中考数学压轴题冲击150分docWord格式.docx

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VZBAC=30<

>

ZDAE=105<

/.ZDAB+ZCAE=75<

/.ZCAE=ZADB,

AAADB^AEAC,

・ABBD

'

~CE~~AC

又ZDAB+ZADB=ZABC=75°

a

E0

⑵由TZDAB-ZCAE=0_a、又ZDAB+ZADB二ZABO90°

——，且函数关系

式成立，

（yrv

・・・90。

一号二0—a,整理得0—号=90。

.

3

（1）

（X|

当0一—=90°

时，两数解析式y=—成立.

2x

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

专题二：

动态几何型压轴颠

动态几何特点■■“问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；

分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：

等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、務形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

-、以动态几何为主线的压轴题

（一）点动问题.

1.（09年徐汇区）如图，\ABC中，AB=AC=IO,BC=\2，点D在边BC上，=以点D为顶点作ZEDF=ZB,分别交边于点E,交射线CA于点F.

（1）当AE=6时，求AF的长；

（2）当以点C为圆心CF长为半径的。

C和以点A为圆心AE长为半径的。

A相切时,

求BE的长；

（3）当以边AC为直径的与线段DE相切时，求BE的长.

［题型背景和区分度测量点］

本题改编H新教材九上《相似形》24.5（4）例六，典型的一线三角（三等角）问题，试题在原题的基础上改编出第一小题，当E点在AB边上运动时，渗透入圖与岡的位置关系（相切问题）的存在性的研究形成了第二小题，加入直线与圆的位置关系（相切问题）的存在性的研究形成了第三小题.区分度测量点在直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系,从而利用方程思想来求解.

［区分度性小题处理手法］

1.直线与圖的相切的存在性的处理方法：

利用d=r建立方程.

2.圆与圆的位置关系的存在性（相切问题）的处理方法：

利用d=R±

r（/?

r）建立方程.

3.解题的关键是用含X的代数式表示出相关的线段.

［略解］厂in解：

（1）证明ACDF-\EBD:

.—=——，代入数据得CF=8,aaf=2BDBE

32

（2）设be=兀,则d=AC=10,AE=10-x.利用⑴的方法CF=—,

x

相切时分外切和内切两种情况考虑：

夕卜切，10=10-%+—,x=4V2；

内切，10=10—兀，兀=10±

2J17.*.*0<

a*<

10

•••当OC和OA相切时，BE的长为4丁1或10-2717・

20

（3）当以边AC为直径的与线段DE相切时，BE=——.

类题⑴一个动点：

09杨浦25题（四月、五月）、09挣安25题、

⑵两个动点：

09闸北25题、09松江25题、09卢湾25题、09青浦25题.

（二）线动问题

⑵①心R,AO冷g,杠詁（八9）,

AE=

x2+9

4x

・・・Smef=1aE・AF=U+刃,S=3x-（X+9）

96x

-x4+270x2-81

（a/3<

x<

3a/3）

在矩形ABCD中，AB=3,点0在对角线AC上，直线/过点6且与AC垂直交AD于点E・（l）若直线/过点B,把

AABE沿百线/翻折，点A与矩形ABCD的对称中心A'

重合，求BC的长;

（2）若直线/与AB相交于点F,且AO=-AC,设AD的长为兀，五边形BCDEF4

的面积为S.①求S关于兀的函数关系式，并指出X的取值范围；

②探索：

是否存在这样的兀，以A为圆心，以%--长为半径的阿与直线/相

4

切，若存在，请求出X的值；

若不存在，请说明理由.

本题以矩形为背呆,结合轴对称、相似、三角等相关知识编制得到.第一小题考核了学生轴对称、矩形、勾股定理三小块知识内容；

当直线/沿AB边向上平移时，探求而积函数解析式为区分测量点一、加入直线与圆的位置关系（相切问题）的存在性的研究形成了区分度测量点二.

1.找面积关系的函数解析式，规则图形套用公式或用割补法，不规则图形用割补法・

2.直线与圆的相切的存在性的处理方法：

利用建立方程.

3.解题的关键是用含无的代数式表示出相关的线段.

［略解］

（1）是矩形ABCD的对称中心AA,B=AA,=—AC

2

7AB=AfB,AB=3.\AC=6BC=3屈

3［/88

②若圆A与直线1相切，则兀一一=-Jx2+9,无=0（舍去），=-v=-<

V3不存在这样的X,

44'

-5-5

使圆A与直线1相切.

［类题］09虹口25题.

（3）面动问题

如图，在AABC中，AB=AC=5,BC=6.D、E分别是边AB.AC上的两个

动点（»

不与/1、B重合），且保持DE//BC,以DE为边,在点A的异侧作正方形DEFG.

（1）试求AABC的面积；

（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；

（3）设AD=x,\ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y,试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（4）当ABDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长.

木题改编口新教材九上《相似形》24.5（4）例七典型的共角相似三角形问题,试题为了形成坡度，在原题的基础上改编出求等腰三角形面积的第一小题，当D点在AB边匕运动时，正方形DEFG整体动起来，GF边落在BC边上时，恰好和教材中的例题对应，可以说是和似三角形对应的小高比大高=对应的小边比大边，探寻正方形和三角形的重叠部分的面积与线段AD的关系的函数解析式形成了第三小题，仍然属于面积类习题来设置区分测量点一，用等腰三角形的存在性来设置区分测量点二.

图3-3

图3-4

图3-5

1.找到三角形与正方形的重叠部分是解决本题的关键，如上图3-1、3-2M叠部分分别为正方形和矩形包括两种情况.

2.正确的抓住等腰三角形的腰与底的分类，如上图3-3、3-4.3-5用方程思想解决.

3.解题的关键是用含兀的代数式表示出相关的线段.

解：

（1）S仙cT2・

⑵令此时正方形的边长为°

则沪

（3）当0Y兀52时，y

362

—X,

25

-%

525

当2YXY5时，y/显（57）24

■55

（4）

AD=1252520

73117

［类题］改编白09奉贤3月考25题，将条件

（2）“当点M、N分别在边

BA、C4上时”，去掉，同时加到第（3）题中.

己知：

£

：

.△ABC中，AB-AC,ZB—30。

，BC-6,点D在边BC上,点、E在线段DC上，DE=3,ADEF是等边三角形，边DF、EF与边BA、CA分别相交于点M、N.

（I）求证：

/XBDMs^CEN；

（2）设BD=X,AABC与△DEF重叠部分的面积为厂求y关于兀的

函数解析式，并写出定义域.

^Ibc2+cm2

=5

显然冇△EOF为等腰直角三角

-xOBxOA=2

AOB的-血积=2

X

则三角形AOE的面积=迈

同理

（3）当点M、/V分別在边ZM、C4上吋，是否存在点D,使以M为圆心,为半径的圆与直线EF相切，如果存在，请

求出x的值；

如不存在，请说明理由.

例3：

如图，在等腰直角三角形ABC屮，斜边BC=4,OA丄BC于0,点E和点F分别在边AB、AC上滑动并保持AE=CF,

但点F不与A.C重合，点E不与B、A重合。

判断AOef的形状，并加以证明。

判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.

△AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化，若变化，求共变化范围，若不变

化，求它的值。

分析：

木题结论很难发现，先从特殊惜况入手。

最特殊诸况为E、F分别为AB、AC屮点,

形。

还可发现当点E与A无限接近时，点F与点C无限接近，此时AEOF无限接近厶AOC,而AAOC为等腰直角三角形，几种特殊情况都可以得出△EOF为等腰直角三角形。

-•般情况下成立吗？

0E与OF相等吗？

ZEOF为直角吗？

能否证明。

如果它们成立，便可以推出三角形OFC与三角形OEA全等，一般情况下这两个三角形全等吗？

不难从题目的条件可得：

OA=OC,ZOCF=ZOAE,而AE=CF,则AOEA^AOFC,则OE=OF,且ZFOC=ZEOA,所以ZEOF=ZEOA+ZAOF=ZFOC+ZFOA=900,则ZEOF为直角，故AEOF为等腰直角三角形。

1.动手实践，操作确认

2.建立联系，计算说明

例6：

如图，正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上，KDM=1,N为对角线AC上任意一点，则DN+MN的最小值为

能否将DN和NM进行转化，与建立三角形两边之和大丁•第三边等问题，很自然地想到轴对称问题，曲于ABCD为正方形，因此连结BN,显然有ND=NB,则

问题就转化为BN+NM的最小值问题了，一・般情况下：

BN+NMMBM,只有在B、N、

M三点共线时，BN+NM=BM,因此DN+MN的最小值为BM=

木题通过建立平面上三个点中构成的三角形屮的两边Z和大丁•第三边及共线时的

两边之和等丁•第三边的特殊情况求最小值，最后通过勾股定理计算得出结论。

例7：

如图，在等腰直角三介形ABC中，斜边BC=4,OA丄BC于O,点E和点F分别在边AB、AC±

滑动并保持AE=CF,但点F不与A、C重合，点E不与B、A重

合。

判断四边形AEOF的面积是否随点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值.△AEF的面积是否随着点E、F的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。

（即例3的第2、第3问）

（2）本题的方法很多，其一，可以建立四边形AEOF与AE长的函数关系式，如设AE=x,则AF=2a/2—Xf

272

而三角形AOB的而积与三角形AOE的而积之比=*,而三角形

-xx+（2^2—x）_

三角形AOF的面积=迈，因此四边形AEOF的面积=迥；

即AEOF的面积不会随点E、

F的变化而变化，是一个定值，且为2.

当然，本题也可以这样思考，由于三介形AOE与三介形COF全等，贝9四边形AEOF的面积与三角形AOC的面积和等，而AOC的而积为2,因此AEOF的而积不会随点E、F的变化而变化，是-•个定值，且为2.

本题通过建立函数关系或有关图形Z间的关系，然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛.

-x（2V2-x）=--（x-V2）2+l第（3）问，也可以通过建立函数关系求得，△AEF的面积=22，又％的变化范

围为°

vXv2迈,由二次函数知识得Aaef的面积的范围为：

°

v°

aef的而积51.

本题也可以根据三角形AEF与三角形OEF的面积关系确定AaEF的而积范国：

不难证明°

AEF的而积Aoef的面积，它们公用边EF,取EF的中点II,显然由于^OEF为等腰直角三角形,

-EF

则0H丄EF,作AG丄EF,显然AG<

AH=AG（=2）,所以△AEF的面积W^OEF的面积，而它们的和为2,

因此°

vAaef的面积51.

本题包容的内涵十分丰富，还可以提出很多问题研究：

DC

APB

建立等量关系，2/=6—匚即

比如，比较线段EF与AO长度大小等（可以通过A、E.O、F四点在以EF为直径的圆上得出很多结论）

例8：

如图，在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；

点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。

如果P、Q同时出发，用（秒表示移动的时间（OWlW6）,那

么：

（1）当t为何值吋，三角形QAP为等腰三角形？

（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；

（3）当（为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与AABC相似?

（1）当三角形QAP为等腰三角形时，由TZA为直角.只能是AQ=AP,时，三角形QAP为等腰三角形；

（2）四边形QAPC的面积=ABCD的面积一三角形QDC的而积一三角形PBC的而积

12x6—x12xx—（12—2x）x6

=22=36,即当P、Q运动吋，四边形QAPC的而积不变。

（3）显然有两种情况：

△PAQs^ABC,AQAP^AABC,

2x_122x_6由相似关系得6_兀6或6-x12,解之得兀=3或兀=1.2

建立关系求解，包含的内容多，可以是函数关系，可以是方程组或不等式等.通过解方程、或函数的最人值最小值,自变量的取值范围等方面来解决问题；

也可以是通过一些儿何上的关系，描述图形的特征，如全等.相似、共圆等方

面的知识求解。

作为训练同学们可以综合上述方法求解:

练习1：

2003年广州市中考压轴题（全卷得分最低的一道）

B

己知△ABC为直角三角形，AO5,BC=12,ZACB为直角，P是AB边上

的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上动点（与点B、C不重合）

（1）如图，当PQ〃AC,且Q为BC的中点，求线段CP的长。

当PQ与AC不平行时，°

CPQ可能为直角三角形吗？

若有可能，求出线段CQ的长的取值范围；

若不可能，请说明理由。

第1问很易得出P为AB中点，则CP=22

第2问：

如果“CPQ为直角三角形，由于PQ与AC不平行，则ZQ不可能为直角

DM

~\c

DB

12—x

13

所以13

晋V罕严岁

而兀<

6,

10

故3

亦即3

<

CQ<

12

时，Acpq可能为直角三角形。

又点P不与A重合，则ZPCQ也不可能为直角，只能是ZCPQ为宜角，即以CQ为直径的圆与AB冇交点，设CQ=2x,CQ的中点D到AB的距离DM不大于CD,

当然还有其它方法。

同学们可以继续研究。

练习2：

（广东省2003年中考试题最后一题）在RtAABC中，AB=AC,ZBAC=90°

O为BC的中点,

（1）写出点O到AABC的三个顶点A、B、C距离的人小关系。

（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN=BM,请判断

AOMN的形状，并证明你的结论。

该题与例3类似，同学们可以仿

本大类习题的共性：

1.代数、几何的高度综合（数形结合）；

着力于数学本质及核心内容的考查;

四大数学思想：

数学结合、分类讨论、方程、函数.

2.以形为载体，研究数量关系；

通过设、表、列获得函数关系式；

研究特殊情况下的函数值.

专题三：

双动点问题

点动、线动、形动构成的问题称之为动态儿何问题•它主要以儿何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题.这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.共屮以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年屮考试题的热点，现采撷儿例加以分类浅析，供读者欣赏.

1以双动点为载体，探求函数图象问题

例1（2007年杭州市）在直角梯形ABCD中，ZC=90°

高CD=6cm（如图1）.动点P,Q同时从点B出发，点P沿BA,AD,DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s.而当点P到达点A时，点Q正好到达点C.设P,Q同时从点B岀发，经过的时间为t（s）时，ABPQ的面积为y（cm）2（如图2）.分别以t,y为横、纵坐标建立直角坐标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN.

（1）分别求出梯形中BA,AD的长度；

（2）写出图3中M,N两点的坐标；

（3）分别写出点P在BA边上和DC边上运动吋，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中y关于x的函数关系的大致图象.

评析木题将点的运动过程屮形成的函数解析式与其相应的函数图象冇机的结合在一起，二者相辅相成，给人以清新、淡雅之感.木题彰显数形结合、分类讨论、函数建模与参数思想在解题过程中的灵活运用.解决木题的关键是从两数图象中确定线段AB、梯形的高与t的函数关系式，建立起y与t的函数关系式，进而根据函数关系式补充函数图彖.

2以双动点为载体，探求结论开放性问题

例2（2007年泰州市）如图5,RtAABC屮，ZB=90°

ZCAB=30。

.它的顶点A的坐标为（10,0）,顶点B的坐标为（5,53）,AB=10,点P从点A出发，沿A->

BtC的方向匀速运动，同时点Q从点D（0,2）出发，沿y轴正方向以相同速度运动，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒.

（1）求ZBAO的度数.

（2）当点P在AB±

运动吋，△OPQ的而积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图彖为抛物线的一部分，（如图6）,求点P的运动速度.

（3）求

（2）屮面积S与时间tZ间的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标.

（4）如果点P,Q保持

（2）中的速度不变，那么点P沿AB边运动时，ZOPQ的大小随着时间t的增大而增大；

沿着BC边运动时，ZOPQ的人小随着时间t的增人而减小，当点P沿这两边运动时，使ZOPQ=90°

的点P有几个？

请说明理由.

解⑴ZBAO60。

（2）点P的运动速度为2个单位/秒.

评析本题是以双点运动构建的集函数、开放、最值问题于一体的综合题.试题冇难度、冇梯度也冇区分度，是一道具冇很好的选拔功能的好题.解决木题的关键是从图象中获取P的速度为2,然后建立S与t的瓯数关系式，利用函数的性质解得问题（3）.本题的难点是题（4）,考生要从题目的信息屮确定建立以B为直角顶点的三角形，以B为临界点进行分类讨论，进而确定点的个数问题.

3以双动点为载体，探求存在性问题

例3（2007年扬州市）如图8,矩形ABCD中,AD=3厘米，AB=a厘米（a>

3）.动点M,N同时从B点出发，分别沿B->

A,B->

C运动，速度是1凰米/秒.过M作直线垂宜TAB,分别交AN,CD于P,Q.当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为t秒.

⑴若a=4厘米，匸*1秒，则PM=厘米；

（2）若a=5厘米，求时间t,使APNB^APAD,并求出它们的相似比:

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；

（4）是否存在这样的矩形：

在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的血积都相等?

若存在,求a的值；

评析木题是以双动点为载体，矩形为背景创设的存在性问题•试题由浅入深、层层递进，将儿何与代数知识完美的综合为一题，侧重对相似和梯形面积等知识点的考查，本题的难点主要是题（3）,解决此题的关键是运用相似三角形的性质用t的代数式表示PM,进而利用梯形面积相等列等式求出t与a的函数关系式，再利用t的范围确定的a取值范围.第（4）小题是题（3）结论的拓展应用，在解决此问题的过程中，耍冇全局观念以及对问题的整体把握.

4以双动点为载体，探求函数最值问题

例4（2007年吉林省）如图9,在边长为82cm的正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A、C同吋出发，沿对角线以1cm/s的相同速度运动，过E作EH垂直AC交RtAACD的直角边于H：

过F作FG垂直AC交RtAACD的直角边于G,连结HG、EB•设HE、EF、FG>

GH成的图形面积为S1,AE、EB、BA成的图形面积为S2（这里规定：

线段的面积为0）.E到达C,F到达A停止.若E的运动时间为x（s）,解答下列问题：

⑴当OvX

（2）①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式；

（图10为备用图）

②求y的故大值.

解⑴以E、F、G、H为顶点的四边形是矩形，因为正方形ABCD的边长为82,所以AC=16,过B作BO1AC于O,则OB二89,因为AE二X,所以S2=4x,因为HE=AE=x,