数学人教版七年级下册二元一次方程组消元法.docx

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数学人教版七年级下册二元一次方程组消元法

初中八年级下人教版教材第八章

二元一次方程组的解法——代入消元法

广州市长兴中学杨豆花

教学目标

一、知识与技能：

1.掌握运用代入消元法解二元一次方程组的解。

2.熟练运用代入消元法解简单的二元一次方程组，经过练习和讨论,进一步培养观察、比较分析问题的能力。

二、过程与方法：

1.理解代入消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想。

三、情感目标：

1.通过本节课的练习，渗透化归的数学美，以及方程组的解所体现出来的奇异的数学美。

教学重点与难点：

重点：

会用代入法解二元一次方程组。

难点：

在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想.

教学流程：

环节一、情景引入

环节二、探究新知

环节三、巩固新知

环节四：

练习提高

环节五：

课堂小结

环节六：

布置作业

教学过程：

第一环节：

复习引入

内容：

一、复习回顾

1、把.写成用表示的形式为。

2、把写成用表示的形式为

3、判断是不是二元一次方程组的解?

答：

是

二．创设情景，展示问题。

每年五月的第二个星期天是母亲节

问题：

母亲节要到了，小明打算用零用钱买一束康乃馨送给母亲，小明买了红色和粉色康乃馨共10支,一共花了14元钱，已知红色康乃馨2元一支，粉色康乃馨1元一支，你知道这束花由几支红色康乃馨、几支粉色康乃馨组成?

”

学生活动：

学生思考并列出一元一次方程。

解：

设小明买了支红色康乃馨，则买了粉色康乃馨支，那么可得

③

解得：

将代入

答：

红色康乃馨4支，粉色康乃馨6支.

教师活动：

提出问题“对于上述问题能用我们上节课学习的二元一次方程组来解答吗？

”

学生活动：

请同学们列出二元一次方程组解答

解：

设红色康乃馨有支，粉色康乃馨有支，

那么可得:

由几个方程组成的一组方程叫做方程组.

那么有哪些方法求得上述二元一次方程组的解呢？

设计意图：

问题情景联系学生的生活实际，能够激起学生的学习兴趣，激发学生的探究欲望，从而自然的引出课题。

第二环节：

探究新知

教师活动：

提出以下问题“如何解上述二元一次方程组？

”

根据二元一次方程组的解的定义

满足方程①的解有：

……

满足方程②的解有：

……

我们通过检验是不是方程和方程的解，从而得知这个解既是的解，也是的解，根据二元一次方程组的解的定义，得出是方程组的解.所以原方程的解是.

提出问题：

每一个二元一次方程的解都有无数多个，而方程组的解是方程组中各个方程的公共解，前面的方法中恰好我们找到了这个公共解，但如果数据不巧，用列举法很难找到方程组的解，那么，有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢？

设计意图：

“温故而知新”，培养学生养成时时回顾已有知识的习惯，并在回顾的过程中学会思考和质疑，通过质疑，自然地引出我们要研究和解决的问题.

在学生自我探索与解决问题的基础上，引导学生进行比较：

列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何区别？

列出的方程和方程组又有何联系？

对你解二元一次方程组有何启示？

（先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，进行讨论，在此基础上由学生代表回答，老师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后能得出以下的一些要点.）

y=10－x

分析比较：

1.列二元一次方程组设有两个未知数：

支红色康乃馨，支粉色康乃馨.列一元一次方程只设了一个未知数：

支红色康乃馨，粉色康乃馨的支数通过买康乃馨的总支数与红色康乃馨支数相比较，得出支.因此应该等于.而由二元一次方程组的一个方程，根据等式的性质可以推出

2.发现一元一次方程中与方程组中的第二个方程相类似，只需把中的“”用“”代替就转化成了一元一次方程.

教师引导学生发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识（二元一次方程组）转化为旧知识（一元一次方程）便可.

（由学生来回答）上一节课我们就已知道方程组中相同的字母表示的是同一个未知量.所以将中的①变形，得③，我们把代入方程②，即将②中的y用代替，这样就有.“二元”化成“一元”.

教师总结：

同学们很善于思考.这就是我们在数学研究中经常用到的“化未知为已知”的化归思想，通过它使问题得到完美解决.下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.

（教师把解答的详细过程板书在黑板上，并要求学生一起来完成）

解：

由①得：

.③

将③代入②得：

解得：

.

把代入③得：

.

所以原方程组的解为：

（提醒学生进行检验，检验过程既可以口算也可以在草稿纸上进行，即把求出的解代入原方程组，必然使原方程组中的每个方程都同时成立，如不成立，则可知解有问题）

设计意图：

通过学生自己对比、思考、发现，让学生惊喜的发现“温故而知新”，将新知融入旧知，体会“化未知为已知”的化归思想的神奇，培养学生独立获取知识的愿望和能力.

第三环节：

巩固新知

内容：

1例解下列方程组：

（1）

（2）

（1）解：

将②代入①，得：

.

解得：

.

把代入②，得：

所以原方程组的解为：

（2）解：

由②，得：

.③

将③代入①，得：

.

解得：

.

将y=2代入③，得：

.

所以原方程组的解是

（放手让学生用已经获取的经验去解决新的问题，由学生自己完成，让两个学生在黑板上规范的板书，教师巡视：

发现学生的闪光点以及存在的问题并适时的加以辅导，以期学生在解答的过程中领会“代入消元法”的真实含义和“化归”的数学思想.）

（⑵题需先进行恒等变形，教师要鼓励学生通过自主探索与交流获得求解，在求解过程中学生消元的具体方法可能不同，所以教学中不必强求解答过程的统一，但要提出如何选择将哪个方程恒等变形、消去哪个未知数能使运算较为简单.让学生在解题中进行思考）

（在解完后要引导学生再次就解出的结果进行思考，判断它们是否是原方程组的解.促使学生进一步理解方程组解的含义以及学会检验方程组解的方法.）

2思考总结：

（教师根据学生的实际情况进行生与生、师与生之间的相互补充与评价，并提出下面的问题）

⑴给这种解方程组的方法取个什么名字好？

⑵上面解方程组的基本思路是什么？

⑶主要步骤有哪些？

⑷我们观察例题的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？

（由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法，请学生小组的代表回答或学生举手回答，其余学生可以补充，力求让学生能够回答出以下的要点，教师要板书要点，在学生回答时注意进行积极评价）

1.在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”，达到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.

2.解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.

3.解上述方程组的步骤：

第一步：

在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.

第二步：

把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.

第三步：

解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.

第四步：

把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程（一般代入变形后的方程），求得另一个未知数的值.

第五步：

把方程组的解表示出来（用大括号把它的一组解表示出来）。

第六步：

检验（口算或笔算在草稿纸上进行），即把求得的解代入每一个方程看是否成立.

4.用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.

设计意图：

进一步熟悉解二元一次方程组的基本思路，熟练解二元一次方程组的基本步骤和过程，并能对二元一次方程组的解进行检验.

第四环节：

练习提高

内容：

学案基础练习A组（在设计的学案中，由简到繁，由易到难，并在前面的题目中适当给出解题步骤，让学生在思考的过程中完成题目并养成良好的解题习惯，在后面的题目中能够做得得心应手。

）

1、判断是不是二元一次方程组的解?

答：

是

2、把用含的代数式表示=。

设计意图：

第1题复习二元一次方程组的解的定义与检验，第2题通过等式的基本变形来复习等式的基本性质，为学生用代入消元法来解二元一次方程组做好铺垫。

3、解下列方程组：

①

②

（１）　　　　　　　　

（2）

解：

将①代入②得：

解：

将②代入①得：

解方程得：

　　　　解方程得：

把代入①，得　　　　把代入②，得

所以原方程组的解为　　　　　　　　　　所以原方程组的解为　　

②

①

（3）　　　　　　（4）　

解：

由①得　③　　　解：

由②得　③

将③代入②，得：

将③代入①，得

解方程得：

解方程得：

把代入③，得　把代入③，得　

所以原方程组的解为所以原方程组的解为

设计意图：

让学生在给出的解题步骤中完成解题过程，让学生在体验到成功的喜悦同时，熟悉解题步骤，并对以后的学习产生信心。

4.用代入消元法解下列方程组：

（1）

（2）

解：

将②代入①得：

解：

将①代入②得：

解方程得：

解方程得：

把代入②，得把代入②，得

所以原方程组的解为所以原方程组的解为

（2）（4）

解：

由②得　③解：

由①得　③

将③代入①，得将③代入②，得：

解方程得：

解方程得：

把代入③，把代入③，得

所以原方程组的解为所以原方程组的解为

设计意图：

进一步熟练掌握运用代入消元法解一元二次方程组的步骤，对本节知识进行巩固练习.（如果有时间可以让学生分组在黑板上演示）

（B组）

1.用代入消元法解下列方程组：

（1）

（2）

2.根据市场调查，某消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g），两种产品的销售数量的比（按瓶计算）是2:

5．某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？

设计意图：

供学有余力的学生完成。

第五环节：

课堂小结

内容：

师生相互交流总结解二元一次方程组的基本思路是“消元”，即把“二元”变为“一元”；解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法。

代入消元法的要步骤是：

将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值.即求得了方程组的解.

设计意图：

鼓励学生通过本节课的学习，谈谈自己的收获与感受，加深对“温故而知新”的体会，知道“学而时习之”.

第六环节：

布置作业

1.课本98页练习题第1题，第2题。

2.课本103页第2题

3.预习下一课内容

教学设计反思

1．引入自然

二元一次方程组的解法是学习二元一次方程组的重要内容.教材通过上一小节的实际问题，比较一元一次方程的列法和解法，从而自然引入二元一次方程组的代入消元解法.

2．探究有序

回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有了很好的认知基础，探究显得十分自然流畅。