《导数及其应用》知识点总结.doc
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《导数及其应用》知识点总结
一、导数的概念和几何意义
1.函数的平均变化率:
函数在区间上的平均变化率为:
。
2.导数的定义:
设函数在区间上有定义,,若无限趋近于0时,比值无限趋近于一个常数A,则称函数在处可导,并称该常数A为函数在处的导数,记作。
函数在处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3.求函数导数的基本步骤:
(1)求函数的增量;
(2)求平均变化率:
;(3)取极限,当无限趋近与0时,无限趋近与一个常数A,则.
4.导数的几何意义:
函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率。
由此,可以利用导数求曲线的切线方程,具体求法分两步:
(1)求出在x0处的导数,即为曲线在点处的切线的斜率;
(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为。
当点不在上时,求经过点P的的切线方程,可设切点坐标,由切点坐标得到切线方程,再将P点的坐标代入确定切点。
特别地,如果曲线在点处的切线平行与y轴,这时导数不存在,根据切线定义,可得切线方程为。
5.导数的物理意义:
质点做直线运动的位移S是时间t的函数,则表示瞬时速度,表示瞬时加速度。
二、导数的运算
1.常见函数的导数:
(1)(k,b为常数);
(2)(C为常数);
(3); (4);
(5); (6);
(7); (8)(α为常数);
(9); (10);
(11); (12);
(13); (14)。
2.函数的和、差、积、商的导数:
(1);
(2)(C为常数);
(3);
(4)。
3.简单复合函数的导数:
若,则,即。
三、导数的应用
1.求函数的单调性:
利用导数求函数单调性的基本方法:
设函数在区间内可导,
(1)如果恒,则函数在区间上为增函数;
(2)如果恒,则函数在区间上为减函数;
(3)如果恒,则函数在区间上为常数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤:
①求函数的定义域;②求导数;
③解不等式,解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式,解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围):
设函数在区间内可导,
(1)如果函数在区间上为增函数,则(其中使的值不构成区间);
(2)如果函数在区间上为减函数,则(其中使的值不构成区间);
(3)如果函数在区间上为常数函数,则恒成立。
2.求函数的极值:
设函数在及其附近有定义,如果对附近的所有的点都有(或),则称是函数的极小值(或极大值)。
可导函数的极值,可通过研究函数的单调性求得,基本步骤是:
(1)确定函数的定义域;
(2)求导数;(3)求方程的全部实根,,顺次将定义域分成若干个小区间,并列表:
x变化时,和值的变化情况:
x
…
正负
0
正负
0
正负
单调性
单调性
单调性
(4)检查的符号并由表格判断极值。
3.求函数的最大值与最小值:
如果函数在定义域I内存在,使得对任意的,总有,则称为函数在定义域上的最大值。
函数在定义域内的极值不一定唯一,但在定义域内的最值是唯一的。
求函数在区间上的最大值和最小值的步骤:
(1)求在区间上的极值;
(2)将第一步中求得的极值与比较,得到在区间上的最大值与最小值。
4.解决不等式的有关问题:
(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。
的值域是时,
不等式恒成立的充要条件是,即;
不等式恒成立的充要条件是,即。
的值域是时,
不等式恒成立的充要条件是;
不等式恒成立的充要条件是。
(2)证明不等式可转化为证明,或利用函数的单调性,转化为证明。
5.导数在实际生活中的应用:
实际生活求解最大(小)值问题,通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时,一定要注意,极值点唯一的单峰函数,极值点就是最值点,在解题时要加以说明。
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