概率统计简明教程习题答案工程代数 同济版Word下载.docx

1、 （4）A A x0 x 11或1 x 2 B x x 2 4 13或 x 2 42 113x0 x 或 x 1或 x 2 4. 用事件A,B,C的422 运算关系式表示下列事件：（1） A出现，B,C都不出现（记为E1）；（2） A,B都出现，C不出现（记为E2）；（3） 所有三个事件都出现（记为E3）；（4） 三个事件中至少有一个出现（记为E4）；（5） 三个事件都不出现（记为E5）；（6） 不多于一个事件出现（记为E6）；（7） 不多于两个事件出现（记为E7）；（8） 三个事件中至少有两个出现（记为E8）。解 （1）E1 A； （2）E2 AB；（3）E3 ABC； （4）E4 A B

2、C；（5）E5 ； （6）E6 A B ；（7）E7 ABC ；（8）E8 AB AC BC.5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次抽到废品”，i 1,2,3，试用Ai表示下列事件：（1） 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；（2） 只有第一次抽到废品；（3） 三次都抽到废品；（4） 至少有一次抽到合格品；（2） 只有两次抽到废品。解 （1）A1 A2； （2）A1A2A3； （3）A1A2A3； （4）A1 A2 A3； （5）A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3.6. 接连进行三次射击，设Ai=第i次射击命中，i 1,2,3，B 三次射

3、击恰好命中二次，C 三次射击至少命中二次；试用Ai表示B和C。解 B A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3C A1A2 A1A3 A2A3习题二解答1从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。解 这是不放回抽取，样本点总数n 记求概率的事件为A，则有利于A的样本点数k 3 ， 2 1 . 于 是 50 45 5 45 5 21k 45 44 5 3! 99 P（A） n50 49 48 2!392 50 3 2一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求（

4、1） 第一次、第二次都取到红球的概率；（2） 第一次取到红球，第二次取到白球的概率；（3） 二次取得的球为红、白各一的概率；（4） 第二次取到红球的概率。解 本题是有放回抽取模式，样本点总数n 7. 记（1）（2）（3）（4）题求概率的事件分别为A,B,C,D. 225 5 （）有利于A的样本点数kA 5，故 P（A） 49 7 5 210（） 有利于B的样本点数kB 5 2，故 P（B） 2 49720（） 有利于C的样本点数kC 2 5 2，故 P（C） 497 5355 . （） 有利于D的样本点数kD 7 5，故 P（D） 49772223一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机

5、地从这个口袋中取2只球，试求：（1） 最小号码是3的概率；（2） 最大号码是3的概率。解 本题是无放回模式，样本点总数n 6 5.（） 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利样本点数为2 3，所求概率为 2 31 . 6 55（） 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为2 2，所求概率为2 22 . 6 5154一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：（1） 2只都合格；（2） 1只合格，1只不合格；（3） 至少有1只合格。解 分别记题（1）、（

6、2）、（3）涉及的事件为A,B,C，则 4 2 4 3 22 P（A） 6 6 5 25 2 4 2 1 1 4 2 28 P（B） 6 515 6 2 注意到C A B，且A与B互斥，因而由概率的可加性知P（C） P（A） P（B） 2814 5151525掷两颗骰子，求下列事件的概率： （1） 点数之和为7；（2） 点数之和不超过5；（3） 点数之和为偶数。 解 分别记题（1）、（2）、（3）的事件为A,B,C,样本点总数n 6（）A含样本点（2,5）,（5,2）,（1,6）,（6,1）,（3,4）,（4,3） P（A） 61 626105 6218181 362（）B含样本点（1,1）,

7、（1,2）,（2,1）,（1,3）,（3,1）,（1,4）,（4,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2） P（B） （）C含样本点（1,1）,（1,3）,（3,1）,（1,5）,（5,1）;（2,2）,（2,4）,（4,2）,（2,6）,（6,2）,（3,3）, （3,5）,（5,3）;（4,4）,（4,6）,（6,4）;（5,5）;（6,6）, 一共18个样本点。 P（C） 6把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。3解 记求概率的事件为A，样本点总数为5，而有利A的样本点数为5 4 3，所以P（A） 5 4 312 .

8、 32557总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：（1） 事件A：“其中恰有一位精通英语”；（2） 事件B：“其中恰有二位精通英语”；（3） 事件C：“其中有人精通英语”。解 样本点总数为 5 3 2 3 1 2 2 3 3!63 （1） P（A） ； 5 4 3105 5 3 2 3 2 1 3 3! 3； （2） P（B） 5 4 310 5 3 （3） 因C A B，且A与B互斥，因而339 . P（C） P（A） P（B） 510108设一质点一定落在xOy平面记求概率的事件为A，则SA为图中阴影部分，而| | 1/2，11 2 155|SA| 22 3

9、 2918最后由几何概型的概率计算公式可得 2P（A） |SA|5/185 . | |1/29图2.3 9（见前面问答题2. 3）10已知A B，P（A） 0.4，P（B） 0.6，求（1）P（）,P（）；（2）P（A B）；（3）P（AB）；（4）P（A）,P（）；（5）P（B）.解 （1）P（） 1 P（A） 1 0.4 0.6，P（） 1 P（B） 1 0.6 0.4；（2）P（A B） P（A） P（B） P（AB） P（A） P（B） P（A） P（B） 0.6；（3）P（AB） P（A） 0.4；（4）P（A） P（A B） P（ ） 0, P（） P（A B） 1 P（A B）

10、1 0.6 0.4;（5）P（B） P（B A） 0.6 0.4 0.2.11设A,B是两个事件，已知P（A） 0.5，P（B） 0.7，P（A B） 0.8，试求P（A B）及P（B A）.P（A B） P（A） P（B） P（AB），因而P（AB） P（A） P（B） P（A B） 0.5 0.7 0.8 0.4. 于是，P（A B） P（A AB） P（A） P（AB） 0.5 0.4 0.1；P（B A） P（B AB） P（B） P（AB） 0.7 0.4 0.3. 解 注意到习题三解答1已知随机事件A的概率P（A） 0.5，随机事件B的概率P（B） 0.6，条件概率P（B|A） 0

11、.8，试求P（AB）及P（）.解 P（AB） P（A）P（B|A） 0.5 0.8 0.4P（） P（A B） 1 P（A B） 1 P（A） P（B） P（AB） 1 0.5 0.6 0.4 0.32一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。 解 p 10 9 90819 . 100 99 9899 9810783某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19（1） 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？（2） 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解 记A 基金，B 股票，则P（

12、A） 0.58,P（B） 0.28,P（AB） 0.19P（AB）0.19 0.327. P（A）0.58P（AB）0.19（2） P（A|B） 0.678. P（B）0.284给定P（A） 0.5，P（B） 0.3，P（AB） 0.15，验证下面四个等式： （1） P（B|A） P（A|B） P（A）,P（A|） P（A）, P（B|A） P（B），P（B|） P（B）.P（AB）0.151 P（A） 解 P（A|B） P（B）0.32P（A）P（A） P（AB）0.5 0.150.35 P（A|） 0.5 P（A） P（）1 P（B）0.70.7P（AB）0.15 P（B|A） 0.3 P

13、（B） P（A）0.5P（B|） P（B）P（B） P（AB）0.3 0.150.15 P（B） P（）1 P（A）0.50.55有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。解 B 迟到，A1 坐火车，A2 坐船，A3 坐汽车，A4 乘飞机，则 B 题意 BA，且按ii 14P（B|A1） 0.25，P（B|A2） 0.3，P（B|A3） 0.1，P（B|A4） 0.由全概率公式有：P（B） P（Ai）P（B|Ai） 0.3

14、 0.25 0.2 0.3 0.1 0.1 0.145i 146已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率：（1） 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；（2） 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。解 （1） 记B 该球是红球，A1 取自甲袋，A2 取自乙袋，已知P（B|A1） 6/10，P（B|A2） 8/14，所以P（B） P（A1）P（B|A1） P（A2）P（B|A2） （2） P（B） 161841 21021470147 24127某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的

15、次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。解 0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 0.0125 0.0140 0.008 0.0345 3.45%8发报台分别以概率0.6，0.4发出" &和&，由于通信受到干扰，当发出&时，分别以概率0.8和0.2收到&，同样，当发出信号&时，分别以0.9和0.1的概率收到&。求（1） 收到信号&的概率；（2） 当收到&时，发出&的概率。解 记 B 收到信号&，A 发出信号& （1） P（B） P（A）P（B|A） P（）P（B|） 0.6 0.8 0.4 0.1 0.48 0.04 0.52P（A）P（B|A）0.6

16、0.812 . P（B）0.52139设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间A,B,C（2） P（A|B） 生产的概率。解 为方便计，记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品，事件D 次品，因此P（D） P（A）P（D|A） P（B）P（D|B） P（C）P（D|C） 0.25 0.05 0.35 0.04 0.4 0.02 0.014 0.008 0.0345 0.0125P（A）P（D|A）0.25 0.05P（A|D） 0.36

17、2 P（D）0.0345P（B）P（D|B）0.35 0.04P（B|D） 0.406 P（D）0.0345P（C）P（D|C）0.4 0.02P（C|D） 0.232 P（D）0.034510设A与B独立，且P（A） p,P（B） q，求下列事件的概率：P（A B），P（A ），P（ ）. 解 P（A B） P（A） P（B） P（A）P（B） p q pqP（A ） P（A） P（） P（A）P（） p 1 q p（1 q） 1 q pqP（ ） P（AB） 1 P（A）P（B） 1 pq11已知A,B独立，且P（） 1/9,P（A） P（B），求P（A）,P（B）.解 因P（A） P（B

18、），由独立性有P（A）P（） P（）P（B）从而 P（A） P（A）P（B） P（B） P（A）P（B） 导致 P（A） P（B）再由 P（） 1/9，有 1/9 P（）P（） （1 P（A）（1 P（B） （1 P（A）所以 1 P（A） 1/3。最后得到 P（B） P（A） 2/3.12甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。 解 记 B 命中目标，A1 甲命中，A2 乙命中，A3 丙命中，则 B 2 A，因而 ii 13 3 21118 P（B） 1 P A 1 P（A）P（A）P（A） 1 1 123 i 32399. i

19、1 13设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的解 记 A 通达，Ai 元件i通达，i 1,2,3,4,5,6则 A A1A2 A3A4 A5A6， 所以 P（A） P（A1A2） P（A3A4） P（A5A6） P（A1A2A3A4） P（A3A4A5A6） P1*56 3（1 p）2 3（1 p）4 （1 p）614假设一部机器在一天p （0.2）（0.8） 0.051. 2 5 15灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。32 解 p （0.2） 0.8 （0.2） 0.008

20、 0.096 0.104. 3 2 16设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，求事件A在每次试验中出现的概率P（A）. 3 3 解 记Ai A在第i次试验中出现，i 1,2,3. p P（A） 3 19依假设 P Ai 1 P（A1A2A3） 1 （1 p）3 27 i 1 83所以， （1 p） ， 此即 p 1/3. 2717加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 Ai 第i道工

21、序为次品，i 1,2,3. 则次品率 3 p P Ai 1 P（A1）P（A2）P（A3） 1 0.98 0.97 0.95 1 0.90307 0.097 i 1 18三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。 解 记 A 译出密码， Ai 第i人译出，i 1,2,3. 则 3 P（A） P Ai 1 P（A1）P（A2）P（A3） i 1 1 0.75 0.65 0.6 1 0.2925 0.707519将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？ 10 1 63解 （1） ；

22、5 2256 10610 1 （2） k 2 .k 4 20某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：（1） 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率；（2） 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率；（3） 在此时刻所有电梯都在运行的概率。解 （1） 1 （1 0.75） 1 （0.25） 21044255 2562 4 27 3 1 22 （0.75）（0.25） 6 （2） 2 44128 81 3 （3） （0.75） 256 4 44习题四解答1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。i,i 0,1,2,3,4,5； 155 i2,i

23、0,1,2,3； （2）pi 6（1）pi 1,i 2,3,4,5； 4i 1,i 1,2,3,4,5。 （4）pi 25（3）pi 解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证pi是否满足下列二个条件：其一条件为pi 0,i 1,2, ，其二条件为 pi 1。i依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为5 94 0；（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，这是因为66520p 1。 i25i 1c2. 试确定常数c，使P X i i, i 0,1,2,3,4 成为某个随机变量X的分布律，并求：P X

24、 2 ；25 1P X 。 2 2416cc解 要使i成为某个随机变量的分布律，必须有 i 1，由此解得c ； 3122i 0（2） P X 2 P X 0 P X 1 P X 2 16 11 28 1 31 24 315 16 11 12 1（3）P X P X 1 P X 2 。 2231 24 31p3 3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。解 X可能取的值为-3，1，2，且P X 3 X的分布函数0 x 3 111,P X 1 ,P X 2 ，即X的分布

25、律为 6F x P X x =1 3 x 1 35 1 x 2 61 x 24. 一袋中有51，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。解 依题意X可能取到的值为3，4，5，事件 X 3 表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即P X 3 11 ；事件 X 4 表示随机取出的3个球的最大号码为4，因此另外2个 5 10 3 3 4 1 1 2 2 3 6。 球可在1、2、3号球中任选，此时P X 4 ；同理可得P X 5 1010 5 5 3 3 X的分布律为X的分布函数为0 x 31 F x 3 x 4 104

26、4 x 5 101 x 55. 5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。 解 依题意X服从参数n 5,p 0.6的二项分布，因此，其分布律 5 k5 kP X k k 0.60.4,k 0,1, ,5， 具体计算后可得6. 从一批含有10等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。（1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；（2） 每次取出的产品都不放回这批产品中；（3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。解 （1）设事件Ai,i 1,2, 表示第i次抽到的产品为正品，依题意，A1, ,An, 相互独立，且10P Ai ,i

27、1,2, 而 13k 1 3 10P X k P1 k 1Ak P1 Pk 1P Ak ,k 1,2, 1313 10即X服从参数p 的几何分布。 13（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，103 105P X 1 ,P X 2 ,1313 1226 3 2 1053 2 1 101P X 3 ,P X 4 .13 12 1114313 12 11 10286（3）X可能取到的值为1，2103 1133P X 1 ,P X 2 ,1313 13169 3 2 12723 2 16P X 3 ,P X 4 .13 13 13219713 13 132197 所求X的分布律为7. 设随机变量XB 6,p ，已知P X 1 P X 5 ，求p与P X 2 的值。 6