概率统计简明教程习题答案工程代数 同济版Word下载.docx
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（4）AAx0x11或1x2Bxx24
13或x242113x0x或x1或x24.用事件A,B,C的422
运算关系式表示下列事件：
（1）A出现，B,C都不出现（记为E1）；
（2）A,B都出现，C不出现（记为E2）；
（3）所有三个事件都出现（记为E3）；
（4）三个事件中至少有一个出现（记为E4）；
（5）三个事件都不出现（记为E5）；
（6）不多于一个事件出现（记为E6）；
（7）不多于两个事件出现（记为E7）；
（8）三个事件中至少有两个出现（记为E8）。
解
（1）E1A；
（2）E2AB；
（3）E3ABC；
（4）E4ABC；
（5）E5；
（6）E6AB；
（7）E7ABC；
（8）E8ABACBC.
5.一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，i1,2,3，试用Ai表示下列事件：
（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；
（2）只有第一次抽到废品；
（3）三次都抽到废品；
（4）至少有一次抽到合格品；
（2）只有两次抽到废品。
解
（1）A1A2；
（2）A1A2A3；
（3）A1A2A3；
（4）A1A2A3；
（5）A1A2A3A1A2A3A1A2A3.
6.接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}，i1,2,3，B{三次射击恰好命中二次}，C{三次射击至少命中二次}；
试用Ai表示B和C。
解BA1A2A3A1A2A3A1A2A3
CA1A2A1A3A2A3
习题二解答
1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。
解这是不放回抽取，样本点总数n记求概率的事件为A，则有利于A的样本点数k3，21.于是50455
45521k454453!
99P（A）n5049482!
392503
2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。
求
（1）第一次、第二次都取到红球的概率；
（2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率；
（3）二次取得的球为红、白各一的概率；
（4）第二次取到红球的概率。
解本题是有放回抽取模式，样本点总数n7.记
（1）
（2）（3）（4）题求概率的事件分别为A,B,C,D.2
255（ⅰ）有利于A的样本点数kA5，故P（A）497
5210（ⅱ）有利于B的样本点数kB52，故P（B）2497
20（ⅲ）有利于C的样本点数kC252，故P（C）49
75355.（ⅳ）有利于D的样本点数kD75，故P（D）4977222
3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：
（1）最小号码是3的概率；
（2）最大号码是3的概率。
解本题是无放回模式，样本点总数n65.
（ⅰ）最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为23，所求概率为231.655
（ⅱ）最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为22，所求概率为
222.6515
4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：
（1）2只都合格；
（2）1只合格，1只不合格；
（3）至少有1只合格。
解分别记题
（1）、
（2）、（3）涉及的事件为A,B,C，则
424322P（A）665252
42114228P（B）651562
注意到CAB，且A与B互斥，因而由概率的可加性知
P（C）P（A）P（B）281451515
25．掷两颗骰子，求下列事件的概率：
（1）点数之和为7；
（2）点数之和不超过5；
（3）点数之和为偶数。
解分别记题
（1）、
（2）、（3）的事件为A,B,C,样本点总数n6
（ⅰ）A含样本点（2,5）,（5,2）,（1,6）,（6,1）,（3,4）,（4,3）
P（A）61626
1056218
181362（ⅱ）B含样本点（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（3,1）,（1,4）,（4,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）P（B）（ⅲ）C含样本点（1,1）,（1,3）,（3,1）,（1,5）,（5,1）;
（2,2）,（2,4）,（4,2）,（2,6）,（6,2）,（3,3）,（3,5）,（5,3）;
（4,4）,（4,6）,（6,4）;
（5,5）;
（6,6）,一共18个样本点。
P（C）
6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。
3解记求概率的事件为A，样本点总数为5，而有利A的样本点数为543，所以
P（A）54312.3255
7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：
（1）事件A：
“其中恰有一位精通英语”；
（2）事件B：
“其中恰有二位精通英语”；
（3）事件C：
“其中有人精通英语”。
解样本点总数为5
3
2312233!
63
（1）P（A）；
54310553
232133!
3；
（2）P（B）5431053
（3）因CAB，且A与B互斥，因而
339.P（C）P（A）P（B）510108．设一质点一定落在xOy平面记求概率的事件为A，则SA
为图中阴影部分，而||1/2，
112155|SA|2232918
最后由几何概型的概率计算公式可得2P（A）|SA|5/185.||1/29图2.39．（见前面问答题2.3）
10．已知AB，P（A）0.4，P（B）0.6，求
（1）P（）,P（）；
（2）P（AB）；
（3）P（AB）；
（4）P（A）,P（）；
（5）P（B）.
解
（1）P（）1P（A）10.40.6，P（）1P（B）10.60.4；
（2）P（AB）P（A）P（B）P（AB）P（A）P（B）P（A）P（B）0.6；
（3）P（AB）P（A）0.4；
（4）P（A）P（AB）P（）0,P（）P（AB）1P（AB）10.60.4;
（5）P（B）P（BA）0.60.40.2.
11．设A,B是两个事件，已知P（A）0.5，P（B）0.7，P（AB）0.8，试求P（AB）及P（BA）.
P（AB）P（A）P（B）P（AB），因而P（AB）P（A）P（B）
P（AB）0.50.70.80.4.于是，P（AB）P（AAB）P（A）P（AB）0.50.40.1；
P（BA）P（BAB）P（B）P（AB）0.70.40.3.解注意到
习题三解答
1．已知随机事件A的概率P（A）0.5，随机事件B的概率P（B）0.6，条件概率P（B|A）0.8，试求P（AB）及P（）.
解P（AB）P（A）P（B|A）0.50.80.4
P（）P（AB）1P（AB）1P（A）P（B）P（AB）
10.50.60.40.3
2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。
解p10990819.100999899981078
3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19
（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？
（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
解记A{基金}，B{股票}，则P（A）0.58,P（B）0.28,P（AB）0.19
P（AB）0.190.327.P（A）0.58
P（AB）0.19
（2）P（A|B）0.678.P（B）0.28
4．给定P（A）0.5，P（B）0.3，P（AB）0.15，验证下面四个等式：
（1）P（B|A）
P（A|B）P（A）,P（A|）P（A）,P（B|A）P（B），P（B|）P（B）.
P（AB）0.151P（A）解P（A|B）P（B）0.32
P（A）P（A）P（AB）0.50.150.35P（A|）0.5P（A）P（）1P（B）0.70.7
P（AB）0.15P（B|A）0.3P（B）P（A）0.5
P（B|）P（B）P（B）P（AB）0.30.150.15P（B）P（）1P（A）0.50.5
5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。
求他最后可能迟到的概率。
解B{迟到}，A1{坐火车}，A2{坐船}，A3{坐汽车}，A4{乘飞机}，则B
题意BA，且按ii14
P（B|A1）0.25，P（B|A2）0.3，P（B|A3）0.1，P（B|A4）0.
由全概率公式有：
P（B）P（Ai）P（B|Ai）0.30.250.20.30.10.10.145
i14
6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；
乙袋中有8只红球，6只白球。
求下列事件的概率：
（1）随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；
（2）合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解
（1）记B{该球是红球}，A1{取自甲袋}，A2{取自乙袋}，已知P（B|A1）6/10，P（B|A2）8/14，所以
P（B）P（A1）P（B|A1）P（A2）P（B|A2）
（2）P（B）161841210214701472412
7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。
解0.250.050.350.040.40.02
0.01250.01400.0080.03453.45%
8．发报台分别以概率0.6，0.4发出&
quot;
&
和&
，由于通信受到干扰，当发出&
时，分别以概率0.8和0.2收到&
，同样，当发出信号&
时，分别以0.9和0.1的概率收到&
。
求
（1）收到信号&
的概率；
（2）当收到&
时，发出&
的概率。
解记B{收到信号&
}，A{发出信号&
}
（1）P（B）P（A）P（B|A）P（）P（B|）
0.60.80.40.10.480.040.52
P（A）P（B|A）0.60.812.P（B）0.5213
9．设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间A,B,C
（2）P（A|B）生产的概率。
解为方便计，记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品，事件D{次品}，因此
P（D）P（A）P（D|A）P（B）P（D|B）P（C）P（D|C）
0.250.050.350.040.40.02
0.0140.0080.03450.0125
P（A）P（D|A）0.250.05P（A|D）0.362P（D）0.0345
P（B）P（D|B）0.350.04P（B|D）0.406P（D）0.0345
P（C）P（D|C）0.40.02P（C|D）0.232P（D）0.0345
10．设A与B独立，且P（A）p,P（B）q，求下列事件的概率：
P（AB），P（A），P（）.解P（AB）P（A）P（B）P（A）P（B）pqpq
P（A）P（A）P（）P（A）P（）p1qp（1q）1qpq
P（）P（AB）1P（A）P（B）1pq
11．已知A,B独立，且P（）1/9,P（A）P（B），求P（A）,P（B）.
解因P（A）P（B），由独立性有
P（A）P（）P（）P（B）
从而P（A）P（A）P（B）P（B）P（A）P（B）导致P（A）P（B）
再由P（）1/9，有1/9P（）P（）（1P（A））（1P（B））（1P（A））
所以1P（A）1/3。
最后得到P（B）P（A）2/3.
12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。
解记B{命中目标}，A1{甲命中}，A2{乙命中}，A3{丙命中}，则B2A，因而i
i13
321118P（B）1PA1P（A）P（A）P（A）11123i32399.i1
13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的
解记A{通达}，
Ai{元件i通达}，i1,2,3,4,5,6
则AA1A2A3A4A5A6，所以P（A）P（A1A2）P（A3A4）P（A5A6）P（A1A2A3A4）P（A3A4A5A6）P1*******563（1p）23（1p）4（1p）6
14．假设一部机器在一天p（0.2）（0.8）0.051.25
15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
32解p（0.2）0.8（0.2）0.0080.0960.104.32
16．设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，求事件A在每次试验中出现的概率P（A）.33
解记Ai{A在第i次试验中出现}，i1,2,3.pP（A）
319依假设PAi1P（A1A2A3）1（1p）327i1
83所以，（1p），此即p1/3.27
17．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。
记Ai{第i道工序为次品}，i1,2,3.则次品率
3pPAi1P（A1）P（A2）P（A3）10.980.970.9510.903070.097i1
18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4.求此密码被译出的概率。
解记A{译出密码}，Ai{第i人译出}，i1,2,3.则
3P（A）PAi1P（A1）P（A2）P（A3）i1
10.750.650.610.29250.7075
19．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？
有4次至6次出现正面的概率是多少？
10163解
（1）；
52256
106101
（2）k2.
k4
20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：
（1）在此时刻至少有1台电梯在运行的概率；
（2）在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；
（3）在此时刻所有电梯都在运行的概率。
解
（1）1（10.75）1（0.25）
2104425525624273122（0.75）（0.25）6
（2）244128
813（3）（0.75）256444
习题四解答
1.下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。
i,i0,1,2,3,4,5；
15
5i2
i0,1,2,3；
（2）pi6
（1）pi
1,i2,3,4,5；
4
i1,i1,2,3,4,5。
（4）pi25（3）pi
解要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证pi是否满足下列二个条件：
其一条件为pi0,i1,2,，其二条件为pi1。
i
依据上面的说明可得
（1）中的数列为随机变量的分布律；
（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为5940；
（3）中的数列为随机变量的分布律；
（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为66
520p1。
i25i1
c2.试确定常数c，使PXii,i0,1,2,3,4成为某个随机变量X的分布律，并求：
PX2；
2
51PX。
22
416cc解要使i成为某个随机变量的分布律，必须有i1，由此解得c；
3122i0
（2）PX2PX0PX1PX2
1611281312431
51611121（3）PXPX1PX2。
22312431p3
3.一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。
从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。
解X可能取的值为-3，1，2，且PX3
X的分布函数
0x3111,PX1,
PX2，即X的分布律为6FxPXx=
13x1351x26
1x2
4.一袋中有51，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。
解依题意X可能取到的值为3，4，5，事件X3表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即PX311；
事件X4表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个5103
34112236。
球可在1、2、3号球中任选，此时PX4；
同理可得PX510105533
X的分布律为
X的分布函数为
0x3
1Fx3x410
44x510
1x5
5.5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。
解依题意X服从参数n5,p0.6的二项分布，因此，其分布律
5k5kPXkk0.60.4,k0,1,,5，
具体计算后可得
6.从一批含有10等。
在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。
（1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；
（2）每次取出的产品都不放回这批产品中；
（3）每次取出一件产品后总是放回一件正品。
解
（1）设事件Ai,i1,2,表示第i次抽到的产品为正品，依题意，A1,,An,相互独立，且
10PAi,i1,2,而13
k1310PXkP1k1AkP1Pk1PAk,k1,2,1313
10即X服从参数p的几何分布。
13
（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，
103105PX1,PX2,1313122632105321101PX3,PX4.13121114313121110286
（3）X可能取到的值为1，21031133PX1,PX2,1313131693212723216PX3,PX4.13131321971313132197
所求X的分布律为
7.设随机变量X~B6,p，已知PX1PX5，求p与PX2的值。
6
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