河南省中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练.docx

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河南省中考数学专题复习专题三几何图形的折叠与动点问题训练

专题三 几何图形的折叠与动点问题

类型一与特殊图形有关

(2018·河南)如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交A′B所在直线于点F,连接A′E.当△A′EF为直角三角形时,AB的长为________.

【分析】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:

①∠A′EF=90°,②∠A′FE=90°进行讨论.

【自主解答】当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:

①当∠A′EF=90°时,如解图①,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴A′C=AC=4,∠ACB=∠A′CB.∵点D,E分别为AC,BC的中点,∴D、E是△ABC的中位线,∴DE∥AB,∴∠CDE=∠MAN=90°,∴∠CDE=∠A′EF,∴AC∥A′E,∴∠ACB=∠A′EC,∴∠A′CB=∠A′EC,∴A′C=A′E=4.在Rt△A′CB中,∵E是斜边BC的中点,∴BC=2A′E=8,由勾股定理,得AB2=BC2-AC2,∴AB==4;②当∠A′FE=90°时,如解图②,∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°.∴∠ABF=90°,∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,∴∠ABC=∠CBA′=45°,∴△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC=4;综上所述,AB的长为4或4.

图①

图②

1.如图,四边形ABCD是菱形,AB=2,∠ABC=30°,点E是射线DA上一动点,把△CDE沿CE折叠,其中点D的对应点为D′,连接D′B.若使△D′BC为等边三角形,则DE=________________.

2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,E、F分别为AB、AC上的点,沿直线EF将∠B折叠,使点B恰好落在AC上的D处.当△ADE恰好为直角三角形时,BE的长为______.

3.(2017·河南)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B′始终落在边AC上.若△MB′C为直角三角形,则BM的长为__________.

4.(2018·新乡一模)菱形ABCD的边长是4,∠DAB=60°,点M、N分别在边AD、AB上,且MN⊥AC,垂足为P,把△AMN沿MN折叠得到△A′MN.若△A′DC恰为等腰三角形,则AP的长为____________.

5.(2017·三门峡一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,点D是BC上一动点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在点C′,连接C′D交AB于点E,连接BC′.当△BC′D是直角三角形时,DE的长为______.

6.(2018·盘锦)如图,已知Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2+4,点M、N分别在线段AC、AB上.将△ANM沿直线MN折叠,使点A的对应点D恰好落在线段BC上,当△DCM为直角三角形时,折痕MN的长为__________.

7.(2018·乌鲁木齐)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于点F,若△AB′F为直角三角形,则AE的长为________.

8.(2017·洛阳一模)在菱形ABCD中,AB=5,AC=8,点P是对角线AC上的一个动点,过点P作EF垂直AC交AD于点E,交AB于点F,将△AEF折叠,使点A落在点A′处,当△A′CD为等腰三角形时,AP的长为______.

9.(2018·濮阳一模)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D,E为AC,BC上两个动点.若将∠C沿DE折叠,点C的对应点C′恰好落在AB上,且△ADC′恰好为直角三角形,则此时CD的长为__________.

类型二点的位置不确定

(2016·河南)如图,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点E为射线BC上一个动点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点B′处,过点B′作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B′为线段MN的三等分点时,BE的长为________.

【分析】根据勾股定理,可得EB′,根据相似三角形的性质,可得EN的长,根据勾股定理,可得答案.

【自主解答】由翻折的性质,得AB=AB′,BE=B′E.①当MB′=2,B′N=1时,设EN=x,得B′E=.由△B′EN~△AB′M,=,即=,x2=,BE=B′E==;

②当MB′=1,B′N=2时,设EN=x,得B′E=,△B′EN∽△AB′M,=,即=,解得x2=,BE=B′E==,故答案为:

或.

1.如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使D点落在BC边上的点E处,折痕为GH.若点E是BC的三等分点,则线段CH的长是_______.

2.(2018·林州一模)在矩形ABCD中,AB=4,BC=9,点E是AD边上一动点,将边AB沿BE折叠,点A的对应点为A′.若点A′到矩形较长两对边的距离之比为1∶3,则AE的长为__________.

3.(2015·河南)如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7,点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时,DE的长为______.

4.(2017·商丘模拟)如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点,把△ADE沿直线AE折叠,当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时,则DE的长为__________.

5.如图,在矩形ABCD中,BC=6,CD=8,点P是AB上(不含端点A,B)任意一点,把△PBC沿PC折叠,当点B的对应点B′落在矩形ABCD对角线上时,BP=________.

6.(2018·河南模拟)如图,△ABC中,AB=,AC=5,tanA=2,D是BC中点,点P是AC上一个动点,将△BPD沿PD折叠,折叠后的三角形与△PBC的重合部分面积恰好等于△BPD面积的一半,则AP的长为____________.

7.在矩形ABCD中,AB=6,BC=12,点E在边BC上,且BE=2CE,将矩形沿过点E的直线折叠,点C,D的对应点分别为C′,D′,折痕与边AD交于点F,当点B,C′,D′恰好在同一直线上时,AF的长为__________________.

类型三根据图形折叠探究最值问题

如图,在矩形纸片ABCD中,AB=2,AD=3,点E是AB的中点,点F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折,得到△A′EF,则A′C的长的最小值是________.

【分析】以点E为圆心,AE长度为半径作圆,连接CE.当点A′在线段CE上时,A′C的长取最小值,根据折叠的性质可知A′E=1,在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的长度,用CE-A′E即可求出结论.

例3题解图

【自主解答】以点E为圆心,AE长度为半径作圆,连接CE,当点A′在线段CE上时,A′C的长取最小值,如解图所示.根据折叠可知:

A′E=AE=AB=1.在Rt△BCE中,BE=AB=1,BC=3,∠B=90°,∴CE==,∴A′C的最小值=CE-A′E=-1.故答案为-1.

1.(2019·原创)如图,在边长为10的等边三角形△ABC中,D是AB边上的动点,E是AC边的中点,将△ADE沿DE翻折得到△A′DE,连接BA′,则BA′的最小值是__________.

2.在矩形ABCD中,AD=12,E是AB边上的点,AE=5,点P在AD边上,将△AEP沿EP折叠,使得点A落在点A′的位置,如图,当A′与点D的距离最短时,△A′PD的面积为________.

3.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E为AB边的中点,F是BC边上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F,连接B′D.则当B′D取得最小值时,tan∠BEF的值为__________.

4.(2017·河南模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合),沿DE翻折△DBE使点B落在点F处,连接AF,则线段AF的长取最小值时,BF的长为_________.

 

参考答案

类型一

针对训练

1.+1或2-2 【解析】

(1)当点E在边AD上时,过点E作EF⊥CD于F,如解图①,设CF=x,

第1题解图①

∵∠ABC=30°,∴∠BCD=150°.∵△BCD′是等边三角形,∴∠DCD′=90°.由折叠可知,∠ECD=∠D′CE=45°,∵EF=CF=x,在直角三角形DEF中,∠D=30°,∴DE=2x,∴DF=x,∴CD=CF+DF=x+x=2,解得x=x-1,∴DE=2x=2-2.

(2)当E在DA的延长线上时,如解图②.

第1题解图②

过点B作BF⊥DA于点F,根据折叠可知,∠ED′C=∠D=30°,又∵三角形BD′C是等边三角形,∴D′E垂直平分BC,∵AD∥BC.∴D′E⊥AD,∵∠ABC=30°∴∠BAF=30°,又∵AB=2,∴AF=.令D′E与BC的交点为G,则易知EF=BG=BC=1,∴AE=-1,∴DE=+1,综上所述,DE的长度为+1或2-2.

2.或 【解析】在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=5,AC=4,∴BC=3.沿直线EF将∠B折叠,使点B恰好落在BC上的D处,当△ADE恰好为直角三角形时,根据折叠的性质:

BE=DE,设BE=x,则DE=x,AE=5-x,①当∠ADE=90°时,则DE∥BC,∴=,∴=,解得x=;②当∠AED=90°时,则△AED∽△ACB,∴=,∴=,解得x=,故所求BE的长度为:

或.

3.+或1 【解析】①如解图①,当∠B′MC=90°,B′与A重合,M是BC的中点,∴BM=BC=+;②如解图②,当∠MB′C=90°,∵∠A=90°,AB=AC,∴∠C=45°,∴△CMB′是等腰直角三角形,∴CM=MB′.∵沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点为B′,∴BM=B′M,∴CM=BM.∵BC=+1,∴CM+BM=BM+BM=+1,∴BM=1,综上所述,若△MB′C为直角三角形,则BM的长为+或1.

图①

图②

第3题解图

4.或2-2 【解析】①如解图①,当A′D=A′C时,∠A′DC=∠A′CD=30°,∴∠AA′D=60°.又∵∠CAD=30°,∴∠ADA′=90°,在Rt△ADA′中,AA′===,由折叠可得AP=AA′=;

图①

图②

第4题解图

②如解图②,当CD=CA′=4时,连接BD交AC于O,则Rt△COD中,CO=CD×cos30°=4×=2,∴AC=4,∴AA′=AC-A′C=4-4,由折叠可得AP=AA′=2-2;故答案为或2-2.

5.或 【解析】如解图①所示,点E与点C′重合时.在Rt△ABC中,BC==4.由翻折的性质可知;AE=AC=3、DC=DE,则EB=2.设DC=ED=x,则BD=4-x.在Rt△DBE中,DE2+BE2=DB2,即x2+22=(4-x)2.解得x=.∴DE=.

图①

图②

第5题解图

如解图②所示:

∠EDB=90°时.由翻折的性质可知:

AC=AC′,∠C=∠AC′D=90°.∵∠C=∠AC′D=∠CDC′=90°,∴四边形ACDC′为矩形.又∵AC=AC′,∴四边形ACDC′为正方形.∴CD=AC=3.∴DB=BC-DC=4-3=1.∵DE∥AC,∴△BDE∽△BCA.∴==,即=.解得DE=.点D在C

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