高考数学大一轮复习第七章不等式74基本不等式及其应用教师用书Word格式.docx
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B成立⇔f(x)min<
(3)恰成立问题:
不等式f(x)>
A恰在区间D上成立⇔f(x)>
A的解集为D;
不等式f(x)<
B恰在区间D上成立⇔f(x)<
B的解集为D.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)函数y=x+的最小值是2.( ×
)
(2)函数f(x)=cosx+,x∈(0,)的最小值等于4.( ×
(3)“x>
0且y>
0”是“+≥2”的充要条件.( ×
(4)若a>
0,则a3+的最小值为2.( ×
(5)不等式a2+b2≥2ab与≥有相同的成立条件.( ×
(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ )
1.(教材改编)设x>
0,且x+y=18,则xy的最大值为( )
A.80B.77C.81D.82
答案 C
解析 ∵x>
0,∴≥,
即xy≤()2=81,
当且仅当x=y=9时,(xy)max=81.
2.(教材改编)已知x>
0,a>
0,当y=x+取最小值时,x的值为( )
A.1B.aC.D.2
解析 y=x+≥2,
当且仅当x=即x=时,
y=x+有最小值2.
3.若a>
0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是( )
A.≤B.+≤1
C.≥2D.a2+b2≥8
答案 D
解析 4=a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),即≤2,ab≤4,≥,选项A,C不成立;
+==≥1,选项B不成立;
a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项D成立.
4.(2016·
宁波期末)若正数x,y满足x2+4y2+x+2y=1,则xy的最大值为________.
答案
解析 由题意得
1=x2+4y2+x+2y≥4xy+2·
,
则≤,则xy≤()2=.
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 通过配凑法利用基本不等式
例1
(1)已知0<
x<
1,则x(4-3x)取得最大值时x的值为________.
(2)已知x<
,则f(x)=4x-2+的最大值为________.
(3)函数y=(x>
1)的最小值为________.
答案
(1)
(2)1 (3)2+2
解析
(1)x(4-3x)=·
(3x)(4-3x)≤·
[]2=,
当且仅当3x=4-3x,即x=时,取等号.
(2)因为x<
,所以5-4x>
0,
则f(x)=4x-2+=-(5-4x+)+3≤-2+3=1.
当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.
故f(x)=4x-2+的最大值为1.
(3)y==
=
=(x-1)++2≥2+2.
当且仅当(x-1)=,即x=+1时,等号成立.
命题点2 通过常数代换法利用基本不等式
例2 已知a>
0,a+b=1,则+的最小值为________.
答案 4
解析 ∵a>
0,a+b=1,
∴+=+=2++
≥2+2=4,即+的最小值为4,当且仅当a=b=时等号成立.
引申探究
1.若条件不变,求(1+)(1+)的最小值.
解 (1+)(1+)=(1+)(1+)=(2+)·
(2+)
=5+2(+)≥5+4=9.
当且仅当a=b=时,取等号.
2.已知a>
0,+=4,求a+b的最小值.
解 由+=4,得+=1.
∴a+b=(+)(a+b)=++≥+2=1.
当且仅当a=b=时取等号.
3.若将条件改为a+2b=3,求+的最小值.
解 ∵a+2b=3,
∴a+b=1,
∴+=(+)(a+b)=+++
≥1+2=1+.
当且仅当a=b时,取等号.
思维升华
(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:
“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.
(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.
(3)条件最值的求解通常有两种方法:
一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解;
二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值.
(1)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是________.
(2)已知x,y∈(0,+∞),2x-3=()y,若+(m>
0)的最小值为3,则m=________.
答案
(1)5
(2)4
解析
(1)方法一 由x+3y=5xy,可得+=1,
∴3x+4y=(3x+4y)(+)
=+++≥+=5.
当且仅当=,即x=1,y=时,等号成立,
∴3x+4y的最小值是5.
方法二 由x+3y=5xy,得x=,
∵x>
0,∴y>
∴3x+4y=+4y=+4y
=+·
+4(y-)
≥+2=5,
当且仅当y=时等号成立,∴(3x+4y)min=5.
(2)由2x-3=()y得x+y=3,
+=(x+y)(+)
=(1+m++)
≥(1+m+2)
(当且仅当=,即y=x时取等号),
∴(1+m+2)=3,
解得m=4.
题型二 基本不等式的实际应用
例3 某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:
万元)与机器运转时间x(单位:
年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则该公司年平均利润的最大值是________万元.
答案 8
解析 年平均利润为=-x-+18
=-(x+)+18,
∵x+≥2=10,
∴=18-(x+)≤18-10=8,
当且仅当x=即x=5时,取等号.
思维升华
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品________件.
答案 80
解析 设每件产品的平均费用为y元,由题意得
y=+≥2=20.
当且仅当=(x>
0),即x=80时“=”成立.
题型三 基本不等式的综合应用
命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题
例4
(1)(2016·
杭州二模)正实数x,y满足:
+=1,则x2+y2-10xy的最小值为_____.
(2)(2016·
山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{an}的公差是d,其前n项和是Sn,若a1=d=1,则的最小值是________.
答案
(1)-36
(2)
解析
(1)+=1⇒x+y=xy,
x2+y2-10xy=(x+y)2-12xy=(xy)2-12xy=(xy-6)2-36,
由x+y=xy≥2,得xy≥4,
故(x2+y2-10xy)min=-36.
(2)an=a1+(n-1)d=n,Sn=,
∴==(n++1)≥
(2+1)=,
当且仅当n=4时取等号.
∴的最小值是.
命题点2 求参数值或取值范围
例5
(1)已知a>
0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值为( )
A.9B.12C.18D.24
(2)已知函数f(x)=(a∈R),若对于任意的x∈N*,f(x)≥3恒成立,则a的取值范围是________.
答案
(1)B
(2)[-,+∞)
解析
(1)由+≥,
得m≤(a+3b)(+)=++6.
又++6≥2+6=12(当且仅当=时等号成立),
∴m≤12,∴m的最大值为12.
(2)对任意x∈N*,f(x)≥3恒成立,即≥3恒成立,即知a≥-(x+)+3.
设g(x)=x+,x∈N*,则g
(2)=6,g(3)=.
∵g
(2)>
g(3),∴g(x)min=,∴-(x+)+3≤-,
∴a≥-,故a的取值范围是[-,+∞).
思维升华
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立:
对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解.
(2)条件不等式的最值问题:
通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.
(3)求参数的值或范围:
观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围.
(1)(2016·
杭州四地六校联考)已知函数f(x)=x++2的值域为(-∞,0]∪[4,+∞),则a的值是( )
A.B.C.1D.2
(2)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为( )
A.B.C.D.
答案
(1)C
(2)A
解析
(1)由题意可得a>
①当x>
0时,f(x)=x++2≥2+2,当且仅当x=时取等号;
②当x<
0时,f(x)=x++2≤-2+2,
当且仅当x=-时取等号,
所以解得a=1,故选C.
(2)由各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,可得a1q6=a1q5+2a1q4,
所以q2-q-2=0,
解得q=2或q=-1(舍去).
因为=4a1,所以qm+n-2=16,
所以2m+n-2=24,所以m+n=6.
所以+=(m+n)(+)
=(5++)
≥(5+2)=.
当且仅当=,即m=2,n=4时等号成立,
故+的最小值等于.
8.利用基本不等式求最值
典例
(1)已知x>
0,且+=1,则x+y的最小值是________.
(2)函数y=1-2x-(x<
0)的值域为________.
错解展示
解析
(1)∵x>
0,∴1=+≥2,
∴≥2,∴x+y≥2=4,
∴x+y的最小值为4.
(2)∵2x+≥2,∴y=1-2x-≤1-2.
∴函数y=1-2x-(x<
0)的值域为(-∞,1-2].
答案
(1)4
(2)(-∞,1-2]
现场纠错
∴x+y=(x+y)(+)
=3++≥3+2(当且仅当y=x时取等号),
∴当x=+1,y=2+时,(x+y)min=3+2.
(2)∵x<
0,∴y=1-2x-=1+(-2x)+(-)≥1+2=1+2,当且仅当x=-时取等号,故函数y=1-2x-(x<
0)的值域为[1+2,+∞).
答案
(1)3+2
(2)[1+2,+∞)
纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件:
一正二定三相等;
多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.
1.已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是( )
A.a+b≥2B.+≥2
C.|+|≥2D.a2+b2>
2ab
解析 因为和同号,所以|+|=||+||≥2.
2.设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为a,b∈R时,都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,
即a2+b2≥2ab,而+≥2⇔ab>
所以“a2+b2≥2ab”是“+≥2”的必要不充分条件,故选B.
3.(2016·
余姚模拟)已知x>
0,lg2x+lg8y=lg2,则+的最小值是( )
A.2B.2C.4D.2
解析 因为lg2x+lg8y=lg2,所以x+3y=1,
所以+=(+)(x+3y)=2++≥4,
当且仅当=,即x=,y=时,取等号.
平顶山至阳中学期中)若函数f(x)=x+(x>
2)在x=a处取最小值,则a等于( )
A.1+B.1+
C.3D.4
解析 当x>
2时,x-2>
0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=(x>
2),即x=3时取等号,即当f(x)取得最小值时,x=3,即a=3,故选C.
5.已知x>
0,且4xy-x-2y=4,则xy的最小值为( )
A.B.2C.D.2
0,x+2y≥2,
∴4xy-(x+2y)≤4xy-2,
∴4≤4xy-2,
即(-2)(+1)≥0,
∴≥2,∴xy≥2.
*6.设a>
b>
c>
0,则2a2++-10ac+25c2的最小值是( )
A.2B.4C.2D.5
解析 2a2++-10ac+25c2
=(a-5c)2+a2-ab+ab++
=(a-5c)2+ab++a(a-b)+
≥0+2+2=4,
当且仅当a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1时,等号成立,
即取a=,b=,c=时满足条件.
*7.(2016·
吉林九校第二次联考)若正数a,b满足+=1,则+的最小值是( )
A.1B.6C.9D.16
解析 ∵正数a,b满足+=1,∴b=>
0,解得a>
1.同理可得b>
1,所以+=+=+9(a-1)≥2=6,当且仅当=9(a-1),即a=时等号成立,所以最小值为6.故选B.
8.(2016·
浙江省五校高三第二次联考)对任意的θ∈(0,),不等式+≥|2x-1|成立,则实数x的取值范围是( )
A.[-3,4]B.[0,2]
C.[-,]D.[-4,5]
解析 因为+
=+
=++5≥2×
+5=9,
当且仅当=,即tanθ=时等号成立,
所以|2x-1|≤9,解得-4≤x≤5,故选D.
9.(2016·
唐山一模)已知x,y∈R且满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围为________.
答案 [4,12]
解析 ∵2xy=6-(x2+4y2),而2xy≤,
∴6-(x2+4y2)≤,
∴x2+4y2≥4(当且仅当x=2y时取等号).
又∵(x+2y)2=6+2xy≥0,
即2xy≥-6,∴z=x2+4y2=6-2xy≤12
(当且仅当x=-2y时取等号).
综上可知4≤x2+4y2≤12.
10.(2016·
潍坊模拟)已知a,b为正实数,直线x+y+a=0与圆(x-b)2+(y-1)2=2相切,则的取值范围是________.
答案 (0,+∞)
解析 ∵x+y+a=0与圆(x-b)2+(y-1)2=2相切,
∴d==,
∴a+b+1=2,即a+b=1,
∴==
=(b+1)+-4≥2-4=0.
又∵a,b为正实数,∴等号取不到.
∴的取值范围是(0,+∞).
*11.(2016·
东莞模拟)函数y=loga(x+3)-1(a>
0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m,n均大于0,则+的最小值为________.
解析 y=loga(x+3)-1的图象恒过定点A(-2,-1),
由A在直线mx+ny+1=0上.
得-2m-n+1=0即2m+n=1.
∴+=+=++4≥2+4=8(当且仅当=,即m=,n=时等号成立).
12.(2017·
浙江联考)若正数x,y,z满足3x+4y+5z=6,则+的最小值为________.
解析 +=+
=+-3,
令2y+z=a,x+z=b,
则2(2y+z)+3(x+z)=3x+4y+5z=2a+3b=6,
即+=1,
原式=(+)(+)-3
=++≥.
13.某项研究表明:
在考虑行车安全情况下,某路段车流量F(单位时间经过测量点的车辆数,单位:
辆/小时)与车辆速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:
米/秒),平均车长l(单位:
米)的值有关,其公式F=.
(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/小时.
(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比
(1)中的最大车流量增加________辆/小时.
答案
(1)1900
(2)100
解析
(1)当l=6.05时,F=≤=1900,
当且仅当v=11时取最大值.
(2)当l=5时,F=≤2000,
当且仅当v=10时取等号,
∴最大车流量比
(1)中增加2000-1900=100(辆/小时).
14.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:
千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油(2+)升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
解
(1)设所用时间为t=(h),
y=×
2×
(2+)+14×
,x∈[50,100].
所以这次行车总费用y关于x的表达式是
y=+x,x∈[50,100].
(2)y=+x≥26,
当且仅当=x,即x=18时,等号成立.
故当x=18时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26元.