福州一中自主招生面向福州以外地区试题数学答案.doc
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福州一中2017年高中招生（面向市区以外）
综合素质测试数学参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
题号
1
2
3
4
5
6
答案
C
C
D
A
B
D
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
7． 8．
9． 10．
11． 12．
三、解答题（本大题共3小题，满分40分）
13.本小题主要考查三角形全等、相似的判定方法；特殊四边形的性质及判定等基础知识，考查识图、辩图、逻辑推理能力，考查几何直观等形象思维．满分13分．
（Ⅰ）法一:
证明：
过作于，于，……………………1分
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵是的角平分线，
∴……………………………………2分
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴
∴……………………………………4分
在和中，
，
∴≌（），……………………………………5分
∴……………………………………6分
法二：
连，由，
两点都在以为直径的圆上，.....................2分
∴.....................3分
∵四边形是正方形，
∴，∴，∴
......................5分
∴……………………………………6分
（Ⅱ）法一：
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴∥，
∴∽，
∴，……………………………………7分
同理，，
∴，
∴，……………………………………9分
∵，，
∴∽……………………………………10分
∴……………………………………11分
∴为定值.…………………………………12分
法二：
连，由，
两点都在以为直径的圆上，..................8分
，......................9分
∵....................11分
∴.....................12分
（或证明）
14.本小题主要考查勾股定理、解直角三角形等基础知识，考查应用意识、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分14分．
解：
在中作于点.…………………2分
在中，
……………………………………3分
………………………………4分
依题意，以点为圆心，12海里为半径的圆形区域为暗礁区域………………5分
∵
所以，如果渔船不改变航线继续航行，有触礁危险.……………………………6分
在上取点使得，连接，.
在中，，
所以，
……………………………8分
在中，
……………………………9分
所以，在中，
……………………………11分
因为该渔船到达点的时间小时.
所以巡逻船速度海里/小时.………………………13分
所以，巡逻船要以北偏东的航向和至少每小时20海里的速度前往拦截.………………………14分（注：
没有取“=”扣1分）
15.本题考查一次函数和二次函数的图像与性质，综合了等腰直角三角形、圆、矩形的性质及垂直平分线的判定，解题过程中利用了图象平移的性质，蕴含了方程思想、化归及数形结合等数学思想．满分14分．
解：
（Ⅰ）法一：
当时即，则有两个不同的实根，
（注：
说明因二次函数开口向上，与轴交于、两点则亦可）……1分
由已知可得，，则
解得或（舍），.......................................3分
............4分
法二：
过作轴于
当时即，则有两个不同的实根，...1分
解得，则
由已知可得，，设直线与轴交于点，
∵，
为等腰直角三角形
即解得
，...................................3分
............4分
（Ⅱ）设交轴于.由题意可得，
，，
∵点和点关于轴对称
，为等腰直角三角形且
由平移的性质可知且...............6分
设，则，
....................8分
解得或，则或....................9分
（Ⅲ）连接，
∵，
为等腰直角三角形
，.......10分
由（Ⅱ）可知，
∵
四边形为矩形
在的垂直平分线上......................11分
过作于，由垂线段最短可知即为线段的最小长度..........12分
当点在处时，在的中点处，当点在处时，在上的点处
由上可知.
则，，，
∵四边形为矩形
得，
∵
即线段的最小长度为..............................14分
市外招生数学答案第5页共5页
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