甘肃兰州第一中学高三上抽考数学理.docx
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甘肃兰州第一中学高三上抽考数学理
甘肃兰州第一中学2019高三上12月抽考-数学（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设，且为正实数，则
210
2.已知随机变量服从正态分布,则
A.0.21B.0.58C.0.42D.0.29
3.下列说法正确的是
有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱，
四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，
有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台，
以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.
4.展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为
A.B.C.D.
5.若实数满足，则的最小值为
019
6.函数的图像可能是
7.已知函数，（为常数，）在处取得最小值，
则函数
是偶函数，且它的图像关于对称是偶函数，且它的图像关于对称
是奇函数，且它的图像关于对称是奇函数，且它的图像关于对称
8．在数列中，若对任意的均有为定值（），
且，则数列的前100项的和
A．B．C．D．
9．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,
且g（3）=0.则不等式的解集是
A．（－3,0）∪（3,+∞）B．（－3,0）∪（0,3）
C．（－∞,-3）∪（3,+∞）D．（－∞,－3）∪（0,3）
10.如图所示，两个不共线向量,的夹角为，
分别为与的中点，点在直线上，
且，则的最小值为
11.设是定义在上的增函数，且对任意，都有恒成立，如果实数满足不等式，那么的取值范围是
（9，49）（13，49）（9，25）（3，7）
12.对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道.给出下列函数：
，，，其中在区间上通道宽度可以为1的函数有：
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为______.
14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_______________.
15.等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表中的同一列，则数列的通项公式______________.
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
16.已知函数，.若,
使,则实数的取值范围是________________.
选择、填空题答案：
1—5：
DDBDB6—10：
BDBDB,11—12：
AB
13.;14.;15.;16.
三、解答题：
本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，A,B是海面上位于东西方向相距海里的
两个观测点，现位于A点北偏东，B点北偏西的D
点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点
相距海里的C点救援船立即前往营救，其航行速度为
30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间？
解：
18.已知函数数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）令求；
（3）若对恒成立，求的最小值.
解：
（1）因为，又，即是以1为首项，以为公差的等差数列，所以.
（2）
（3）由，递减，所以，取最大值，由时，恒成立，
所以，所以，.
19.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，，分别为的中点.
（1）证明:
（2）过点作,垂足为点,求二面角的余弦值.
19.
20.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：
每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
（1）求这4个人中恰好有2人去参加甲游戏的概率；
（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；
（3）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
解：
依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件，，则.
（1）这4个人中恰好有2人去参加甲游戏的概率
（2）设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件，，故，.
所以，这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
（3）的所有可能取值为0,2,4.
，
所以，的分布列是
0
2
4
.
21.已知函数，
（1）讨论的单调性，
（2）设，证明：
当时，，
（3）若函数的图像与轴交于两点，线段中点的横坐标为，证明：
解：
（1）f（x）的定义域为（0,+∞）
（ⅰ）若时,,所以f（x）在（0,+∞）内单调递增
（ⅱ）若时,由得,且内单调递增
时f（x）单调递减
（2）设
当时，，而∴
即时
（3）由
（1）可得，当，f（x）单调递增，所以f（x）与x轴至多有一个交点，不合题意.故a>0,从而,且
不妨设，则
由
（2）知
即
22．选考题（本小题10分）
请从下列三道题当中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，请在答题卷上注明题号。
22—1.设函数
（1）解不等式,
（2）若定义域为,求实数的取值范围.
解：
（1）原不等式等价于：
因此不等式的解集为
（2）由于的定义域为R
∴在R上无解
又即
∴-m<2,即m>-2
22—2.如图，在中，是的角平分线，的外接圆交于，，
（1）求证：
（2）当时，求的长.
证明：
（1）连接DE，
∵ACDE为圆的内接四边形.∴∠BDE=∠BCA
又∠DBE=∠CBA
∴△BDE∽△BCA即
而AB=2AC∴BE=2DE
又CD是∠ACB的平分线∴AD=DE从而BE=2AD.
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