝ax2＋bx＋经过A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．
第3题图
4.（2017武汉）已知点A（－1，1），B（4，6）在抛物线y＝ax2＋bx上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，点F的坐标为（0，m）（m>2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H，设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH，AE，求证：
FH∥AE；
（3）如图②，直线AB分别交x轴，y轴于C，D两点，点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度，同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．
第4题图
课时2 与面积有关的问题
（建议答题时间：
40分钟）
1.（2017深圳）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A（－1，0），B（4，0），交y轴于点C.
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；
（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC，若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°得到BE，与抛物线交于另一点E，求BE的长．
第1题图
2.（2017盐城）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点．
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？
若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
3.（2017海南）抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A（1，0）和点B（5，0）．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）该抛物线与直线y＝x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.
①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？
若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？
若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
第3题图
4.（2017重庆南开一模）已知抛物线y＝－x2＋x＋4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC、BC.
（1）求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式；
（2）如图①，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动，过点P作y轴的平行线交线段BC于点M，交抛物线于点N，过点N作NK⊥BC交BC于点K，当△MNK与△MPB的面积比为1∶2时，求动点P的运动时间t的值；
（3）如图②，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动，同时另一个动点Q从点A出发沿AC以相同速度向终点C运动，且P、Q同时停止，分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH（正方形顶点按顺时针顺序），当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积．
第4题图
课时3 与三角形、四边形形状有关的问题
（建议答题时间：
40分钟）
1.（2017菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P在线段OC上（不与点O、C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；
（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M、C、D、N为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
第1题图
2.（2017广安）如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x＝1.
（1）求此抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形；
②当t>0时，△BOQ能否为等腰三角形？
若能，求出t值；若不能，请说明理由．
第2题图
3.（2017潍坊）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（－1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F.点P为直线l上方抛物线上一动点．设点P的横坐标为t.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t何值时，△PFE的面积最大？
并求最大值的立方根；
（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？
若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
4.（2017重庆九龙坡区模拟）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－x－与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）在抛物线第四象限上有一点，它关于x轴的对称点记为点P，点M是直线BC上的一动点，当△PBC的面积最大时，求PM＋MC的最小值；
（3）如图②，点K为抛物线的顶点，点D在抛物线对称轴上且纵坐标为，对称轴右侧的抛物线上有一动点E，过点E作EH∥CK，交对称轴于点H，延长HE至点F，使得EF＝，在平面内找一点Q，使得以点F、H、D、Q为顶点的四边形是轴对称图形，且过点Q的对角线所在的直线是对称轴，请问是否存在这样的点Q，若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由．
第4题图
课时4 二次函数的实际应用
（建议答题时间：
20分钟）
1.（2017临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：
m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：
s）之间的关系如下表：
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
下列结论：
①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t＝；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（ ）
A.1 B.2C.3D.4
2.（2017金华）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y＝a（x－4）2＋h.已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m.
（1）当a＝－时，①求h的值，②通过计算判断此球能否过网；
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．
第2题图
3.（2017扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量p（千克）
600
450
300
150
0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a值．（日获利＝日销售利润－日支出费用）
答案
课时1 与线段、周长有关的问题
1.解：
（1）∵直线y＝kx＋b经过点A（－4，0），B（0，3），
∴，解得，
∴直线的函数解析式为y＝x＋3；
（2）如解图，过点P作PM⊥AB于点M，作PN∥y轴交直线AB于点N.
第1题解图
∴∠PNM＝∠ABO，
∵∠AOB＝∠NMP＝90°，
∴△AOB∽△PMN，
∴＝，
∵OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∴PM＝PN，
∵点P是抛物线上的点，PN∥y轴，
∴P（x，－x2＋2x＋1），N（x，x＋3），
∴PN＝x＋3－（－x2＋2x＋1）＝x2－x＋2＝（x－）2＋，
PM＝d＝（x－）2＋，
∴当x＝时，PM取得最小值，此时P点坐标为（，）；
（3）∵抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C，
∴C（0，1），对称轴为直线x＝－＝1，
如解图，作点C关于对称轴的对称点G，则G点坐标为（2，1），点G到直线AB的距离即为CE＋EF的最小值，最小值为d＝×（2－）2＋＝.
2.
（1）解：
把点C（6，）代入抛物线解析式可得＝9＋＋c，
解得c＝－3，
∴y＝x2＋x－3，
当y＝0时，x2＋x－3＝0，
解得x1＝－4，x2＝3，
∴A（－4，0），
设直线AC的函数表达式为：
y＝kx＋b（k≠0），
把A（－4，0），C（6，）代入y＝kx＋b中得，解得，
∴直线AC的函数表达式为：
y＝x＋3；
（2）①证明：
由
（1）易得OA＝4，OB＝3，OD＝3，∵在Rt△AOB中，
tan∠OAB＝＝.
在Rt△AOD中，tan∠OAD＝＝.
∴∠OAB＝∠OAD，
∵在Rt△POQ中，M为PQ中点，
∴OM＝MP，
∴∠MOP＝∠MPO，
∵∠MOP＝∠AON，
∴∠APM＝∠AON，
∴△APM∽△AON；
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