1、5.1课题:弧度制(3)教案教学目的:1、能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式,并能运用公式解决一些实际问题。 2、通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比,让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美。教学重点:弧度的概念和弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明。教学过程:(一)、引入一、复习弧度制:弧度制是怎样定义的?答:我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角;用弧度来度量角的单位制叫做弧度制。(二)、新课一、由弧度制的定义,我们可以获得哪些性质呢?答:半圆所对的圆心角为。整圆所对的圆心角为。正角的弧度数是一个正数。负角的弧度数是一个负数。零角的弧度数是零。角的
2、弧度数的绝对值|=。二、扇形的弧长公式和面积公式:1、弧长公式:弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积。2、面积公式:S=R。三、典型例题(3个,基础的或中等难度)例1、利用弧度制证明扇形面积公式S=R,其中是扇形弧长,R是圆的半径。证法一:圆的面积为,圆心角为1弧度的扇形面积为,又扇形弧长为,半径为R, 扇形的圆心角大小为弧度, 扇形面积S=R。证法二:设圆心角的度数为n,则在角度制下的扇形面积公式为S=,又此时弧长=, S=R=R。可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化,而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多。扇形面积公式:S=R=|。例2、求图中公路弯道处弧AB的长
3、l (精确到1m图中长度单位:m)6045BA解:因为60=,所以=|R=4547(m)R答:公路转弯处AB的长l约为47 m 四、课堂练习(2个,基础的或中等难度)1、已知一扇形的圆心角是72,半径等于20厘米,求扇形的面积。解:72=,S=20=4。2、已知扇形的周长为10厘米,面积为4平方厘米,求扇形圆心角的弧度数。解:2r+=10,S=r=4,或,故=8或=。3、直径为20cm的轮子,每秒钟旋转45弧度,轮周上一点经过3秒钟所转过的弧长等于_cm。解:=45310=1350cm。五、拓展探究(2个)1、设一个扇形的周长是16,其面积是12,求它的圆心角的大小。解:2R+=16,且R=1
4、2,(8-R)R=12,R=2或R=6即或,圆心角为6弧度或弧度。2、一个扇形的周长是20cm,求它的半径r多大时,扇形面积最大? 解:设扇形的中心角为,面积为S据题意R+R+R=20,R=S=25当且仅当=,即=2时,=25。(三)、小结1、弧度制扇形的弧长公式;2、弧度制扇形的面积公式;(四)、作业课外作业:(6+2填空,3+1选择,3+1解答,其中+后面的题目可以难些用“*”注明)一、填空题1、中心角为60的扇形,它的弧长为2,则该扇形所在圆的半径为_。2、若1的圆心角所对的弧长为1m,则此圆的半径为_m。3、地球赤道的半径是6370km,所以赤道上1的弧长是_。(精确到0.01km)4
5、、一条长度等于半径的倍的弦所对的圆心角是_弧度。5、已知扇形周长为6cm,面积为2,则扇形的圆心角的弧度数是_。6、半径为1的圆上,长度为2的弧所对的圆心角的弧度是_。7*、已知扇形的圆心角为2弧度,扇形的周长为8cm,则扇形的面积为_。8*、扇形的圆心角为,它所对的弦长是20cm,则扇形的弧长是_。二、选择题1、设3弧度的圆心角所对弧长12cm,则此圆心角所夹的扇形面积为 ( )、 18 、 12 、 24 、362、一条弦长等于半径的,则此弦所对的圆心角等于 ( )、 、 、 、以上答案都不正确3、扇形的周长是16,圆心角是2弧度,则扇形的面积是 ( )、16 、32 、16 、324*、
6、已知某圆中,1弧度的圆心角所对的弦长为2,则该圆心角所对的弧长为( )、sin 、 、 、2sin三、解答题1、已知半径为1的圆内,求1弧度的圆心角所对的弦长和弧长。2、已知一个扇形的面积为1,周长为4,求中心角的弧度数是多少?3、一个扇形0AB的中心角为120,面积为,求AB弧的长和以AB为弦的弓形面积。4*、已知一扇形的周长l厘米,当它的圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?四、双基铺垫1、初中是怎样定义锐角三角比的?2、它们的定义是:弧度制(3)课外作业答案一、填空题1、 6 ; 2、 ;3、 1.85km ;4、 ; 5、1弧度或4弧度;6、2 ;7、答案:4。设半径
7、为r,则弧长=8-2r,8-2r=2r,即r=2,=4扇形面积S=24=4。8、答案:由题意得:sin=,r=20,=20=。二、选择题1、 C ; 2、 D ; 3、 C ; 4、 C ;三、解答题1、弧长=11=1;设弦长为2x,则sin=,弦长=2sin。2、S=R=1,R=2,又C=2R+=4,=4-2R,R(4-2R)=2R=1,=2,则=2弧度。3、AB弧=,弓形S=。4、设扇形的中心角为,面积为S,据题意R+R+R=1,R=S=当且仅当=2,即=2时,=。四、双基铺垫1、初中是怎样定义锐角三角比的?答:在三角形中定义的2、它们是怎样定义的?答:sinA=,cosA=,tanA=,cotA=A(0,),sinA,cosA,tanA,cotA均为正。5
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