《复数》知识点总结.doc

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《复数》知识点总结

1、复数的概念

形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位，满足，叫做复数的实部，叫做复数的虚部.

（1）纯虚数：

对于复数，当时，叫做纯虚数.

（2）两个复数相等：

相等的充要条件是.

（3）复平面：

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴.

（4）复数的模：

复数可以用复平面内的点表示，向量的模叫做复数的模，表示为：

（5）共轭复数：

两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.

2、复数的四则运算

（1）加减运算：

；

（2）乘法运算：

；

（3）除法运算：

；

（4）的幂运算：

，，，.

（5）

3、规律方法总结

（1）对于复数必须强调均为实数，方可得出实部为，虚部为

（2）复数是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识

（3）对于两个复数，若不全是实数，则不能比较大小，在复数集里一般没有大小之分，但却有相等与不等之分.

（4）数系扩充后，数的概念由实数集扩充到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、关系就不一定适用了，如绝对值的性质、绝对值的定义、偶次方非负等

1、基本概念计算类

例1．若且为纯虚数，则实数a的值为_________

解：

因为，＝，

又为纯虚数，所以，3a－8＝0，且6＋4a0。

2、复数方程问题

例2．证明：

在复数范围内，方程（i为虚数单位）无解

证明：

原方程化简为设z＝x＋yi（x、y），代入上述方程得整理得

方程无实数解，所以原方程在复数范围内无解。

3、综合类

例3．设z是虚数，是实数，且－1<<2

（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；

（2）设，求证：

M为纯虚数；

（3）求的最小值。

解：

（1）设z＝a＋bi（a，b）

因为，是实数，

所以，，即|z|＝1，因为＝2a，－1<<2，

所以，z的实部的取值范围（－）

（2）＝（这里利用了

（1）中）。

因为a（－），，所以M为纯虚数

（3）

因为，a（－），所以，a＋1>0，所以2×2－3＝1，

当a＋1＝，即a＝0时上式取等号，所以，的最小值是1。

4、创新类

例4．对于任意两个复数）定义运算“⊙”为

⊙＝，设非零复数在复平面内对应的点分别为,点O为坐标原点，若⊙＝0，则在中，的大小为_________.

解法一：

（解析法）设，故得点，，且＝0，即

从而有＝故,也即

解法二：

（用复数的模）同法一的假设，知

＝＋－2（）＝＋－2×0

＝＋＝＋

由勾股定理的逆定理知

解法三：

（用向量数量积的知识）同法一的假设，知，则有

故

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