江苏省南通市届高三数学最后一卷备用题+Word版含.docx
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江苏省南通市届高三数学最后一卷备用题+Word版含
数学备用题
第Ⅰ卷（共60分）
第Ⅱ卷（共90分）
一、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
1.如图，已知圆锥的高是底面半径的倍，侧面积为，若正方形内接于底面圆，则四棱锥侧面积为．
2.已知实数满足，且恒成立，则实数的最小值是．
3.函数在上的部分图象如图所示，则的值为．
4.已知数列的首项，且，则数列的前项的和为．
5.甲、乙两种食物的维生素含量如下表：
维生素（单位/）
维生素（单位/）
甲
乙
分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素的含量分别不低于单位，则混合物重量的最小值为．
6.在中，且，设是平面上的一点，则的最小值是．
7.如图，在平面四边形中，分别为线段的两个三等分点，分别为线段的两个三等分点，且，则的值为．
8.已知函数满足，当时，，若函数恰有个零点，则的取值范围是．
9.在平面直角坐标系中，已知点为直线上一点，点在圆上运动，且满足，若，则实数的取值范围是．
10.在斜中，若，则的最大值是．
二、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
11.如图，已知圆的方程为，过点的直线与圆交于点，与轴交于点，设，求证：
为定值.
12.秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用．某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入万元（已减去所用柴油费）；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用（元）与使用年数的关系为：
，已知第二年付费元，第五年付费元．
（1）试求出该农机户用于维修保养的费用（元）与使用年数的函数关系；
（2）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？
（收益=收入-维修保养费用-购买机械费用）
13.如图，某机械厂欲从米，米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：
点分别在边上，且，.设，四边形的面积为（单位：
平方米）.
（1）求关于的函数关系式，求出定义域；
（2）当的长为何值时，裁剪出的四边形的面积最小，并求出最小值.
14.已知椭圆的左顶点，右焦点分别为，右准线为，
（1）若直线上不存在点，使为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；
（2）在
（1）的条件下，当取最大值时，点坐标为，设是椭圆上的三点，且，求：
以线段的中心为原点，过两点的圆方程.
15.已知函数，其中.
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围；
（3）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.
16.已知等差数列与等比数列是非常数的实数列，设.
（1）请举出一对数列与，使集合中有三个元素；
（2）问集合中最多有多少个元素？
并证明你的结论；
三、解答题
17.已知正六棱锥的底面边长为，高为．现从该棱锥的个顶点中随机选取个点构成三角形，设随机变量表示所得三角形的面积.
（1）求概率的值；
（2）求的分布列，并求其数学期望．
18.从集合的所有非空子集中，等可能地取出个．
（1）若，求所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率；
（2）若，记所取子集的元素个数之差为，求的分布列及数学期望．
19.如图，已知直三棱柱中,．
（1）求的长．
（2）若，求二面角的余弦值．
20.如图，在平面直角坐标系中，已知点到抛物线焦点的距离为．
（1）求的值；
（2）设是抛物线上异于的两个不同点，过作轴的垂线，与直线交于点，过作轴的垂线，与直线交于点，过作轴的垂线，与直线分别交于点．
求证：
①直线的斜率为定值；
②是线段的中点．
试卷答案
一、填空题
1.2.3.4.5.6.7.8.9.或10.
二、填空题
11.证明：
当与轴垂直时，此时点与点重合，
从而，，.
当点与点不重合时，直线的斜率存在.
设直线的方程为，，，
则.
由题设，得，即.
所以
将代入，得，
则，，，
所以
综上，为定值.
说明①本题亦可设点坐标求解；
②若将圆换成椭圆，其他题设不变，解题方法类似.
12.解：
（1）依题意，当，；，，
即，解得
所以
（2）记使用年，年均收益为（元），则依题意，，
当且仅当，即时取等号.
所以这台收割机使用年，可使年均收益最大.
13.解：
（1）过点作，垂足为.
在中,
所以
故
所以
据题意，，所以
且当点重合于点时，
所以函数的定义域为
（2）由
（1）可知，
当且仅当时，不等号取等号
又
故
答：
当的长度分别为米，米时，裁剪出的四边形的面积最小，最小值为平方米.
14.解：
（1）设直线与轴的交点是，依题意，
即
（2）当且时，，故
所以
椭圆方程是：
设，则
由，得
因为是椭圆上一点，所以
即
①
因为圆过两点，所以线段的中点的坐标为
又②
由①和②得
所以圆心坐标为
故所求圆方程为
15.解：
（1）当时，，故.
且，故
所以函数在处的切线方程为
（2）由，可得
因为函数存在两个极值点，所以是方程的两个正根，
即的两个正根为
所以，即
所以
令，故，在上单调递增，
所以
故得取值范围是
（3）据题意，对任意的实数恒成立，
即对任意的实数恒成立.
令，则
①若，当时，，故符合题意；
②若，
（i）若，即，则，在上单调赠
所以当时，，故符合题意；
（ii）若，即，令，得（舍去），
，当时，，在上单调减；
当时，，在上单调递增，
所以存在，使得，与题意矛盾，
所以不符题意.
③若，令，得
当时，，在上单调增；当时，，
在上单调减.
首先证明：
要证：
，即要证：
，只要证：
因为，所以，故
所以
其次证明，当时，对任意的都成立
令，则，故在上单调递增，
所以，则
所以当时，对任意的都成立
所以当时，
即，与题意矛盾，故不符题意，
综上所述，实数的取值范围是
16.解：
（1），则
（2）不妨设，由
令，原问题转化为关于的方程
①
最多有多少个解.
下面我们证明：
当时，方程①最多有个解：
时，方程①最多有个解
当时，考虑函数，则
如果，则为单调函数，故方程①最多只有一个解；
如果，且不妨设由得由唯一零点，于是当时，
恒大于或恒小于，当时，恒小于或恒大于
这样在区间与上是单调函数，故方程①最多有个解
当时，如果
如果为奇数，则方程①变为
显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①
如果为偶数，则方程①变为
，由的情形，上式最多有个解，即满足①的偶数最多有个
这样，最多有个正数满足方程①
对于，同理可以证明，方程①最多有个解.
综上所述，集合中的元素个数最多有个.
再由
（1）可知集合中的元素个数最多有个.
三、解答题
17.解
（1）从个顶点中随机选取个点构成三角形，
共有种取法，其中的三角形如，
这类三角形共有个
因此.
（2）由题意，的可能取值为
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形有两类，，如（个），（个），共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
其中的三角形如，这类三角形共有个；
因此
所以随机变量的概率分布列为：
所求数学期望
18.解：
（1）当时，记事件：
“所取子集的元素既有奇数又有偶数”.
则集合的非空子集数为，其中非空子集的元素全为
奇数的子集数为，全为偶数的子集数为，
所以
（2）当时，的所有可能取值为
则
所以的数学期望
19.解：
（1）分别以所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则
所以，
因为，所以，
即，解得
所以的长为.
（2）因为，所以，
又，
故
设为平面的法向量，则，即
取，解得
∴为平面的一个法向量，
显然，为平面的一个法向量
则
据图可知，二面角大小的余弦值为
20.解：
（1）由抛物线定义知，
所以，
将点代入抛物线得，
（2）设
①则直线的方程为：
令得，，所以
同理
所以直线的斜率为（定值）
②设点的横坐标分别为
由①知，直线的方程为：
令得，
又直线的方程为：
令得，
所以
所以是线段的中点.
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