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2.还要掌握研究的思路。
首先,从最简单的3个开始,不妨
多做几种,4个、5个、6个、7个、8个、9个、10个的都要试试看。
然后,再研究稍复杂的十几个,最后再选出几个较大数量的进行研究。
3.注意研究的方法。
我们要认真观察,大胆猜测、小心实验、严密推理、勤于归纳。
通过这些方法进行有效研究,特别要注意要有科学的记录习惯。
刚复习了找次品的方法,这不,主人公莉莉和芳芳遇到了这样一个问题:
提出问题:
莉莉和芳芳正在研究找次品的数学问题。
这里有27个看似一模一样的乒乓球,但有一个是次品。
如何用称重的方法快速找出这个次品呢?
她们决定对这个问题进行研究,首先从最简单的情况开始。
为了解决这个问题,我们从最简单的情况分析。
(引出例1)
二、踏上征程①
(一)踏上征程例1
例1:
3个外观一样的乒乓球,其中一个是次品,质量偏轻,用天平至少称几次,才能确保找出次品?
(1)学生小组讨论
要用最少的次数,而且还要保证一定能称出来,同学们有什么好的办法吗?
(2)汇报交流
用列举的方法来解决这个问题,可以分类考虑:
天平的一边只放一个;
引导学生用画图的方法,枚举出所有可能,画出称重过程,做好记录。
解析:
情况一:
将小球分成A、B、C(1,1,1)三份,
把A、B两份放在天平两端平衡,
次品:
C飞过来
情况二:
把A、B两份放在天平两端A高B低,
A飞过来
答案:
答:
至少要称1次。
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4个呢?
方法一:
动画用称称出找4个中一个次品的过程。
称第一次:
分成A、B、C(2,2,0)三份,把A、B放到天平两边称1次,假如A高B低,那么次品在A组中;
称第二次:
把A组2个球分成(1,1,0),放在天平左右两边,左边翘起来,说明左边的小球是次品。
出示动画的同时对应出示表格给出分的方法。
方法二:
4个小球分为A、B、C(1,1,2)三组。
第一种情况:
称一次:
把A、B两组各一个小球分别放在天平左右两边,结果A高B低,说明A组中的小球是次品。
②
第二种情况:
把A、B两组各一个小球分别放在天平左右两边,结果平衡,说明A、B组小球合格,次品在C组中;
称第二次:
把C组2个小球分成(1,1,0)放在天平的左右两边称重,左低右高,说明右边的那个小球是次品。
至少要称2次。
(2)学生做好后,集体核对,教师请学生讲解填表思路。
(3)教师总结
想一想,3个球时,我们把球分成了3份(1、1、1);
4个球时我们也分成了3份(2、2、0)或(1、1、2)。
都是分成了几份?
如果是5个应该怎么分?
教师引导学生思考,并适时进入例2。
(二)踏上征程例2
例2:
假如这批乒乓球有5个、6个、7个、8个、9个,请你用莉莉和芳芳的方法进行研究并记录研究的过程。
(1)学生小组讨论(先讨论5个、6个的情况)
(2)大家做的怎么样?
谁给大家讲一讲。
教师引导学生思考,给出答案。
5个:
动画将小球分成A、B、C(2,2,1)三份
称一次:
A、B平衡,说明C是次品;
③
情况2:
首先出现天平,先把A、B两份放到天平两端,A低B高,说明次品肯定在B里面
继续称B(1,1,0),左低右高,说明右边的小球是次品。
6个:
将小球分成A、B、C(2、2、2)三份
先把A、B两份放到天平两端,A、B同样高,说明次品肯定在C里面,
把C分成(1,1,0)放在天平左右两边,就可以找出次品。
先把A、B两份放到天平两端,B高A低,说明次品肯定在B里面;
把B分成(1,1,0)放在天平左右两边,就可以找出次品。
(3)教师指导学生独立完成独立思考7、8、9个球的情况
(4)汇报交流
7个:
将小球分成A、B、C(3,2,2)三份,B、C两份个数相同的分别放在天平两端,称1次。
不平衡,假如B高C低,那么次品是B份2个球中的其中一个,2个球中找出较轻的次品只需要再称一次,所以一共要称2次;
平衡。
那么次品是A份3个球中的其中一个,
3个球中找出较轻的次品只需要再称一次,所以一共要称2次。
8个:
将小球分成A、B、C(3,3,2)三份,AB两份个数相同的分别放在天平两端称1次,
不平衡,假如A高B低,那么次品是A份3个球中的其中一个,3个球中找出较轻的次品只需要再称一次,所以一共要称2次;
那么次品是C份2个球中的其中一个,
2个球中找出较轻的次品只需要再称一次,所以一共要称2次。
9个:
将小球分成A、B、C(3,3,3)三份,任意两份放在天平两边,假如放A、B两份称1次,
那么次品是C份3个球中的其中一个,
(5)课件出示答案:
个数
初始分法
次数
5个球
(2、2、1)
2次
6个球
(2、2、2)
7个球
(3、2、2)
8个球
(3、3、2)
9个球
(3、3、3)
(6)小结
刚才这个问题,做对的同学站起来给老师看一下。
哇,这么多同学都做对了,你们太聪明了。
说一说,我们刚才是怎么找次品的?
不管多少个小球,我们把他们分成了几份?
这几份的数量有什么特点?
(7)拓展延伸
说一说,3个小球称几次?
4个小球称几次?
5个小球称几次?
6个小球称几次?
7个小球称几次?
8个小球称几次?
9个小球称几次?
④
你发现了什么?
⑤
发现:
3个小球称1次;
4~9个小球称2次。
最优策略:
找次品的最优策略:
一是要把待测物品分成3份;
二是要分的尽可能的平均分,即使不能均分,也应该使多的一份与少的一份只相差1。
那么10个、11个、12个、13个、14个、15个、……小球又要称几次呢?
大家猜一猜?
⑥
师进一步说:
大家猜的对不对呢?
我们来研究一下,出示例3。
(三)踏上征程例3
例3:
假如这批乒乓球有10个、11个、12个、13个、14个、15个,你能推算出至少称多少次就能找出次品吗?
推算之后再实践操作验证一下你的推算是否正确。
(1)学生读题。
(2)小组讨论交流
师点拨:
使用画图的方法,利用我们称7、8、9个球的思路,你能像前面一样画一画,写一写吗?
(3)学生独立做题。
(4)集体核对,同时请学困生讲解解题思路。
分步出示
10
(4、3、3)
3
11
(4、4、3)
12
(4、4、4)
13
(5、4、4)
14
(5、5、4)
15
(5、5、5)
至少需要称3次。
(5)课堂激励
(四)踏上征程例4
例4:
假如这批乒乓球有27个,你能推算出至少称多少次就能找出次品吗?
(1)分一分
说一说,27个小球分成几份?
每份分几个?
⑦
(3)学生独立做题
(4)集体核对,同时请学困生讲解解题思路
27
(9,9,9)
将小球分成A、B、C(9,9,9)三份。
称1次:
任意两份放在天平两边,假如将A、B两份放天平两边称1次。
不平衡,假如A高B低,那么次品是A份9个球中的其中一个(A低B高道理相同),9个球中找出较轻的次品只需要再称2次,所以一共要称3次;
那么次品是C份9个球中的其中一个,
9个球中找出较轻的次品只需要再称2次,所以一共要称3次。
(五)踏上征程例5
例5:
回顾整理研究的过程,你有什么发现?
(1)总结所称次数与个数的关系
小组讨论,说一说,你有什么发现?
⑧
(2)找规律⑨
称1次最多找出几个球中的次品?
称2次最多找出几个球中的次品?
称3次最多找出几个球中的次品?
称1次最多找出3个球中的次品;
称2次最多找出9个球中的次品;
称3次最多找出27个球中的次品。
想一想,观察3、9、27有什么规律没?
(3)师小结
大家说得非常好。
在已知一个次品偏轻或偏重的情况下:
称1次最多找出3个球中的次品;
称2次最多找出3²
个球中的次品;
称3次最多找出3³
个球中的次品。
四、全课小结
同学们的聪明睿智给老师留下了深刻的印象,老师想下节课和同学们一起动脑筋,去寻求更多更好的解题策略,有信心吗?
下课!
4个小球称2次;
5个小球称2次;
6个小球称2次;
7个小球称2次;
8个小球称2次;
9个小球称2次。
⑤我发现:
⑥学生自由猜一猜。
⑦分成(9,9,9),
把其中任意两份放到天平两端称一次,可以判断出次品在其中的一份之中;
第二步:
从9个中找出较轻次品根据前面的分析可知还需再称2次;
所以一共需要称3次。
⑧学生发现:
在已知次品较轻或较重情况下:
2~3个,称1次;
4~9个,称2次;
10~27个,称3次,
⑨学生根据教师提问,自由发言。
①称小球时,把小球一般分为3组,例如如果一共2个小球一般还是分成(1,1,0),分别表示(天平左边小球个数、天平右边小球个数、旁边剩余小球个数),后面所有题目都按此方法来分的。
②这只称了一次就找出了次品,但不具有一般性,只是偶然情况,这种方法不能确保找出次品。
③这只称了一次就找出了次品,但不具有一般性,只是偶然情况,这种方法不能确保找出次品。
第二课时
一、激趣引入
同学们,上一节课,我们一起学习了找次品的方法。
你们掌握了找次品的策略了吗?
我们一起来试一试吧!
二、攀登高峰
(一)攀登高峰第1题
1.有13瓶水,其中12瓶质量相同,另外有1瓶是糖水,比其他略重一些,用天平至少称几次就一定能找出来?
(1)学生读题,思考,适当讨论交流
(2)学生汇报思路
(3)集体核对,师有针对性地指名学生复述解题思路,注意方法的多样性与最简洁的解题方法,以及分份的方法。
(二)攀登高峰第2题
2.有20瓶水,其中19瓶质量相同,另外有1瓶是糖水,比其他略重一些,用天平至少称几次就一定能找出来?
(1)学生读题,思考,适当讨论交流。
(2)学生汇报思路,师点拨,
(3)集体核对,师有针对性地指名学生复述解题思路,注意方法的多样性与最简洁的方法,以及分份的方法。
三、眺望远方
(一)眺望远方第1题
1.用天平找次品时(只含一个次品,且已知次品比正品重或
轻),所测物品数量与测试的次数有以下关系:
你有什么发现?
要保证5次能测出次品,待测的物品数量在什么范围之间?
保证能找出次品需要测的次数为n时,可以辨别的物的范围为到个。
测5次要保证5次能测出次品,待测的物品可能为82~243个。
(1)学生独立观察,发现规律
同学们仔细看看这个表,称1次,最多辨别出多少个?
称2次最多辨别多少个?
称3次最多辨别出多少个?
称4次最多辨别出多少个?
3、9、27、81这几个数同学们发现什么规律了吗?
①
(2)解决问题
也就是说,我们每增加一次,可辨别的个数就要扩大3倍,对吗?
如果称4次最多可以辨别多少个呢?
5次,最多可以辨别多少个呢?
4个最多辨别81个,那么5次最少辨别82个物品中的次品,最多辨别243个中的次品,所以陈5次能辨别82~243中的次品。
(3)找规律
那么我们补充一个知识点:
3=
3×
3=
3×
=
那么表中的而规律就可以写成:
(二)眺望远方第2题③
2.(选做题)12个外观一样的乒乓球,其中一个是次品,但不知道是略重还是略轻,用天平秤至少称几次就可以保证找出次品?
把这三组乒乓球分别编号为A组、B组、C组(4,4,4)。
(2)按步骤称一称
这是一个比较难的逻辑推理题。
这个题目难就难在不知道不合格的坏球究竟是比合格的好球轻,还是重。
要解出这个题目,不仅要熟练地运用各种推理形式,而且还要有一定的机灵劲呢。
用无码天平称乒乓球的重量,每称一次会有几种结果?
有三种不同的结果,即左边的重量重于、轻于或者等于右边的重量,为了做到称三次就能把这个不合格的乒乓球找出来,必须把球分成三组(各为四只球)。
现在,我们为了解题的方便,把这三组乒乓球分别编号为A组、B组、C组。
首先,选任意的两组球放在天平上称。
例如,我们把A、B两组放在天平上称。
这就会出现两种情况:
第一种情况,天平两边平衡。
那么,不合格的坏球必在C组之中。
其次,从C组中任意取出两个球(例如C1、C2)来,分别放在左右两个盘上,称第二次。
这时,又可能出现两种情况:
.天平两边平衡。
这样,坏球必在C3、C4中。
这是因为,在12个乒乓球中,只有一个是不合格的坏球。
称第三次的时候,可以从C3、C4中任意取出一个球(例如C3),同另一个合格的好球(例如C1)分别放在天平的两边,就可以推出结果。
这时候可能有两种结果:
如果天平两边平衡,那么,坏球必是C4;
如果天平两边不平衡,那么,坏球必是C3。
.天平两边不平衡。
这样,坏球必在C1、C2中。
这是因为,只有C1、C2中有一个是坏球时,天平两边才不能平衡。
这是称第二次。
称第三次的时候,可以从C1、C2中任意取出一个球(例如C1),同另外一个合格的好球(例如C3),分别放在天平的两边,就可以推出结果。
道理同上。
以上是第一次称之后出现第一种情况的分析。
第二种情况,第一次称过后天平两边不平衡。
这说明,C组肯定都是合格的好球,而不合格的坏球必在A组或B组之中。
我们假设:
A组(有A1、A2、A3、A4四球)重,B组(有B1、B2、B3、B4四球)轻。
这时候,需要将重盘中的A1取出放在一旁,将A2、A3取出放在轻盘中,A4仍留在重盘中。
同时,再将轻盘中的B1、B4取出放在一旁,将B2取出放在重盘中,B3仍留在轻盘中,另取一个标准球C1也放在重盘中。
经过这样的交换之后,每盘中各有三个球:
原来的重盘中,现在放的是A4、B2、C1,原来的轻盘中,现在放的是A2、A3、B3。
这时,可以称第二次了。
这次称后可能出现的是三种情况:
这说明A4B2C1=A2A3B3,亦即说明,这六只是好球,这样,坏球必在盘外的A1或B1或B4之中。
已知A盘重于B盘。
所以,A1或是好球,或是重于好球;
而B1、B4或是好球,或是轻于好球。
这时候,可以把B1、B4各放在天平的一端,称第三次。
这时也可能出现三种情况:
(一)如果天平两边平衡,可推知A1是不合格的坏球,这是因为12只球只有一只坏球,既然B1和B4重量相同,可见这两只球是好球,而A1为坏球;
(二)B1比B4轻,则B1是坏球;
(三)B4比B1轻,则B4是坏球,这是因为B1和B4或是好球,或是轻于好球,所以第三次称实则是在两个轻球中比一比哪一个更轻,更轻的必是坏球。
.放着A4、B2、C1的盘子(原来放A组)比放A2、A3、B3的盘子(原来放B组)重。
在这种情况下,则坏球必在未经交换的A4或B3之中。
这是因为已交换的B2、A2、A3三个球并未影响轻重,可见这三只球都是好球。
以上说明A4或B3这其中有一个是坏球。
这时候,只需要取A4或B3同标准球C1比较就行了。
例如,取A4放在天平的一端,取C1放在天平的另一端。
这时称第三次。
如果天平两边平衡,那么B3是坏球;
如果天平不平,那么A4就是坏球(这时A4重于C1)。
.放A4、B2、C1的盘子(原来放A组)比放在A2、A3、B3的盘子(原来放B组)轻。
在这种情况下,坏球必在刚才交换过的A2、A3、B2之中。
这是因为,如果A2、A3、B2都是好球,那么坏球必在A4或B3之中,如果A4或B3是坏球,那么放A4、B2、C1的盘子一定重于放A2、A3、B3的盘子,现在的情况恰好相反,所以,并不是A2、A3、B2都是好球。
以上说明A2、A3、B2中有一个是坏球。
这时候,只需将A2同A3相比,称第三次,即推出哪一个是坏球。
把A2和A3各放在天平的一端称第三次,可能出现三种情况:
(一)天平两边乎衡,这可推知B2是坏球;
(二)A2重于A3,可推知A2是坏球;
(三)A3重于A2,可推知A3是坏球。
四、全课总结
同学们,愉快的两节课就要结束了,谈谈你今天学习有什么收获?
我们今天学习了哪些解决问题的策略,你都会用吗?
①后一个数是前一个数的3倍。
②4次最多可以辨别3×
3=81(个)
5次,最多可以辨别:
5个3相乘,也就是3×
3=243(个)。
③此题判断的是次品偏轻的情况;
次品偏重也是用同样的方法可以判断出来的。
这里没有一一赘述。
本讲教材答案:
踏上征程:
3个至少称1次;
4个至少称2次。
5~9个至少称2次。
发现:
4~9个至少称2次。
10~15至少称3次。
27个至少称3次。
发现:
在已知一个次品偏轻或偏重的情况下:
攀登高峰
1.3次
2.3次
我挑战:
1.发现:
2.3次