全国通用版高中数学导数及其应用12导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式精品学案.docx

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全国通用版高中数学导数及其应用12导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式精品学案

第1课时　几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式

学习目标　1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．

知识点一　几个常用函数的导数

原函数

导函数

f（x）＝c

f′（x）＝0

f（x）＝x

f′（x）＝1

f（x）＝x2

f′（x）＝2x

f（x）＝

f′（x）＝－

f（x）＝

f′（x）＝

知识点二　基本初等函数的导数公式

原函数

导函数

f（x）＝c（c为常数）

f′（x）＝0

f（x）＝xα（α∈Q*）

f′（x）＝αxα－1

f（x）＝sinx

f′（x）＝cosx

f（x）＝cosx

f′（x）＝－sinx

f（x）＝ax

f′（x）＝axlna（a>0）

f（x）＝ex

f′（x）＝ex

f（x）＝logax

f′（x）＝（a>0且a≠1）

f（x）＝lnx

f′（x）＝

1．若y＝，则y′＝×2＝1.（　×　）

2．若f′（x）＝sinx，则f（x）＝cosx．（　×　）

3．f（x）＝，则f′（x）＝－.（　√　）

类型一　利用导数公式求函数的导数

例1　求下列函数的导数．

（1）y＝sin；

（2）y＝x；（3）y＝lgx；（4）y＝；（5）y＝2cos2－1.

考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

题点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

解　

（1）y′＝0.

（2）y′＝xln＝－xln2.

（3）y′＝.

（4）∵y＝＝，

∴y′＝（）′＝＝.

（5）∵y＝2cos2－1＝cosx，

∴y′＝（cosx）′＝－sinx.

反思与感悟　

（1）若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．

（2）若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．

如y＝可以写成y＝x－4，y＝可以写成y＝等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．

跟踪训练1　

（1）已知函数f（x）＝，则f′（－3）等于（　　）

A．81B．243

C．－243D．－

（2）已知f（x）＝lnx且f′（x0）＝，则x0＝.

考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

题点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

答案　

（1）D　

（2）1

解析　

（1）因为f（x）＝x－3，

所以f′（x）＝－3x－4＝－，

所以f′（－3）＝－＝－.

（2）因为f（x）＝lnx（x>0），

所以f′（x）＝，

所以f′（x0）＝＝，所以x0＝1.

类型二　利用导数公式研究切线问题

例2　已知曲线y＝f（x）＝，y＝g（x）＝，过两条曲线交点作两条曲线的切线，求两切线与x轴所围成的三角形面积．

考点　导数公式的综合应用

题点　导数公式的综合应用

解　由得得两曲线的交点坐标为（1,1）．

两条曲线切线的斜率分别为f′

（1）＝，g′

（1）＝－1.

易得两切线方程分别为y－1＝（x－1），

y－1＝－（x－1），

即y＝x＋与y＝－x＋2.

其与x轴的交点坐标分别为（－1,0），（2,0），

所以两切线与x轴所围成的三角形面积为×1×|2－（－1）|＝.

反思与感悟　解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点在曲线上这三个条件联立方程解决．

跟踪训练2　已知y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝.

考点　导数公式的综合应用

题点　导数公式的综合应用

答案　

解析　设切点坐标为（x0，y0），

由题意得＝＝k，①

又y0＝kx0，②

而且y0＝lnx0，③

由①②③可得x0＝e，y0＝1，则k＝.

例3　求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．

考点　导数公式的综合应用

题点　导数公式的综合应用

解　设切点坐标为（x0，x），依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．

∵y′＝（x2）′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝，

∴切点坐标为，

∴所求的最短距离d＝＝.

反思与感悟　利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P（x0，y0）处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．

跟踪训练3　已知直线l:

2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．

考点　导数公式的综合应用

题点　导数公式的综合应用

解　由于直线l:

2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，

∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大，

设P（x0，y0）为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0＝1.

故可得P（1,1），∴切线方程为2x－y－1＝0.

故P（1,1）点即为所求弧上的点，使△ABP的面积最大.

1．下列函数求导运算正确的个数为（　　）

①（3x）′＝3xlog3e；②（log2x）′＝；③＝x；④若y＝，则＝－.

A．1B．2C．3D．4

考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

题点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

答案　C

解析　①中（3x）′＝3xln3，②③④均正确．

2．函数f（x）＝x3的斜率等于1的切线有（　　）

A．1条B．2条

C．3条D．不确定

考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

题点　常数、幂函数的导数

答案　B

解析　设切点坐标为（x0，y0），∵f′（x0）＝3x＝1，

∴x0＝±.故斜率等于1的切线有2条．

3．已知f（x）＝x2，g（x）＝lnx，若f′（x）－g′（x）＝1，则x＝.

考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

题点　指数函数、对数函数的导数

答案　1

解析　f′（x）＝2x，g′（x）＝，

f′（x）－g′（x）＝1，即2x－＝1，

解得x＝1或－.因为x>0，所以x＝1.

4．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为．

考点　导数公式的综合应用

题点　导数公式的综合应用

答案　（1，e）　e

解析　设切点坐标为（x0，y0），

切线的斜率为＝，

则＝，①

又y0＝，②

由①②可得x0＝1，

∴切点坐标为（1，e），切线的斜率为e.

5．求过曲线y＝sinx上一点P且与在该点处的切线垂直的直线方程．

考点　导数公式的综合应用

题点　导数公式的综合应用

解　曲线y＝sinx在点P处切线的斜率

k＝＝cos＝，

则与切线垂直的直线的斜率为－，

∴所求直线方程为y－＝－，

即12x＋18y－2π－9＝0.

1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．

2．有些函数可先化简再应用公式求导．

如求y＝1－2sin2的导数．因为y＝1－2sin2＝cosx，所以y′＝（cosx）′＝－sinx.

3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.

一、选择题

1．下列各式中正确的个数是（　　）

①（x7）′＝7x6；②（x－1）′＝x－2；③′＝－x－；④（）′＝x－；⑤（cosx）′＝－sinx；⑥（cos2）′＝－sin2.

A．3B．4C．5D．6

考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

题点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

答案　B

解析　∵②（x－1）′＝－x－2；

⑥（cos2）′＝0.

∴②⑥不正确，故选B.

2．已知函数f（x）＝xa，若f′（－1）＝－4，则a的值等于（　　）

A．4B．－4

C．5D．－5

考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

题点　常数、幂函数的导数

答案　A

解析　∵f′（x）＝axa－1，f′（－1）＝a（－1）a－1＝－4，

∴a＝4.

3．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为（　　）

A.B.

C.D.

考点　常数、幂函数、指数函数、对数函数的导数

题点　常数、幂函数的导数

答案　B

解析　∵s′＝t－.∴当t＝4时，

s′＝·＝.

4．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于的点为（　　）

A.

B.或

C.（k∈Z）

D.或（k∈Z）

考点　导数公式的综合应用

题点　导数公式的综合应用

答案　D

解析　设斜率等于的切线与曲线的切点为P（x0，y0），∵＝cosx0＝，∴x0＝2kπ＋或2kπ－，

∴y0＝或－.

5．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx（x>0）的一条切线，则实数b的值为（　　）

A．2B．ln2＋1

C．ln2－1D．ln2

考点　导数公式的综合应用

题点　导数公式的综合应用

答案　C

解析　∵y＝lnx的导数y′＝，

∴令＝，得x＝2，∴切点坐标为（2，ln2）．

代入直线y＝x＋b，得b＝ln2－1.

6．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是（　　）

A．f（x）＝exB．f（x）＝x3

C．f（x）＝lnxD．f（x）＝sinx

考点　导数公式的综合应用

题点　导数公式的综合应用

答案　D

解析　若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.

因为A项中，（ex）′＝ex>0，B项中，（x3）′＝3x2≥0，C项中，x>0，即（lnx）′＝>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.

7．设曲线y＝xn＋1（n∈N*）在点（1,1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为（　　）

A.B.

C.D．1

考点　导数公式的综合应用

题点　导数公式的综合应用

答案　B

解析　对y＝xn＋1（n∈N*）求导得y′＝（n＋1）·xn.

令x＝1，得在点（1,1）处的切线的斜率k＝n＋1，

∴在点（1,1）处的切线方程为y－1＝（n＋1）（xn－1）．

令y＝0，得xn＝，

∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.

二、填空题

8．若曲线y＝在点（a，）处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝.

考点　几个常用函数的导数

题点　几个常用函数导数的应用

答案　64

解析　∵y＝，∴y′＝－，

∴曲线在点（a，）处的切线斜率k＝－，

∴切线方程为y－＝－（x－a）．

令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝3a，

∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

S＝·3a·＝＝18，

∴a＝64.

9．设曲线y＝ex在点（0,1）处的切线与曲线y＝（x>0）在点P处的切线垂直，则点P的坐标为．

考点　导数公式的综合应用

题点　导数公式的综合应用

答案　（1,1）

解析　y＝ex的导数为y′＝ex，曲线y＝ex在点（0,1）处的切线的斜率为k1＝e0＝1.

设P（m，n），y＝（x>0）的导数为y′＝－（x>0），

曲线y＝（x>0）在点P处的切线的斜率为k2＝－（m>0）．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，

所以m＝1，n＝1，则点P的坐标