八年级数学上册141平方根教案新版冀教版Word文档下载推荐.docx
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又因为(-4)2=16,所以x=-4.4或-4的平方都等于16,可以表示为(±
4)2=16.
因为4或-4的平方都等于16,我们把4及-4叫做16的平方根.
一般地,如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根(或二次方根).就是说,如果x2=a,那么x就叫做a的平方根.
比如100的平方根是10与-10.因为(±
10)2=100,所以10与-10是100的平方根.
你能说出49,144的平方根吗?
让学生多举出几组数据,(以小组为单位,充分讨论,通过交流得出结论)。
教师深入小组参与活动,观察指导学生的探究方法,并倾听学生的讨论。
同学合作交流
1.当一个正数和一个负数互为相反数时,它们的平方有什么关系?
2.正数有平方根吗?
如果有,有几个?
它们的有什么关系?
3.0有平方根吗?
如果有,它是什么数?
4.负数有平方根吗?
学生独自思考,通过具体实例弄懂上述问题,然后总结出:
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
0有一个平方根,它是0本身;
负数没有平方根。
培养学生的抽象概括能力。
学生自主探究
------
师生共同辨析
一个正数a的正的平方根,用符号“”表示,a叫做被开方数,2叫做根指数。
正数a的负的平方根,用符号“-”表示。
这两个平方根合起来可以记作“±
”。
这里,符号“”读作“二次根式”,±
读作“二次根号a”。
根指数是2时,通常将这个2省略不写,如,记作,读作“根号a”;
±
记作±
,读作“正、负根号a”。
求一个数的平方根的运算,叫做开平方。
例1.求下列各数的平方根:
(1)8;
(2);
(3)0.64;
(4)
解:
(1)因为 ,
所以144的平方根是±
19.
即 .
(2)因为 ,
所以的平方根是±
.
(3)因为 ,
所以0.64的平方根是±
0.8.
(4).
此次活动中教师应重点关注:
(1)学生能否说出一个正数的平方根
(2)强调一个正数的平方根有两个
自主探究
教师深入小组,给予适当的帮助和指导,并引导学生注意观察不等式的结构特点,总结规律,并统一规范写法。
四、巩固练习
1.下列各式中哪些有意义哪些?
哪些无意义?
(1);
(2)-;
(3);
(4);
(5).
2.判断下列各题正确与错误,并将错误改正.
(1)=;
(2)|-9|没有平方根;
(3)=4;
(4)=-2;
(5)=-3;
(6)=;
(7)的平方根是;
(8)-是的算术平方根;
(9)-(-)是的算术平方根;
(10)-是的一个平方根.
3.还应下列各数的平方根及算术平方根;
(1)10,000;
(2)7.29;
(3);
(4)1.
4.求下列各式的值:
(2)-;
(3);
(4)-.
此次活动中,教师应重点关注:
(1)学生能判断符号的意义
(2)学生在讨论的过程中是否敢于发表自己的想法,并说明想法的根。
引导学生加深对平方根的认识和理解.
反思与
评价
谈谈你的收获!
引导学生总结本节的主要知识点:
这一节课的主要内容是:
开方与平方逆运算;
平方根的定义;
平方根的性质;
平方根的符号表示与读法;
开平方运算。
培养学生及时反思及时归纳的学习习惯.
板书设计
一、平方根表示方法二、开平方
引例
定义例题
性质
三、练习
立方根教学设计
(一)
唐海县第二中学郭瑞梅
这节课我们讨论立方根的概念,立方根的个数的唯一性及立方根的求法,这是本章的重点内容之一。
在学习了平方根的概念的基础上学习立方根的概念,学生比较容易接受,因此教学重点放在立方根具有唯一性(实数范围内)的讨论上,组织教学活动时,引导学生多举一些实例。
在学习的过程中让学生仔细观察、大胆猜测、交流讨论、分析推理,最后归纳总结。
让学生思考问题,获取知识,掌握方法,借此培养学生动手、动脑、动口的能力,使学生真正成为学习的主体。
1.能说出立方根的概念,会表示一个数的平方根。
2.知道开立方与立方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求一个数的立方根。
通过用类比的方法探寻出立方根的运算及表示方法,并能自我总结出平方根与立方根的异同。
发展求同存异思维
立方根的概念及求法准确
立方根与平方根的区别
类比及引导探索法
1.想一想:
平方根是如何定义的?
平方根有哪些性质?
(1)一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
(2)正数有个平方根,它们;
(3)0的平方根是;
(4)负数;
为使学生能更轻松地发现,掌握立方根,先激活学生记忆中有关平方根的知识,在这里设计了想一想,让学生回顾平方根的知识,以填空的形式简要归纳,为立方根的引入奠定基础。
2.做一做:
(多媒体展求图片及问题)
要制作一种容积0.125m3的正方体形状包装箱,这种包装箱的边长应该是多少?
用多媒体展示图片和课件让学生动手做一做。
在做的过程中引导学生思考,利用体积等于边长的立方,将此题转化为求一个数使它的立方等于27,得出边长为3m。
这样从现实生活中提出数学问题,把教学内容转化为具有潜在意义的问题,让学生产生强烈的问题意识,使学生的整个学习过程成为“猜想”,使学生积极主动地投入到数学活动中去,同时为学习立方根提供背景和生活素材。
3.试一试:
你能试着给数的立方根下个定义吗?
(学生分组讨论,相互交流,再总结定义,最后由教师补充)
一般地,如果一个数x的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根。
即:
如果x3=a,那么x叫做a的立方根。
求一个数的立方根的运算,叫做开立方。
(强调开立方与立方是逆运算)
让学生试着给出立方根和开立方的定义。
在这里让学生原有的知识和经验出发,引导学生通过类比、思考、探索、交流来获取知识和学会学习,同时让学生经历数学知识的形成与应用过程,使他们更好地理解数学概念的形成,发展他们的数学能力。
在本次活动中,教师要关注:
学生对平方根的了解程度;
学生能否正确的利用类比的方法说出立方根和开立方的概念;
通过对概念的探究,能否理解立方与开立方是一种互逆的运算;
学生在活动中的参与意识及发表个人见解的勇气。
1.探究Ⅰ:
根据立方根的意义填空
(1)因为23=8,所以8的立方根是();
(2)因为()3=0.125,所以0.125的立方根是();
(3)因为()3=0,所以0的立方根是();
(4)因为()3=-8,所以-8的立方根是();
(5)因为( )3=,所以的立方根是();
学生在了解立方根的有关概念的基础上通过对问题的研究,进一步巩固立方根的概念,并能熟练地利用开立方与立方的互逆性,求一个数的立方根。
2.大家谈谈:
(学生分组讨论)
观察练习题中正数、0和负数的立方根各有什么特点?
并完成多媒体展示的表格
立方根
正数
有两个且互为相反数
负数
没有平方根
以填空的方式让学生计算具体的正数、0和负数的立方根,寻找它们各自的特点,通过小组讨论合作交流,归纳得出立方根的性质。
这样让学生通过探究活动经历了一个由特殊到一般的认识过程,在探究的过程中发展思维能力,有效的改变学生旧有学习方式。
3.自主探究:
如何表示一个数的立方根?
一个数a的立方根可表示为:
,读作:
三次根号a
其中a是被开方数,3是根指数。
4.议一议:
你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗?
设计这个问题,可以了解学生对立方根及平方根知识的掌握程度,可以在教的过程中,对于学生不理解的,没掌握的知识点再加以强调。
学生在归纳的过程中可能结果不是很完善,教师可以引导学生从各自的定义、性质、表示方法上加以区别。
例1求下列各数的立方根
(1)-8;
(2);
(3)-0.064
(1)因为
所以-8的立方根是2,
即=-2
(2)因为
所以的立方根是,
即=
(3)因为
所以的立方根是-0.4,
即=-0.4
2.猜一猜:
你能从上述问题中总结出互为相反数的两个数a与-a的立方根的关系吗?
教师引导学生先分析每个式子所表示的意义再填空。
通过这个活动,让学生大胆猜想,训练学生由浅入深,从特殊情形总结一般规律的能力,进一步熟悉立方根的求法,总结出负数立方根的一个重要性质:
=-
3.做一做:
例:
求下列各式的值
(1)
(2)(3)
例题采取学生自己先动手做,再由教师点评,最后师生共同小结的方式完成。
这种师生互动的形式激发了学生学习的热情,使学生主动地获取了知识和技能。
在
(2)、(3)两题中,鼓励学生采取用多种方法来做,培养他们的发散思维。
4.练一练:
(1)
(2)(3)(4)-
考虑到学习知识的过程就是一个由浅入深的过程,这又是学生第一次独立解题,故而练习的题目应以简单为宜。
练习题中的被开方数由整数到小数再到分数,由正数到负数设计的比较全面,从学生的解题过程中也能较全面地看出学生对知识的掌握程度。
在本次活动中,教师应关注:
学生能否真正理解每个根式所表达的意义;
学生对立方根的了解程度;
学生能否正确的说出一个负数立方根的求法。
通过让学生自主探究立方根的表示方法和读法,进一步训练学生利用类比的方法学习立方根,这样将新旧知识联系起来既有利于复习巩固平方根,又有利于理解和掌握立方根。
(三)引导探究,延伸知识
1.探究Ⅱ:
学生能否根据立方根的概念填空;
学生能否准确地归纳出立方根的性质;
学生能否正确地用符号表示一个数的立方根;
学生能否全面地说出平方根与立方根。
学生总结,教师补充,重点总结平方根和立方根的异同点
算术平方根
(一)教学知识点
1.了解数的算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根.
2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.
3.了解算术平方根的性质.
(二)能力训练要求
1.加强概念形成过程的教学,提高学生的思维水平.
2.鼓励学生进行探索和交流,培养他们的创新意识和合作精神.
(三)情感与价值观要求
1.让学生积极参与教学活动,培养他们对数学的好奇心和求知欲.
2.训练学生动脑、动口、动手能力.
教学重点:
了解算术平方根的概念、性质,会用根号表示一个正数的算术平方根.
教学难点:
了解算术平方根的概念、性质.
一、复习引入:
问:
1.625的平方根是多少?
这两个平方根的和是多少?
2.-7和7是哪个数的平方根?
3.正数m的平方根怎样表示?
4.下列各数的平方根各是什么?
(1)64;
(2)0;
(3)(-0.4)2;
(4);
(5)-16;
(6)(-4)3.
答:
1.625的平方根是25和-25,这两个平方根的和是0.
2.-7和7是49的平方根.
3.正数m的平方根表示为.
4.
(1)64的平方根是=8.
(2)0的平方根是0.
(3)因为(-0.4)2=0.16,所以它的平方根是=0.4.
(4)因为==,所以的平方根是=.
(5)因为-16<
0,所以-16没有平方根.
(6)因为(-4)3=-16<
0,所以(-4)3没有平方根.
已知正方形的面积等于a,那么它的一条边长等于多少?
设正方形的一条边长为x,则x2=a,根据平方根的定义,x=.因为正方形的边长是正数,所以正方形边长为.
通过回顾平方根,从而类比算术平方根,建立新旧知识之间的联系,培养学生梳理知识体系的习惯。
二、讲解新课
正数a有两个平方根(表示为),我们把其中正的平方根,叫做a的算术平方根,表示为.
0的平方根也叫做0的算术平方根,因此0的算术平方根是0,即=0.
用几何图形可以直观地表示算术平方根的意义,如图所示,面积为a(a应是非负数)、边长为的正方形,边长就表示a的算术平方根.
“”是算术平方根的符号,就表示a的算术平方根.的意义有两点:
被开方数a表示非负数,即a≥0;
也表示非负数,即≥0.也就是说,非负数的“算术”平方根是非负数.负数不存在算术平方根,即a<
0时,无意义.
如=3,8是64的算术平方根,无意义.
这里需要说明的是,算术平方根的符号“”不仅是一个运算符号,如a≥0时,表示对非负数a进行开平方运算,另一方面也是一个性质符号,即表示非负数a的正的平方根.
例如既表示对9进行开平方运算,也表示9的正的平方根.
以小组为单位,充分讨论,通过交流得出结论。
此次活动是本节课的核心活动。
三、例题精选
例1求下列各数的算术平方根:
(1)36;
(2)0.01;
(4)(-16)2;
.
(1)因为62=36,
所以36的算术平方根是6,
即.
(2)因为(0.1)2=0.01,,
所以0.01的算术平方根是0.1,
(3)因为
所以的算术平方根是,
(4)因为(-16)2=162,
所以(-16)2的算术平方根是16,
注意:
100的平方根是10和-10,而其算术平方根是10.
培养学生的计算能力。
例2求下列各式的值:
(2);
分析:
只要求的一个正数的算术平方根,那么这个数的负的平方根就是它的算术平方根的相反数。
(1)因为1.32=1.69,
所以=1.3.
(2)因为252=625,
所以=-25.
(3)因为,
所以.
(4)因为(-17)2=172,
所以=-17.
由于正数的算术平方根是正数,零的算术平方根是零,可将它们概括成:
非负数的算术平方根是非负数,即当a≥0时,≥0(当a<
0时,无意义).
此次活动中教师应重点关注格式的书写。
教师深入小组,给予适当的帮助和指导,并统一规范写法。
四、随堂练习:
1.课后练习1,2
2.求下列各式的值:
引导学生加深对知识的认识和理解.
平方根和算术平方根是初中代数中的两个重要概念,全面掌握它,就必须分清它们的区别,认清它们之间的联系.
1.平方根和算术平方根的区别.
(1)定义不同.如果x2
=a,那么x叫做a的平方根.
负数没有平方根.
如果x2
=a,并且x≥0,那么x叫做a的算术平方根.
一个正数的算术平方根只有一个,非负数的算术平方根一定是非负数.
(2)表示方法不同.正数a的平方根,表示为.正数a的算术平方根为.
(3)平方根等于本身的数0,算术平方根等于本身的数是0或1.
2.平方根和算术平方根的联系.
(1)二者有着包含关系:
平方根中包含算术平方根,算术平方根是平方根中的非负的那一个.
(2)存在条件相同.非负数才有平方根和算术平方根.
(3)零的平方根和零的算术平方根都是零.
算术平方根
定义例1例2
实数
(一)教学设计
本节是在数的开方的基础上引进无理数的概念,并将数从有理数的范围扩充到实数范围。
从有理数到实数,这是数的范围的一次重要扩充,对今后学习数学有重要意义。
通过本节的学习,应该知道无限不循环小数叫做无理数。
有理数和无理数统称为实数。
有理数的运算律等在实数范围内仍然成立。
这部分知识在教师的引导下有学生以小组讨论的方式得出。
教学目标
知识与技能
1.说出无理数和实数的概念以及实数的分类,能正确识别无理数;
过程与方法
通过实际问题,认识到数的扩充的必要性;
情感态度价值观
1.经历对实数进行分类,发展分类意识;
3.经历从有理数逐步扩充到实数,体会人类对数的认识是不断发展的,体验数学的发展来源于生活实践,又作用于生活实际。
教学方法
启发引导、小组讨论
教具准备
纸片,支持,剪刀,计算器,多媒体,或投影仪
第一课时
重点难点
①了解无理数和实数的概念。
②实数的分类。
①对无理数认识。
教学过程
一、做一做
(1)在纸上画一个Rt△ABC,使得两条直角边AC=BC=2;
(2)做斜边AB上的高CD;
(3)沿CD剪开,拼成一个正方形
做好后思考,正方形的面积是多少,边长是多少?
学生:
自己动手操作,利用面积公式与开平方法计算正方形的面积与边长
通过学生自己动手操作使从学生已有的数学经验出发,建立新旧知识之间的联系,培养学生梳理知识体系的习惯。
二、大家谈谈
1.对于整数-3,-2,-1,0,1,2,3,它们的平方分别等于什么?
结果是怎么的数?
有平方后等于2的整数吗?
2.对于分数,它们的平方分别等于什么?
结果是怎样的数?
有平方后等于2的分数吗?
3.m是有理数吗?
4.借助计算器,算算=?
学生活动:
小组讨论,共同探究,回答问题
注:
1.整数的平方是整数。
没有平方后等于2的整数。
2.分数的平方是分数,没有平方后等于2的分数。
3.平方等于2的数不是有理数,从而知道不是以前熟悉的有理数。
4.通过计算器算得是一个无限不循环小数
让学生多举例(以小组为单位,充分讨论,通过交流得出结论)。
思考:
你还能举出我们熟悉的无限不循环小数吗?
学生回答:
……
培养学生的举一反三的能力。
三、一起探究
1.定义:
无限不循环小数叫做无理数.
请同学们判断以下说法是否正确?
(1)无限小数都是无理数.
(2)无理数都是无限小数.
(3)带根号的数都是无理数.
答:
(1)错,无限不循环小数都是无理数.
(2)错,无理数是无限不循环小数.
现在我们不仅学过了有理数,而且又定义了无理数,显然我们所学的数的范围又扩大了,我们把有理数和无理数统称为实数,这是我们今天学习的又一新的概念.
2.实数的定义:
有理数和无理数统称为实数.
3.实数的分类:
对于实数,我们可按定义分类如下:
由上述分类,我们发现有理数和无理数都有正负之分,所以对实数我们还可以按大小分类如下:
对于这两种分类的方法,同学们应牢固地掌握.
4.实数的相反数:
如果a表示一个正实数,那么-a就表示一个负实数,a与-a互为相反数,0的相反数依然是0.
由上述定义,我们看到实数的相反数概念与有理数相同.其实不仅如此,绝对值的定义也是如此.
5.实数的绝对值:
一个正实数的绝对值是它本身;
一个负实数的绝对值是它的相反数;