-高考数学全国卷分类汇编解析几何.doc

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HW数学复习资料2010-2017新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何

2010-2017新课标全国卷分类汇编（解析几何）

1．（2017课标全国Ⅰ，理10）已知为抛物线：

的交点，过作两条互相垂直，，直线与交于、两点，直线与交于，两点，的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设倾斜角为．作垂直准线，垂直轴

易知

同理，，

又与垂直，即的倾斜角为

，而，即．

，当取等号，即最小值为，故选A

2．（2017课标全国Ⅰ，理15）已知双曲线，（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为_______．

【答案】

【解析】如图，

，

∵，∴，

∴

又∵，∴，解得

∴

3．（2017课标全国Ⅰ，理20）（12分）已知椭圆：

，四点，，，中恰有三点在椭圆上．

（1）求的方程；

（2）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：

过定点．

【解析】

（1）根据椭圆对称性，必过、又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点

将代入椭圆方程得

，解得，

∴椭圆的方程为：

．

（2）当斜率不存在时，设

得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．

当斜率存在时，设，

联立，整理得

，，

则

又，此时，存在使得成立．

∴直线的方程为

当时，，所以过定点．

4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，

即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．

【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式

【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．

5．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则.

【答案】6

【解析】

试题分析：

如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：

，结合题意，有，故．

【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．

【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．

6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12分）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且.证明：

过点且垂直于的直线过的左焦点.

解：

（1）设，则，将点代入中得，所以点的轨迹方程为.

（2）由题可知，设，则，

.由得，由

（1）有，则有，所以，即过点

且垂直于的直线过的左焦点.

7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为

A．3B．2C．1D．0

【答案】B

【解析】表示圆上所有点的集合，表示直线上所有点的集合，

故表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即元素的个数为2，故选B.

8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C（a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为，则①

又∵椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则②

由①②解得，则双曲线的方程为，故选B.

9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C：

，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】∵以为直径为圆与直线相切，∴圆心到直线距离等于半径，

∴

又∵，则上式可化简为

∵，可得，即

∴，故选A

10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（）

A．3 B． C． D．2

【答案】A

【解析】由题意，画出右图．

设与切于点，连接．

以为原点，为轴正半轴，

为轴正半轴建立直角坐标系，

则点坐标为．

∵，．

∴．

∵切于点．

∴⊥．

∴是中斜边上的高．

即的半径为．

∵在上．

∴点的轨迹方程为．

设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：

而，，．

∵

∴，．

两式相加得：

（其中，）

当且仅当，时，取得最大值3．

11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C：

y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）证明：

坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.

解：

（1）设

由可得

又=4

因此OA的斜率与OB的斜率之积为

所以OA⊥OB

故坐标原点O在圆M上.

（2）由

（1）可得

故圆心M的坐标为，圆M的半径

由于圆M过点P（4，-2），因此,故

即

由

（1）可得，

所以，解得.

当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为（3,1），圆M的半径为，圆M的方程为

当时，直线l的方程为，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为

12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则的取值范围是

（A） （B） （C） （D）

【解析】：

表示双曲线，则，∴

由双曲线性质知：

，其中是半焦距，∴焦距，解得

∴，故选A．

13.（2016课标全国Ⅰ，理10）以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知,，则的焦点到准线的距离为

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

【解析】：

以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理

设抛物线为，设圆的方程为，如图：

F

设，，点在抛物线上，

∴……①；点在圆上，

∴……②；点在圆上，

∴……③；联立①②③解得：

，

焦点到准线的距离为．故选B．

14.（2016课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）

设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．

（Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；

（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．

【解析】：

⑴ 圆A整理为，A坐标，如图，

，则，由，

则，

根据椭圆定义为一个椭圆，方程为，（）；

⑵ ；设，因为，设，

联立：

，则

圆心到距离，

所以，

15.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆的圆心到直线的距离为1，则a=（）

（A）（B）（C）（D）2

16.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则E的离心率为（）

（A）（B）（C）（D）2

17.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．

（Ⅰ）当时，求的面积；（Ⅱ）当时，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.

试题解析：

（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.

将代入得.解得或，所以.

因此的面积.

（II）由题意，，.

将直线的方程代入得.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得，

由得，即.

当时上式不成立，

因此.等价于，

即.由此得，或，解得.

因此的取值范围是.

考点：

椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.

18.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知为坐标原点，是椭圆：

的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（）

（A） （B） （C） （D）

【答案】A

考点：

椭圆方程与几何性质．

【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：

（1）直接求得的值，进而求得的值；

（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；（3）通过特殊值或特殊位置，求出．

19.（2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线：

与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.

【答案】4

考点：

直线与圆的位置关系．

【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．

20.（2016课标全国Ⅲ，理20）（本小题满分12分）

已知抛物线：

的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

（I）若在线段上，是的中点，证明；

（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

试题解析：

由题设.设，则，且

.

记过两点的直线为，则的方程为......3分

（Ⅰ）由于在线段上，故.

记的斜率为，的斜率为，则，

所以.......5分

（Ⅱ）设与轴的交点为，

则.

由题设可得，所以（舍去），.

设满足条件的的中点为.

当与轴不垂直时，由可得.

而，所以.

当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为.....12分

考点：

1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．

【方法归纳】

（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；

（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．

21.（2015课标全国Ⅰ，理5）已知是双曲线上的一点，是的两个焦点，若,则的

取值范围是

（A）（B）（C）（D）

答案：

A

解析：

由条件知F1（－，0），F2（，0），＝（－－x0，－y0），＝（－x0，－y0），

－3＜0. ①

又＝1，＝2+2.代入①得，∴－＜y0＜

22.（2015课标全国Ⅰ，理14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为

答案：

+y2＝

解析：

由条件知圆经过椭圆的三