-江苏省苏州市高二上期末数学试卷.doc

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2016-2017学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷

一、填空题：

（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．（5分）命题“∃x∈R，x2＞9”的否定是　　．

2．（5分）抛物线y2=2x的焦点坐标为　　．

3．（5分）过点P（0，1），且与直线2x+3y﹣4=0垂直的直线方程为　　．

4．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0与两条坐标轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则△ABO的面积等于　　．

5．（5分）函数y=x3﹣2x2+x的单调递减区间为　　．

6．（5分）“m=﹣1”是“直线l1：

mx﹣2y﹣1=0和直线l2：

x﹣（m﹣1）y+2=0相互平行”的　　条件．（用“充分不必要”，“必要不充分条件”，“充要”，“既不充分也不必要”填空）

7．（5分）函数y=x2﹣x﹣lnx在区间[1，3]上的最小值等于　　．

8．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：

①AD∥平面PBC；

②平面PAC⊥平面PBD；

③平面PAB⊥平面PAC；

④平面PAD⊥平面PDC．

其中正确的结论序号是　　．

9．（5分）已知圆C：

x2+y2﹣4x﹣2y+1=0上存在两个不同的点关于直线x+ay﹣1=0对称，过点A（﹣4，a）作圆C的切线，切点为B，则|AB|=　　．

10．（5分）已知圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为　　．

11．（5分）已知函数在区间（m，m+2）上单调递减，则实数m的取值范围为　　．

12．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：

ax+y+2=0和点A（﹣3，0），若直线l上存在点M满足MA=2MO，则实数a的取值范围为　　．

13．（5分）在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是　　．

14．（5分）已知F是椭圆的左焦点，A，B为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交与点M，与y轴交与点E，直线BM与y轴交于点N，若NE=2ON，则椭圆C的离心率为　　．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

15．（14分）已知圆M的圆心在直线y=﹣x上，且经过点A（﹣3，0），B（1，2）．

（1）求圆M的方程；

（2）直线l与圆M相切，且l在y轴上的截距是在x轴上截距的两倍，求直线l的方程．

16．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为矩形，平面CDD1C1⊥平面ABCD，E，F分别是CD，AB的中点，求证：

（1）AD⊥CD；

（2）EF∥平面ADD1A1．

17．（14分）从旅游景点A到B有一条100km的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为50km/h，当游轮的速度为10km/h时，燃料费用为每小时60元，设游轮的航速为vkm/h，游轮从A到B一个单程航行的总费用为S元．

（1）将游轮从A到B一个单程航行的总费用S表示为游轮的航速v的函数S=f（v）；

（2）该游轮从A到B一个单程航行的总费用最少时，游轮的航速为多少，并求出最小总费用．

18．（16分）已知椭圆C：

+=1（a＞b＞0）上的左、右顶点分别为A，B，F1为左焦点，且|AF1|=2，又椭圆C过点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P和Q分别在椭圆C和圆x2+y2=16上（点A，B除外），设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1=，证明：

A，P，Q三点共线．

19．（16分）已知函数f（x）=a（x﹣1）﹣lnx（a为实数），g（x）=x﹣1，h（x）=．

（1）当a=1时，求函数f（x）=a（x﹣1）﹣lnx在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）讨论函数f（x）的单调性；

（3）若h（x）=f（x），求实数a的值．

20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，圆O：

x2+y2=1，P为直线l：

x=t（1＜t＜2）上一点．

（1）已知t=．

①若点P在第一象限，且OP=，求过点P的圆O的切线方程；

②若存在过点P的直线交圆O于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的取值范围；

（2）设直线l与x轴交于点M，线段OM的中点为Q，R为圆O上一点，且RM=1，直线RM与圆O交于另一点N，求线段NQ长的最小值．

第二卷（附加题.每题10分。

）

21．求曲线f（x）=在x=2处的切线与x轴交点A的坐标．

22．已知点P是圆x2+y2=1上的一个动点，定点M（﹣1，2），Q是线段PM延长线上的一点，且，求点Q的轨迹方程．

23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．

（Ⅰ）证明：

BE⊥DC；

（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

24．如图，已知抛物线y2=4x，过点P（2，0）作斜率分别为k1，k2的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点

（1）若k1+k2=0，，求线段MN的长；

（2）若k1•k2=﹣1，求△PMN面积的最小值．

2016-2017学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：

（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．（5分）命题“∃x∈R，x2＞9”的否定是　∀x∈R，x2≤9　．

【解答】解：

命题“∃x∈R，x2＞9”的否定是命题“∀x∈R，x2≤9”，

故答案为：

∀x∈R，x2≤9．

2．（5分）抛物线y2=2x的焦点坐标为　　．

【解答】解：

抛物线y2=2x的焦点在x轴的正半轴上，且p=1，∴=，故焦点坐标为（，0），

故答案为：

（，0）．

3．（5分）过点P（0，1），且与直线2x+3y﹣4=0垂直的直线方程为　3x﹣2y+2=0　．

【解答】解：

∵直线2x+3y﹣4=0的斜率k=﹣，

∴与直线2x+3y﹣4=0垂直的直线的斜率为．

则点P（0，1），且与直线2x+3y﹣4=0垂直的直线方程为y﹣1=×（x﹣0），

整理得：

3x﹣2y+2=0．

故答案为：

3x﹣2y+2=0．

4．（5分）直线3x﹣4y﹣12=0与两条坐标轴分别交于点A，B，O为坐标原点，则△ABO的面积等于　6　．

【解答】解：

直线3x﹣4y﹣12=0与两条坐标轴分别交于点A（4，0），B（0，﹣3），

∴S△ABO==6．

故答案为：

6．

5．（5分）函数y=x3﹣2x2+x的单调递减区间为　（，1）　．

【解答】解：

y′=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），

令y′＜0，解得：

＜x＜1，

故函数在（，1）递减，

故答案为：

（，1）．

6．（5分）“m=﹣1”是“直线l1：

mx﹣2y﹣1=0和直线l2：

x﹣（m﹣1）y+2=0相互平行”的　充分不必要　条件．（用“充分不必要”，“必要不充分条件”，“充要”，“既不充分也不必要”填空）

【解答】解：

若直线l1：

mx﹣2y﹣1=0和直线l2：

x﹣（m﹣1）y+2=0相互平行，

则m（m﹣1）=2，解得：

m=2或m=﹣1，

故m=﹣1是直线平行的充分不必要条件，

故答案为：

充分不必要．

7．（5分）函数y=x2﹣x﹣lnx在区间[1，3]上的最小值等于　0　．

【解答】解：

y′=2x﹣1﹣=，

由x∈[1，3]，

故y′≥0在[1，3]恒成立，

故函数在[1，3]递增，

x=1时，函数取最小值，

函数的最小值是0，

故答案为：

0．

8．（5分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，则下列结论：

①AD∥平面PBC；

②平面PAC⊥平面PBD；

③平面PAB⊥平面PAC；

④平面PAD⊥平面PDC．

其中正确的结论序号是　①②④　．

【解答】解：

①由底面为正方形，可得AD∥BC，

AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，

可得AD∥平面PBC；

②在正方形ABCD中，AC⊥BD，

PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD，

PA∩AC=A，可得BD⊥平面PAC，

BD⊂平面PBD，即有平面PAC⊥平面PBD；

③PA⊥底面ABCD，可得PA⊥AB，PA⊥AC，

可得∠BAC为二面角B﹣PA﹣C的平面角，

显然∠BAC=45°，故平面PAB⊥平面PAC不成立；

④在正方形ABCD中，可得CD⊥AD，

PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD，

PA∩AD=A，可得CD⊥平面PAD，

CD⊂平面PCD，即有平面PAD⊥平面PDC．

综上可得，①②④正确．

故答案为：

①②④．

9．（5分）已知圆C：

x2+y2﹣4x﹣2y+1=0上存在两个不同的点关于直线x+ay﹣1=0对称，过点A（﹣4，a）作圆C的切线，切点为B，则|AB|=　6　．

【解答】解：

∵圆C：

x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2=4，

表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．

由题意可得，直线l：

x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），

故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．

∵AC==2，CB=R=2，

∴切线的长|AB|==6．

故答案为6．

10．（5分）已知圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，若圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，则圆柱甲和圆锥乙的体积之比为　24　．

【解答】解：

∵圆柱甲的底面半径R等于圆锥乙的底面直径，

圆柱甲的高为R，圆锥乙的侧面积为，

∴，解得l=，

∴圆锥乙的高h==，

∴圆柱甲和圆锥乙的体积之比为：

==24．

故答案为：

24．

11．（5分）已知函数在区间（m，m+2）上单调递减，则实数m的取值范围为　[﹣1，1]　．

【解答】解：

f′（x）=，

令f′（x）＜0，解得：

﹣1＜x＜3，

故f（x）在（﹣1，3）递减，

故（m，m+2）⊆（﹣1，3），

故，解得：

﹣1≤m≤1，

故答案为：

[﹣1，1]．

12．（5分）在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：

ax+y+2=0和点A（﹣3，0），若直线l上存在点M满足MA=2MO，则实数a的取值范围为　a≤0，或a≥　．

【解答】解：

取M（x，﹣2﹣ax），

∵直线l上存在点M满足MA=2MO，

∴=2，

化为：

（a2+1）x2+（4a﹣2）x+1=0，此方程有实数根，

∴△=（4a﹣2）2﹣4（a2+1）≥0，

化为3a2﹣4a≥0，

解得a≤0，或a≥．

故答案为：

a≤0，或a≥．

13．（5分）在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是　﹣2　．

【解答】解：

y=2alnx的导数为y′=，

由于直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，

则设切点为（m，n），

则2=，n=2m+b，n=2alnm，

即有b=2alna﹣2a（a＞0），

b′=2（lna+1）﹣2=2lna，

当a＞1时，b′＞0，函数b递增，

当0＜a＜1时，b′＜0，函数b递减，即有a=1为极小值点，

也为最小值点，且最小值为：

2ln1﹣2=﹣2．

故答案为：

﹣2．

14．（5分）已知F是椭圆的左焦点，A，B为椭圆C的左、右顶点，点P在椭圆C上，且PF⊥x