5.1弧度制(3)教案.doc

5.1弧度制(3)教案.doc

《5.1弧度制(3)教案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《5.1弧度制(3)教案.doc（5页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

5.1课题：

弧度制（3）教案

教学目的：

1、能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题。

2、通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美。

教学重点：

弧度的概念和弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明。

教学过程：

（一）、引入

一、复习弧度制：

弧度制是怎样定义的?

答：

我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制。

。

（二）、新课

一、由弧度制的定义，我们可以获得哪些性质呢？

答：

①半圆所对的圆心角为。

②整圆所对的圆心角为。

③正角的弧度数是一个正数。

④负角的弧度数是一个负数。

⑤零角的弧度数是零。

⑥角α的弧度数的绝对值||=。

二、扇形的弧长公式和面积公式：

1、弧长公式：

弧长等于弧所对应的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积。

2、面积公式：

S=•=R。

三、典型例题（3个，基础的或中等难度）

例1、利用弧度制证明扇形面积公式S=R，其中是扇形弧长，R是圆的半径。

证法一：

∵圆的面积为π，∴圆心角为1弧度的扇形面积为，

又扇形弧长为，半径为R,∴扇形的圆心角大小为弧度,

∴扇形面积S=•=R。

证法二：

设圆心角的度数为n，则在角度制下的扇形面积公式为S=，

又此时弧长=，∴S=••R=R。

可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多。

扇形面积公式：

S=R=||。

例2、求图中公路弯道处弧AB的长l（精确到1m．图中长度单位：

m）．

60°

45

B

A

解：

因为60°=，所以=||R=×45≈47（m）

R

答：

公路转弯处AB的长l约为47m．

四、课堂练习（2个，基础的或中等难度）

1、已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20厘米，求扇形的面积。

解：

72°=，∴S=××20=4π。

2、已知扇形的周长为10厘米，面积为4平方厘米，求扇形圆心角的弧度数。

解：

∵2r+=10，S=r=4，∴或，故=8或=。

3、直径为20cm的轮子，每秒钟旋转45弧度，轮周上一点经过3秒钟所转过的弧长

等于_________cm。

解：

=45×3×10=1350cm。

五、拓展探究（2个）

1、设一个扇形的周长是16，其面积是12，求它的圆心角的大小。

解：

∵2R+=16，且R=12，∴（8-R）R=12，∴R=2或R=6

即或，∴圆心角为6弧度或弧度。

2、一个扇形的周长是20cm，求它的半径r多大时，扇形面积最大？

解：

设扇形的中心角为，面积为S

据题意R+R+R=20，∴R=

∴S===

==25

当且仅当=，即=2时，=25。

（三）、小结

1、弧度制扇形的弧长公式；

2、弧度制扇形的面积公式；

（四）、作业

课外作业：

（6+2填空，3+1选择，3+1解答，其中+后面的题目可以难些用“*”注明）

一、填空题

1、中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则该扇形所在圆的半径为________。

2、若1°的圆心角所对的弧长为1m，则此圆的半径为________m。

3、地球赤道的半径是6370km，所以赤道上1´的弧长是_________。

（精确到0.01km）

4、一条长度等于半径的倍的弦所对的圆心角是________弧度。

5、已知扇形周长为6cm，面积为2，则扇形的圆心角的弧度数是__________。

6、半径为1的圆上，长度为2的弧所对的圆心角的弧度是________。

7*、已知扇形的圆心角为2弧度，扇形的周长为8cm，则扇形的面积为____________。

8*、扇形的圆心角为，它所对的弦长是20cm，则扇形的弧长是___________。

二、选择题

1、设3弧度的圆心角所对弧长12cm，则此圆心角所夹的扇形面积为（）

、18、12、24、36

2、一条弦长等于半径的，则此弦所对的圆心角等于（）

、、、、以上答案都不正确

3、扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则扇形的面积是（）

、16π、32π、16、32

4*、已知某圆中，1弧度的圆心角所对的弦长为2，则该圆心角所对的弧长为（）

、sin、、、2sin

三、解答题

1、已知半径为1的圆内，求1弧度的圆心角所对的弦长和弧长。

2、已知一个扇形的面积为1，周长为4，求中心角的弧度数是多少？

3、一个扇形0AB的中心角为120°，面积为，求AB弧的长和以AB为弦的弓形面积。

4*、

已知一扇形的周长l厘米，当它的圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大?

最大面积是多少?

四、双基铺垫

1、初中是怎样定义锐角三角比的?

2、它们的定义是：

弧度制（3）课外作业答案

一、填空题

1、6；2、；3、1.85km；4、；5、1弧度或4弧度；6、2；

7、答案：

4。

设半径为r，则弧长=8-2r，∴8-2r=2r，即r=2，=4

∴扇形面积S=×2×4=4。

8、答案：

由题意得：

sin=，∴r=20，∴=×20=。

二、选择题

1、C；2、D；3、C；4、C；

三、解答题

1、弧长=1×1=1；设弦长为2x，则sin=，∴弦长=2sin。

2、S=R=1，∴R=2，又C=2R+=4，∴=4-2R，∴R（4-2R）=2

∴R=1，=2，则==2弧度。

3、AB弧=，弓形S=。

4、设扇形的中心角为，面积为S，据题意R+R+R=1，∴R=

∴S===

==

当且仅当=2，即=2时，=。

四、双基铺垫

1、初中是怎样定义锐角三角比的?

答：

在三角形中定义的

2、它们是怎样定义的？

答：

sinA=，cosA=，tanA=，cotA=

A∈（0，），sinA，cosA，tanA，cotA均为正。

5