《导数及其应用》单元测试题(理科).doc

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《导数及其应用》单元测试题（理科）

（满分150分时间：

120分钟）

一、选择题（本大题共8小题，共40分，只有一个答案正确）

1．函数的导数是（）

（A）（B）（C）（D）

2．函数的一个单调递增区间是（）

（A）（B）（C）（D）

3．已知对任意实数，有，且时，，则时（）

A． B．

C． D．

4．（）

（A）（B）（C）（D）

5．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

6．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

7．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（）

A．B．C．D．

8．设在内单调递增，，则是的（　　）

Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

二．填空题（本大题共6小题，共30分）

9．用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：

1，则该长方体的长、宽、高各为时，其体积最大.

10．将抛物线和直线围成的图形绕轴旋转一周得到的几何体

的体积等于

11．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则＿＿．

12．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　

13．点P在曲线上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为，则的取值范围是

14．已知函数

（1）若函数在总是单调函数，则的取值范围是.

（2）若函数在上总是单调函数，则的取值范围.

（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数的取值范围是.

三．解答题（本大题共6小题，共12+12+14+14+14+14=80分）

15．设函数．

（1）证明：

的导数；

（2）若对所有都有，求的取值范围．

16．设函数分别在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于直线的对称点，.求

（1）求点的坐标；

（2）求动点的轨迹方程.

17．已知函数（x>0）在x=1处取得极值-3-c，其中a,b,c为常数。

（1）试确定a,b的值；

（2）讨论函数f（x）的单调区间；

（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。

18．已知

（1）当时，求函数的单调区间。

（2）当时，讨论函数的单调增区间。

（3）是否存在负实数，使，函数有最小值－3？

19．已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.

20．已知函数，，其中．

（1）若是函数的极值点，求实数的值；

（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围．

理科测试解答

一、选择题

1．;

或（理科要求：

复合函数求导）

2．，选（A）

或

3.（B）数形结合

4．（D）

5．（D）

6．（D）

7．（C）

8．（B）

二、填空题

9．2cm,1cm,1.5cm;设长方体的宽为x（m），则长为2x（m），高为

.

故长方体的体积为

从而

令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.

当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，

故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2m，高为1.5m.

10．.（图略）

11．32

12．，令x=0，求出切线与y轴交点的纵坐标为，所以，则数列的前n项和

13.

14.

（1）

三、解答题

15．解：

（1）的导数．

由于，故．

（当且仅当时，等号成立）．

（2）令，则

，

（ⅰ）若，当时，，

故在上为增函数，

所以，时，，即．

（ⅱ）若，方程的正根为，

此时，若，则，故在该区间为减函数．

所以，时，，即，与题设相矛盾．

综上，满足条件的的取值范围是．

16．解：

（1）由题意知，因此，从而．

又对求导得

．

由题意，因此，解得．

（2）由（I）知（），令，解得．

当时，，此时为减函数；

当时，，此时为增函数．

因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．

（3）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，要使（）恒成立，只需．

即，从而，

解得或．

所以的取值范围为

17．解:

（1）令解得

当时,,当时,,当时,

所以,函数在处取得极小值,在取得极大值,故,

所以,点A、B的坐标为.

（2）设，，

，所以，又PQ的中点在上，所以

消去得.

另法：

点P的轨迹方程为其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；设点（0，2）关于y=2（x-4）的对称点为（a,b）,则点Q的轨迹为以（a,b）,为圆心，半径为3的圆，由，得a=8,b=-2

18

（1）或递减;递增;

（2）1、当

递增;2、当递增;3、当或递增;当递增;当或递增;（3）因由②分两类（依据：

单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：

1、当递增，，解得

2、当由单调性知：

，化简得：

，解得

不合要求；综上，为所求。

19．解

（1）………………………2分

∴曲线在处的切线方程为，即；………4分

（2）过点向曲线作切线，设切点为

则

则切线方程为………………………………………6分

整理得

∵过点可作曲线的三条切线

∴方程（*）有三个不同实数根.

记

令或1.…………………………………………………………10分

则的变化情况如下表

极大

极小

当有极大值有极小值.………………………12分

由的简图知，当且仅当

即时，

函数有三个不同零点，过点可作三条不同切线.

所以若过点可作曲线的三条不同切线，的范围是.…………14分

20．

（1）解法1：

∵，其定义域为，

∴．

∵是函数的极值点，∴，即．

∵，∴．

经检验当时，是函数的极值点，

∴．　

解法2：

∵，其定义域为，

∴．

令，即，整理，得．

∵，

∴的两个实根（舍去），，

当变化时，，的变化情况如下表：

—

0

＋

极小值

依题意，，即，

∵，∴．

（2）解：

对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．

当［1，］时，．

∴函数在上是增函数．

∴．

∵，且，．

①当且［1，］时，，

∴函数在［1，］上是增函数，

∴.

由≥，得≥，

又，∴不合题意．

②当1≤≤时，

若1≤＜，则，

若＜≤，则．

∴函数在上是减函数，在上是增函数．

∴.

由≥，得≥，

又1≤≤，∴≤≤．

③当且［1，］时，，

∴函数在上是减函数．

∴.

由≥，得≥，

又，∴．

综上所述，的取值范围为．