3211三角函数式的化简.docx
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3211三角函数式的化简
1.【题目】已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值.
【考点】三角函数式的化简
【解析】
(1)f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1
=sin2x-cos2x=sin,因此,函数f(x)的最小正周期为π.
(2)因为f(x)=sin在区间上为增函数,在区间上为减函数,
又f=0,f=,f=sin=-cos=-1,
故函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-1.
【答案】
(1)
(2)-1
【难度】中档题
【题型】解答题
【来源】
2.【题目】已知函数f(x)=sin+2sin2(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.
【考点】三角函数式的化简
【解析】
(1)∵f(x)=sin2+1-cos2
=2+1=2sin+1
=2sin+1,∴T==π.
(2)当f(x)取得最大值时,sin=1,
有2x-=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z),
∴所求x的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.
【答案】
(1)
(2){x|x=kπ+,k∈Z}
【难度】中档题
【题型】解答题
【来源】
3.【题目】函数f(x)=sinx-cosx,x∈的最小值为( )
A.-2B.-C.-D.-1
【考点】三角函数式的化简
【解析】f(x)=sin,x∈.∵-≤x-≤,
∴f(x)min=sin=-1.
【答案】D
【难度】基础题
【题型】选择题
【来源】
4.【题目】函数f(x)=2sinsin的最大值等于( )
A.B.C.1D.2
【考点】三角函数式的化简
【解析】f(x)=2sin
=sinx-sin2=sinx-=sinx+cosx-=sin-.
∴f(x)max=.
【答案】A
【难度】基础题
【题型】选择题
【来源】
5.【题目】求函数f(x)=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值.
【考点】三角函数式的化简
【解析】3sin(x+20°)+5sin(x+80°)
=3sin(x+20°)+5sin(x+20°)cos60°+5cos(x+20°)sin60°
=sin(x+20°)+cos(x+20°)=sin(x+20°+φ)
=7sin其中cosφ=,sinφ=.所以f(x)max=7.
【答案】7
【难度】中档题
【题型】解答题
【来源】
6.【题目】已知180°<α<360°,则cos的值等于( )
A.-B.
C.-D.
【考点】三角函数式的化简
【解析】由,又180°<α<360°,所以cos=-。
【答案】C
【难度】基础题
【题型】选择题
【来源】
7.【题目】使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数的θ的一个值是( )
A.B.C.D.
【考点】三角函数式的化简
【解析】f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin.
当θ=时,f(x)=2sin(2x+π)=-2sin2x为奇函数.
【答案】D
【难度】基础题
【题型】选择题
【来源】
8.【题目】函数f(x)=sinx-cosx(x∈[-π,0])的单调递增区间是( )
A.B.C.D.
【考点】三角函数式的化简
【解析】f(x)=2sin,f(x)的单调递增区间为
(k∈Z),因为x∈[-π,0],
所以令k=0得单调递增区间为.
【答案】D
【难度】基础题
【题型】选择题
【来源】
9.【题目】函数f(x)=sin4x+cos2x的最小正周期是( )
A.B.C.πD.2π
【考点】三角函数式的化简
【解析】f(x)=sin4x+1-sin2x=sin4x-sin2x+1=-sin2x(1-sin2x)+1=1-sin2xcos2x=1-sin22x
=1-×=cos4x+,∴T==.
【答案】B
【难度】基础题
【题型】选择题
【来源】
10.【题目】函数f(x)=sin(2x-)-2sin2x的最小正周期是______.
【考点】三角函数式的化简
【解析】f(x)=sin2x-cos2x-(1-cos2x)
=sin2x+cos2x-=sin(2x+)-,∴T==π.
【答案】π
【难度】基础题
【题型】填空题
【来源】
11.【题目】已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)当x∈时,求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合.
【考点】三角函数式的化简
【解析】
(1)f(x)=(cos4x-sin4x)-2sinxcosx
=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=cos.
∴T==π,∴f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤,∴≤2x+≤,∴当2x+=π,即x=时,
f(x)min=-,f(x)取最小值时x的集合为.
【答案】
(1)π
(2)
【难度】中档题
【题型】解答题
【来源】
12.【题目】已知函数f(x)=4cosxsin-1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
【考点】三角函数式的化简
【解析】
(1)因为f(x)=4cosxsin-1=4cosx-1
=4cosx-1=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x
=2sin,所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为-≤x≤,所以-≤2x+≤.
于是,当2x+=,即x=时,f(x)取得最大值2;
当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-1.
【答案】
(1)π
(2)2-1
【难度】中档题
【题型】解答题
【来源】
13.【题目】已知函数f(x)=(1+)sin2x-2sinsin.
(1)若tanα=2,求f(α);
(2)若x∈,求f(x)的取值范围.
【考点】三角函数式的化简
【解析】
(1)f(x)=sin2x+sinxcosx+cos2x=+sin2x+cos2x
=(sin2x+cos2x)+,
由tanα=2得sin2α===,
cos2α===-,所以f(α)=×+=.
(2)由
(1)得f(x)=(sin2x+cos2x)+=sin+,
由x∈得2x+∈,所以sin∈,
从而f(x)=sin+∈.
【答案】
(1)
(2).
【难度】较难题
【题型】解答题
【来源】
14.【题目】当-≤x≤时,函数y=sinx+cosx的最大值和最小值分别为( )
A.1,-1B.1,-
C.2,D.2,0
【考点】三角函数式的化简
【解析】y=sinx+cosx=2sin,而-≤x≤,∴x+∈,故sin∈[0,1],从而y∈[0,2],因此选D.
【答案】D
【难度】中档题
【题型】选择题
【来源】
15.【题目】函数y=sin2x的最小正周期为________.
【考点】三角函数式的化简
【解析】∵y=sin2x==-cos2x+.
∴T==π.
【答案】π
【难度】中档题
【题型】填空题
【来源】
16.【题目】已知f(x)=,若α∈,则f(cosα)+f(-cosα)可化简为________.
【考点】三角函数式的化简
【解析】f(cosα)+f(-cosα)=+=+=.
【答案】
【难度】较难题
【题型】填空题
【来源】
17.【题目】使函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为奇函数的θ的一个值是( )
A.B.
C.D.
【考点】三角函数式的化简
【解析】f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)
=2sin.
当θ=π时,f(x)=2sin(2x+π)=-2sin2x.
【答案】D
【难度】中档题
【题型】选择题
【来源】2012·佛山高一检测
18.【题目】化简:
(0<θ<π).
【考点】三角函数式的化简
【解析】原式=
=
=-.
∵0<θ<π,∴0<<,∴cos>0,∴原式=-cosθ.
【答案】-cosθ
【难度】较难题
【题型】解答题
【来源】
19.【题目】化简.
【考点】三角函数式的化简
【解析】由tan=
==
则原式=
==1.
【答案】1.
【难度】中档题
【题型】解答题
【来源】
20.【题目】已知函数y=cos2x+sinxcosx+1.x∈R.
(1)当自变量y取得最大值时,求自变量x的集合;
(2)求函数的单调递增区间.
【考点】三角函数式的化简
【解析】
(1)y=cos2x+sinxcosx+1
=×+×sin2x+1
=+=sin+.
当函数y取得最大值时,2x+=2kπ+(k∈Z)即x=kπ+(k∈Z).故y取得最大值时,自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}.
(2)由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故函数的单调递增区间是(k∈Z).
【答案】见解析
【难度】中档题
【题型】解答题
【来源】
21.【题目】函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是( )
A.B.C.πD.2π
【考点】三角函数式的化简
【解析】∵f(x)=|sinx+cosx|,
∴f(x)=.
∵f(x+π)==f(x),
∴f(x)的最小正周期为π.
【答案】C
【难度】中档题
【题型】选择题
【来源】
22.【题目】化简=________.
【考点】三角函数式的化简
【解析】原式===.
∵<θ<2π,∴π<<π,∴原式=sin.
【答案】sin
【难度】中档题
【题型】填空题
【来源】
23.【题目】已知π<α<,化简:
+.
【考点】三角函数式的化简
【解析】原式=
+,
∵π<α<,∴<<,
∴cos<0,sin>0.
∴原式=+
=-+
=-cos.
【答案】-cos.
【难度】较难题
【题型】解答题
【来源】