1998年全国Ⅱ高考数学试题文.doc

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1998年普通高等数学招生全国统一考试（全国Ⅱ）

文科数学

参考公式：

三角函数的积化和差公式：

正棱台、圆台的侧面积公式

其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长．

球的体积公式：

，其中表示球的半径．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：

本大题共15小题，第1－10题第小题4分，第11－15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．的值是

A． B． C． D．

y

x

O

y

x

O

1

y

x

O

1

y

x

O

1

2．函数的图像是

A． B． C． D．

3．已知直线和圆相切，那么的值是

A．5 B．4C．3 D．2

4．两条直线，垂直的充要条件是

A．B． C． D．

5．函数的反函数＝

A． B． C． D．

6．已知点在第一象限，则在内的取值范围是

A． B．

C． D．

7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为

A．120° B．150° C．180° D．240°

8．复数的一个立方根是，它的另外两个立方根是

A． B． C． D．

9．如果棱台的两底面积分别是，，中截面的面积是，那么

A． B．

C． D．

12．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有

A．6种 B．12种 C．18种 D．24种

h

v

H

11．向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图像如右图所示，那么水瓶的形状是

A． B． C． D．

12．椭圆的焦点为，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么点的纵坐标是

A． B． C． D．

13．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为

A． B． C．2 D．

14．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角正弦值为

A． B． C． D．

15．等比数列的公比为，前项和满足，那么的值为

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：

用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．

A

B

C

D

A1

D1

B1

C1

16．设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是．

17．的展开式中的系数为（用数字作答）．

18．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件时，有．（注：

填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）

19关于函数，有下列命题：

①由可得必是的整数倍；②的表达式可改写为；③的图像关于点对称；④的图像关于直线对称．其中正确的命题的序号是．（注：

把你认为正确的命题的序号都填上．）

三、解答题：

本大题共6小题，共69分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

20．（本小题满分10分）设，解关于的不等式．

21．（本小题满分11分）在△中，、、分别是角、、的对边，设，．求的值．

以下公式供解题时参考：

，，

，

x

y

l2

l1

M

N

A

B

22．（本小题满分12分）如图，直线和相交于点，⊥，点．以、为端点的曲线段上的任一点到的距离与到点的距离相等，若△为锐角三角形，，且．建立适当的坐标系，求曲线段的方程．

A

B

C

A1

B1

C1

23．（本小题满分12分）已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，，，，且，．

（1）求侧棱与底面所成角的大小；

（2）求侧面与底面所成二面角的大小；

（3）求侧棱和侧面的距离．

A

b

a

2

24．（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从孔流入，经沉淀后从孔流出．设箱体的长度为米，高度为米．已知流出的水中该杂质的质量分数与，的乘积成反比．现有制箱材料60平方米．问当，各为多少米时，经常常后流出的水中该杂质的质量分数最小（、孔的面积忽略不计）．

25．（本小题满分12分）已知数列是等差数列，，．

（1）求数列的通项；

（2）设数列的通项，记是数列的前项和．试比较与的大小，并证明你的结论．

数学试题参考答案

一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力

题号

１

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧

13．

14．

15．

16．

三、解答题

17．

1998年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史类）参考解答及评分标准

一．选择题：

本题考查基本知识和基本运算．第

（1）－（10）题每小题4分，第（11）－（15）题每小题5分．满分65分．

（1）D

（2）B（3）C（4）A（5）B（6）B（7）C（8）D（9）A（10）B（11）B（12）A（13）B（14）C（15）D

二．填空题：

本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

（16）（17）－5120

（18）AC⊥BD，或任何能推导出这个条件的其他条件．例如ABCD是正方形，菱形等

（19）①，③注：

第（19）题多填、漏填的错填均给0分．

三．解答题：

（20）本小题主要考查不等式基本知识，不等式的解法．满分10分．

解：

将原不等式化为

（a2－b2）x+b2≥（a－b）2x2＋2（a－b）bx＋b2，移项，整理后得（a－b）2（x2－x）≤0，

∵a≠b即（a－b）2＞0，∴x2－x≤0，即x（x－1）≤0．解此不等式，得解集{x|0≤x≤1}．

（21）本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力．满分11分．

解：

由正弦定理和已知条件a＋c=2b得sinA＋sinC=2sinB．

由和差化积公式得．

由A＋B＋C=π，得=，

又A－C=，得cos=sinB，∴cos=2sincos．∵0＜＜，≠0，

∴sin=，从而cos==

∴sinB==

（22）本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想．考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力．满分12分．

解法一：

如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．

依题意知：

曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛线段的一段，其中A、B分别为C的端点．

设曲线段C的方程为y2=2px（p＞0），（xA≤x≤xB，y＞0），其中xA，xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|．

所以M（－，0），N（，0）．

由|AM|=，|AN|=3得（xA＋）2＋2PxA=17，①

（xA－）2＋2PxA=9．②

由①、②两式联立解得xA=，再将其代入①式并由p＞0解得或．

因为△AMN是锐角三角形，所以＞xA，故舍去．∴P=4，xA=1．

由点B在曲线段C上，得xB=|BN|－=4．综上得曲线段C的方程为y2=8x（1≤x≤4，y＞0）．

解法二：

如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点．

作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F．

设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）．

依题意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3，

yA=|DM|==2，由于△AMN为锐角三角形，故有

xN=|AE|+|EN|=4．=|ME|+=4

XB=|BF|=|BN|=6．

设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合{（x，y）|（x－xN）2+y2=x2，xA≤x≤xB，y＞0}．

故曲线段C的方程y2=8（x－2）（3≤x≤6，y＞0）．

（23）本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．满分12分．

注：

题中赋分为得到该结论时所得分值，不给中间分．

解：

（Ⅰ）作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，

∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角．∵AA1⊥A1C，AA1=A1C，∴∠A1AD=45º为所求．

（Ⅱ）作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．

∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．

由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．又D是AC的中点，BC=2，AC=2，

∴DE=1，AD=A1D=，tgA1ED==．故∠A1ED=60º为所求．

（Ⅲ）作BF⊥AC，F为垂足，由面A1ACC1⊥面ABC，知BF⊥面A1ACC1．

∵B1B∥面A1ACC1，∴BF的长是B1B和面A1ACC1的距离．

在Rt△ABC中，，∴为所求．

（24）本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识．满分12分．

解法一：

设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k＞0为比例系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小．

根据题设，有4b＋2ab＋2a=60（a＞0，b＞0），得（0＜a＜30＝，①

于是

当a＋2=时取等号，y达最小值．

这时a=6，a=－10（舍去）．将a=6代入①式得b=3．

故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．

解法二：

依题意，即所求的a，b的值使ab最大．

由题设知4a＋2ab＋2a=60（a＞0，b＞0）

即a＋2b＋ab=30（a＞0，b＞0）．∵a＋2b≥2，∴2＋ab≤30，

当且仅当a=2b时，上式取等号．

由a＞0，b＞0，解得0＜ab≤18．即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值18．

∴2b2=18．解得b=3，a=6．

故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．

（25）本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳，推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力．满分12分．

解：

（Ⅰ）设数列工{bn}的公差为d，由题意得

b1=1，

10b1＋=100．

解得b1=1，

d=2．

∴bn=2n－1．

（Ⅱ）由bn=2n－1，知

Sn=lg（1＋1）＋lg（1＋）＋…＋lg（1＋）=lg[（1＋1）（1＋）·…·（1＋）]，lgbn＋1=lg．

因此要比较Sn与lgbn＋1的大小，可先比较（1＋1）（1＋）·…·（1＋）与的大小．

取n=1有（1＋1）＞，

取n=2有（1＋1）（1