A01-2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷(带解析).doc

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2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷

一、填空题

1．已知集合，集合，则.

2．命题“”的否定是.

3．已知复数满足（为虚数单位），则.

4．下图是某算法的流程图，其输出值是.

5．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为.

6．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为.

7．已知点在不等式表示的平面区域上运动，则的最大值是.

8．曲线在点处的切线方程是.

9．在等差数列中，，则数列的前项和.

10．如图，在中，、分别为边、的中点.为边上的点，且，若，，则的值为.

11．设函数是定义在上的偶函数，当时，.若，则实数的值为.

12．已知四边形是矩形，，，是线段上的动点，是的中点．若为钝角，则线段长度的取值范围是.

13．如图，已知过椭圆的左顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为.

14．已知函数，若存在实数、、、，满足，其中，则的取值范围是.

二、解答题

15．在锐角中，、、所对的边分别为、、．已知向量，

，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积．

16．如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面，为中点．

（1）求证：

平面；

（2）若，求证：

平面.

17．如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？

并求出其最大面积.

18．已知椭圆的中心在坐标原点，右准线为，离心率为．若直线与椭圆交于不同的两点、，以线段为直径作圆.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若圆与轴相切，求圆被直线截得的线段长.

19．已知无穷数列中，、、、构成首项为2，公差为－2的等差数列，、、、，构成首项为，公比为的等比数列，其中，.

（1）当，，时，求数列的通项公式；

（2）若对任意的，都有成立．

①当时，求的值；

②记数列的前项和为．判断是否存在，使得成立？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

20．已知函数（为常数）．

（1）当时，求的单调递减区间；

（2）若，且对任意的，恒成立，求实数的取值范围.

21．如图，、是圆的半径，且，是半径上一点：

延长交圆于点，过作圆的切线交的延长线于点.求证：

.

22．在平面直角坐标系中，直线在矩阵对应的变换作用下得到直线，求实数、的值．

23．在极坐标系中，求圆上的点到直线的距离的最大值．

24．解不等式.

25．在底面边长为2，高为1的正四棱柱中，、分别为、的中点．

（1）求异面直线、所成的角；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

26．将编号为1，2，3，4的四个小球，分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记为四个小球得分总和．

（1）求时的概率；

（2）求的概率分布及数学期望．

试卷第3页，总3页

2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷参考答案

1．或

【解析】，，.

考点：

集合的交集运算

2．

【解析】由全称命题的否定知，命题“”的否定是“”.考点：

命题的否定

3．.

【解析】，，.

考点：

复数的除法运算、复数的模

4．

【解析】第一次循环，，不成立，执行第二次循环；，不成立，执行第三次循环；第三次循环，，不成立，执行第四次循环；第四次循环，，成立，跳出循环体，输出的值为.

考点：

算法与程序框图

5．

【解析】利用、表示第一次和第二次从袋子中抽取的球的编号，用表示其中一个基本事件，则事件总体所包含的基本事件有：

，，，，，，共个；事件“取出的两个球的编号大于”所包含的基本事件有：

，，共个，所以事件“取出的两个球的编号大于”发生的概率.

考点：

古典概型

6．

【解析】设圆柱的底面半径为，高为，底面积为，体积为，则有，故底面面积，故圆柱的体积.

考点：

圆柱的体积

7．

【解析】如下图所示，不等式组所表示的可行域如下图中的阴影部分表示，在直线方程，令，解得，得点的坐标为，作直线，其中可视为直线在轴上的截距，当直线经过区域中的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.

考点：

线性规划

8．或

【解析】,，当时，，故曲线在点处的切线方程是，即或.

考点：

利用导数求函数图象的切线方程

9．

【解析】设等差数列的首项与公差的方程组，则有，解得，故.

考点：

等差数列的前项和

10．

【解析】为的中点，，，，，.考点：

平面向量的基底表示

11．

【解析】当时，，解得；当时，，由于函数是偶函数，，解得，综上所述，.

考点：

函数的奇偶性

12．

【解析】法一：

如下图所示，设，则，由勾股定理易得，，，，，由于为钝角，则，则有，即，即，解得；

法二：

如下图所示，设，则，以点为坐标原点，、所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则，，，，，是钝角，则，即，整理得，解得，且、、三点不共线，故有，解得.

考点：

余弦定理、勾股定理、平面向量的数量积

13．

【解析】由于为等腰三角形，且，故有，则点的坐标为，设点的坐标为，，，

，则有，解得，即点的坐标为，将点的坐标代入椭圆的方程得，解得，即，，.考点：

共线向量、椭圆的离心率

14．

【解析】如下图所示，

由图形易知，，则，，，，，令，即，解得或，而二次函数的图象的对称轴为直线，由图象知，，，点和点均在二次函数的图象上，故有，，由于，当时，，，，，，，由于函数在上单调递减，且，，，，，，即.

考点：

函数的图象、对数函数、二次函数的单调性

15．

（1）；

（2）.

【解析】

（1）先根据平面向量垂直的等价条件得到等式，再利用弦化切的思想求出的值，最终在求出角的值；

（2）解法一：

在角的大小确定的前提下，利用正弦定理与同角三角函数之间的关系求出和，并利用结合和角公式求出的值，最后利用面积公式求出的面积；解法二：

利用余弦定理求出的值，并对的值进行检验，然后面积公式求出的面积.

（1）因为，所以，则，4分

因为，所以，则，所以7分

（2）解法一：

由正弦定理得，又，，，

则，因为为锐角三角形，所以，9分

因为，12分

所以14分

解法二：

因为，，，

所以由余弦定理可知，，即，解得或，

当时，，所以，不合乎题意；

当时，，所以，合乎题意；

所以14分

考点：

正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式

16．

（1）详见解析；

（2）详见解析.

【解析】

（1）根据平行四边形对角线互相平分的这个性质先连接，找到与的交点为的中点，利用三角形的中位线平行于底边证明，最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面；

（2）先证明平面，得到，再由已知条件证明，最终利用直线与平面垂直的判定定理证明平面.

试题解析：

（1）连接交于点，连接，

因为底面是平行四边形，所以点为的中点，

又为的中点，所以，4分

因为平面，平面，所以平面6分

（2）因为平面，平面，所以，8分

因为，，平面，平面，所以平面，

因为平面，所以，10分

因为平面，平面，所以，12分

又因为，，平面，平面，

所以平面14分

考点：

直线与平面平行、直线与平面垂直

17．当休闲广场的长为米，宽为米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为平方米.

【解析】先将休闲广场的长度设为米，并将宽度也用进行表示，并将绿化区域的面积表示成的函数表达式，利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值，但是要注意基本不等式适用的三个条件.

试题解析：

设休闲广场的长为米，则宽为米，绿化区域的总面积为平方米，

6分

，8分

因为，所以，

当且仅当，即时取等号12分

此时取得最大值，最大值为.

答：

当休闲广场的长为米，宽为米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为平方米.14分

考点：

矩形的面积、基本不等式

18．

（1）；

（2）.

【解析】

（1）先根据题中的条件确定、的值，然后利用求出的值，从而确定椭圆的方程；

（2）先确定点的坐标，求出圆的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.

试题解析：

（1）设椭圆的方程为，由题意知，，解得，

则，，故椭圆的标准方程为5分

（2）由题意可知，点为线段的中点，且位于轴正半轴，

又圆与轴相切，故点的坐标为，

不妨设点位于第一象限，因为，所以，7分

代入椭圆的方程，可得，因为，解得，10分

所以圆的圆心为，半径为，其方程为12分

因为圆心到直线的距离14分

故圆被直线截得的线段长为16分

考点：

椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理

19．

（1）数列的通项公式为；

（2）①的值为或；②详见解析.

【解析】

（1）根据数列的定义求出当时数列的通项公式，注意根据的取值利用分段数列的形式表示数列的通项；

（2）①先确定是等差数列部分还是等比数列部分中的项，然后根据相应的通项公式以及数列的周期性求出的值；②在

（1）的基础上，先将数列的前项和求出，然后利用周期性即可求出，构造，利用定义法求出的最大值，从而确定和的最大值，进而可以确定是否存在，使得.

试题解析：

（1）当时，由题意得，2分

当时，由题意得，4分

故数列的通项公式为5分

（2）①因为无解，所以必不在等差数列内，

因为，所以必在等比数列内，且等比数列部分至少有项，

则数列的一个周期至少有项，7分

所以第项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内，

若时，则，得，

若，则，得，

故的值为或9分

②因为，，

所以，12分

记，则，

因为，所以，即，14分

故时，取最大，最大值为，

从而的最大值为，不可能有成立，故不存在满足条件的实数16分

考点：

等差数列和等比数列的通项公式及前项和、数列的周期性、数列的单调性

20．

（1）函数的单调递减区间为；

（2）实数的取值范围是.

【解析】

（1）将代入函数解析式并求出相应的导数，利用导数并结合函数的定义域便可求出函数的