-新课标全国卷2理科数学试题分类汇编10.数列.doc

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2011年—2018年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编

10．数列

一、选择题

（2017·3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？

”意思是：

一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏

（2015·4）已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）

A．21 B．42 C．63 D．84

（2013·3）等比数列的前项和为，已知，，则（）

A. B. C. D.

（2012·5）已知{an}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=8，则a1+a10=（）

A.7 B.5 C.-5 D.-7

二、填空题

（2017·15）等差数列的前项和为，，，则．

（2015·16）设Sn是数列{an}的前项和，且，，则Sn=________________．

（2013·16）等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为____.

（2012·16）数列满足，则的前60项和为.

三、解答题

（2018·17）记为等差数列的前项和，已知，．

（1）求的通项公式；

（2）求，并求的最小值．

（2016·17）（满分12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28.记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.

（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和.

（2014·17）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1.

（Ⅰ）证明是等比数列，并求{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明：

.

（2011·17）等比数列的各项均为正数，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和.

2011年—2018年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编

10．数列（逐题解析版）

一、选择题

（2017·3）B【解析】一座7层塔共挂了381盏灯，即；相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，即，塔的顶层为；由等比前项和可知：

，解得.

（2015·4）B【解析】：

设等比数列公比为q，则a1+a1q2+a1q4=21，又因为a1=3，所以q4+q2-6=0，解得q2=2，所以a3+a5+a7=（a1+a3+a5）q2=42，故选B.

（2013·3）【答案：

C】

解析：

由S3=a2+10a1，得，a1+a2+a3=a2+10a1即，a3=9a1，亦即a1q2=9a1，解得q2=9.∵a5=a1·q4=9，即81a1=9，∴a1=.

（2012·5）．【答案：

D】解析：

，，或，成等比数列，.

二、填空题

（2017·15）【解析】∵，，∴，∵，∴∴，∵∴∴

∴，∴

（2015·16）【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．

（2013·16）-49【解析】设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝＝10a1＋45d＝0①，S15＝＝15a1＋105d＝25②，联立①②，得a1＝-3，，所以Sn.令f（n）＝nSn，则，.令f′（n）＝0，得n＝0或.当时，f′（n）＞0,时，f′（n）＜0，所以当时，f（n）取最小值，而n∈N＋，则f（6）＝-48，f（7）＝-49，所以当n＝7时，f（n）取最小值-49.

（2012·16）1830【解析】由得，

由②①得，③

由①得，.

由③得，，

所以.

三、解答题

（2018·17）解：

（1）设的公差为d，由题意得.

由得d=2.

所以的通项公式为.

（2）由

（1）得.

所以当n=4时,取得最小值,最小值为−16.

（2016·17）.（满分12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=1，S7=28.记bn=[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1.

（Ⅰ）求b1，b11，b101；（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和.

（2016·17）解析：

⑴设数列的公差为，，∴，∴，

∴．∴，，

．

⑵记的前项和为，则．

当时，；当时，；

当时，；当时，．

∴．

（2014·17）．解析：

（Ⅰ）证明：

∵，∴，即：

，又，∴是以为首项，3为公比的等比数列．∴，即.

（Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）知，∴，

∴

故：

（2011·17）解析：

（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以.由条件可知a>0，故.由得，所以.故数列{an}的通项式为.

（Ⅱ ），

故，，

所以数列的前n项和为.