高考数学大一轮复习第七章不等式74基本不等式及其应用教师用书Word格式.docx

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B成立⇔f（x）min<

（3）恰成立问题：

不等式f（x）>

A恰在区间D上成立⇔f（x）>

A的解集为D；

不等式f（x）<

B恰在区间D上成立⇔f（x）<

B的解集为D.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）函数y＝x＋的最小值是2.（　×

　）

（2）函数f（x）＝cosx＋，x∈（0，）的最小值等于4.（　×

（3）“x>

0且y>

0”是“＋≥2”的充要条件．（　×

（4）若a>

0，则a3＋的最小值为2.（　×

（5）不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件．（　×

（6）两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．（　√　）

1．（教材改编）设x>

0，且x＋y＝18，则xy的最大值为（　　）

A．80B．77C．81D．82

答案　C

解析　∵x>

0，∴≥，

即xy≤（）2＝81，

当且仅当x＝y＝9时，（xy）max＝81.

2．（教材改编）已知x>

0，a>

0，当y＝x＋取最小值时，x的值为（　　）

A．1B．aC.D．2

解析　y＝x＋≥2，

当且仅当x＝即x＝时，

y＝x＋有最小值2.

3．若a>

0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是（　　）

A.≤B.＋≤1

C.≥2D．a2＋b2≥8

答案　D

解析　4＝a＋b≥2（当且仅当a＝b时，等号成立），即≤2，ab≤4，≥，选项A，C不成立；

＋＝＝≥1，选项B不成立；

a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立．

4．（2016·

宁波期末）若正数x，y满足x2＋4y2＋x＋2y＝1，则xy的最大值为________．

答案　

解析　由题意得

1＝x2＋4y2＋x＋2y≥4xy＋2·

，

则≤，则xy≤（）2＝.

题型一　利用基本不等式求最值

命题点1　通过配凑法利用基本不等式

例1　

（1）已知0<

x<

1，则x（4－3x）取得最大值时x的值为________．

（2）已知x<

，则f（x）＝4x－2＋的最大值为________．

（3）函数y＝（x>

1）的最小值为________．

答案　

（1）　

（2）1　（3）2＋2

解析　

（1）x（4－3x）＝·

（3x）（4－3x）≤·

[]2＝，

当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号．

（2）因为x<

，所以5－4x>

0，

则f（x）＝4x－2＋＝－（5－4x＋）＋3≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．

故f（x）＝4x－2＋的最大值为1.

（3）y＝＝

＝

＝（x－1）＋＋2≥2＋2.

当且仅当（x－1）＝，即x＝＋1时，等号成立．

命题点2　通过常数代换法利用基本不等式

例2　已知a>

0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．

答案　4

解析　∵a>

0，a＋b＝1，

∴＋＝＋＝2＋＋

≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．

引申探究

1．若条件不变，求（1＋）（1＋）的最小值．

解　（1＋）（1＋）＝（1＋）（1＋）＝（2＋）·

（2＋）

＝5＋2（＋）≥5＋4＝9.

当且仅当a＝b＝时，取等号．

2．已知a>

0，＋＝4，求a＋b的最小值．

解　由＋＝4，得＋＝1.

∴a＋b＝（＋）（a＋b）＝＋＋≥＋2＝1.

当且仅当a＝b＝时取等号．

3．若将条件改为a＋2b＝3，求＋的最小值．

解　∵a＋2b＝3，

∴a＋b＝1，

∴＋＝（＋）（a＋b）＝＋＋＋

≥1＋2＝1＋.

当且仅当a＝b时，取等号．

思维升华　

（1）应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：

“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．

（2）在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．

（3）条件最值的求解通常有两种方法：

一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；

二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

（1）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．

（2）已知x，y∈（0，＋∞），2x－3＝（）y，若＋（m>

0）的最小值为3，则m＝________.

答案　

（1）5　

（2）4

解析　

（1）方法一　由x＋3y＝5xy，可得＋＝1，

∴3x＋4y＝（3x＋4y）（＋）

＝＋＋＋≥＋＝5.

当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立，

∴3x＋4y的最小值是5.

方法二　由x＋3y＝5xy，得x＝，

∵x>

0，∴y>

∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y

＝＋·

＋4（y－）

≥＋2＝5，

当且仅当y＝时等号成立，∴（3x＋4y）min＝5.

（2）由2x－3＝（）y得x＋y＝3，

＋＝（x＋y）（＋）

＝（1＋m＋＋）

≥（1＋m＋2）

（当且仅当＝，即y＝x时取等号），

∴（1＋m＋2）＝3，

解得m＝4.

题型二　基本不等式的实际应用

例3　某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：

万元）与机器运转时间x（单位：

年）的关系为y＝－x2＋18x－25（x∈N*），则该公司年平均利润的最大值是________万元．

答案　8

解析　年平均利润为＝－x－＋18

＝－（x＋）＋18，

∵x＋≥2＝10，

∴＝18－（x＋）≤18－10＝8，

当且仅当x＝即x＝5时，取等号．

思维升华　

（1）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

（2）根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

（3）在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解．

　某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．

答案　80

解析　设每件产品的平均费用为y元，由题意得

y＝＋≥2＝20.

当且仅当＝（x>

0），即x＝80时“＝”成立．

题型三　基本不等式的综合应用

命题点1　基本不等式与其他知识交汇的最值问题

例4　

（1）（2016·

杭州二模）正实数x，y满足：

＋＝1，则x2＋y2－10xy的最小值为_____．

（2）（2016·

山西忻州一中等第一次联考）设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．

答案　

（1）－36　

（2）

解析　

（1）＋＝1⇒x＋y＝xy，

x2＋y2－10xy＝（x＋y）2－12xy＝（xy）2－12xy＝（xy－6）2－36，

由x＋y＝xy≥2，得xy≥4，

故（x2＋y2－10xy）min＝－36.

（2）an＝a1＋（n－1）d＝n，Sn＝，

∴＝＝（n＋＋1）≥

（2＋1）＝，

当且仅当n＝4时取等号．

∴的最小值是.

命题点2　求参数值或取值范围

例5　

（1）已知a>

0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为（　　）

A．9B．12C．18D．24

（2）已知函数f（x）＝（a∈R），若对于任意的x∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是________．

答案　

（1）B　

（2）[－，＋∞）

解析　

（1）由＋≥，

得m≤（a＋3b）（＋）＝＋＋6.

又＋＋6≥2＋6＝12（当且仅当＝时等号成立），

∴m≤12，∴m的最大值为12.

（2）对任意x∈N*，f（x）≥3恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－（x＋）＋3.

设g（x）＝x＋，x∈N*，则g

（2）＝6，g（3）＝.

∵g

（2）>

g（3），∴g（x）min＝，∴－（x＋）＋3≤－，

∴a≥－，故a的取值范围是[－，＋∞）．

思维升华　

（1）应用基本不等式判断不等式是否成立：

对所给不等式（或式子）变形，然后利用基本不等式求解．

（2）条件不等式的最值问题：

通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．

（3）求参数的值或范围：

观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．

（1）（2016·

杭州四地六校联考）已知函数f（x）＝x＋＋2的值域为（－∞，0]∪[4，＋∞），则a的值是（　　）

A.B.C．1D．2

（2）已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为（　　）

A.B.C.D.

答案　

（1）C　

（2）A

解析　

（1）由题意可得a>

①当x>

0时，f（x）＝x＋＋2≥2＋2，当且仅当x＝时取等号；

②当x<

0时，f（x）＝x＋＋2≤－2＋2，

当且仅当x＝－时取等号，

所以解得a＝1，故选C.

（2）由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4，

所以q2－q－2＝0，

解得q＝2或q＝－1（舍去）．

因为＝4a1，所以qm＋n－2＝16，

所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6.

所以＋＝（m＋n）（＋）

＝（5＋＋）

≥（5＋2）＝.

当且仅当＝，即m＝2，n＝4时等号成立，

故＋的最小值等于.

8．利用基本不等式求最值

典例　

（1）已知x>

0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________．

（2）函数y＝1－2x－（x<

0）的值域为________．

错解展示

解析　

（1）∵x>

0，∴1＝＋≥2，

∴≥2，∴x＋y≥2＝4，

∴x＋y的最小值为4.

（2）∵2x＋≥2，∴y＝1－2x－≤1－2.

∴函数y＝1－2x－（x<

0）的值域为（－∞，1－2]．

答案　

（1）4　

（2）（－∞，1－2]

现场纠错

∴x＋y＝（x＋y）（＋）

＝3＋＋≥3＋2（当且仅当y＝x时取等号），

∴当x＝＋1，y＝2＋时，（x＋y）min＝3＋2.

（2）∵x<

0，∴y＝1－2x－＝1＋（－2x）＋（－）≥1＋2＝1＋2，当且仅当x＝－时取等号，故函数y＝1－2x－（x<

0）的值域为[1＋2，＋∞）．

答案　

（1）3＋2　

（2）[1＋2，＋∞）

纠错心得　利用基本不等式求最值时要注意条件：

一正二定三相等；

多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．

1．已知a，b∈R，且ab≠0，则下列结论恒成立的是（　　）

A．a＋b≥2B.＋≥2

C．|＋|≥2D．a2＋b2>

2ab

解析　因为和同号，所以|＋|＝||＋||≥2.

2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，

即a2＋b2≥2ab，而＋≥2⇔ab>

所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件，故选B.

3．（2016·

余姚模拟）已知x>

0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是（　　）

A．2B．2C．4D．2

解析　因为lg2x＋lg8y＝lg2，所以x＋3y＝1，

所以＋＝（＋）（x＋3y）＝2＋＋≥4，

当且仅当＝，即x＝，y＝时，取等号．

平顶山至阳中学期中）若函数f（x）＝x＋（x>

2）在x＝a处取最小值，则a等于（　　）

A．1＋B．1＋

C．3D．4

解析　当x>

2时，x－2>

0，f（x）＝（x－2）＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝（x>

2），即x＝3时取等号，即当f（x）取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.

5．已知x>

0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为（　　）

A.B．2C.D．2

0，x＋2y≥2，

∴4xy－（x＋2y）≤4xy－2，

∴4≤4xy－2，

即（－2）（＋1）≥0，

∴≥2，∴xy≥2.

*6.设a>

b>

c>

0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是（　　）

A．2B．4C．2D．5

解析　2a2＋＋－10ac＋25c2

＝（a－5c）2＋a2－ab＋ab＋＋

＝（a－5c）2＋ab＋＋a（a－b）＋

≥0＋2＋2＝4，

当且仅当a－5c＝0，ab＝1，a（a－b）＝1时，等号成立，

即取a＝，b＝，c＝时满足条件．

*7.（2016·

吉林九校第二次联考）若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是（　　）

A．1B．6C．9D．16

解析　∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝>

0，解得a>

1.同理可得b>

1，所以＋＝＋＝＋9（a－1）≥2＝6，当且仅当＝9（a－1），即a＝时等号成立，所以最小值为6.故选B.

8．（2016·

浙江省五校高三第二次联考）对任意的θ∈（0，），不等式＋≥|2x－1|成立，则实数x的取值范围是（　　）

A．[－3,4]B．[0,2]

C．[－，]D．[－4,5]

解析　因为＋

＝＋

＝＋＋5≥2×

＋5＝9，

当且仅当＝，即tanθ＝时等号成立，

所以|2x－1|≤9，解得－4≤x≤5，故选D.

9．（2016·

唐山一模）已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________．

答案　[4,12]

解析　∵2xy＝6－（x2＋4y2），而2xy≤，

∴6－（x2＋4y2）≤，

∴x2＋4y2≥4（当且仅当x＝2y时取等号）．

又∵（x＋2y）2＝6＋2xy≥0，

即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12

（当且仅当x＝－2y时取等号）．

综上可知4≤x2＋4y2≤12.

10．（2016·

潍坊模拟）已知a，b为正实数，直线x＋y＋a＝0与圆（x－b）2＋（y－1）2＝2相切，则的取值范围是________．

答案　（0，＋∞）

解析　∵x＋y＋a＝0与圆（x－b）2＋（y－1）2＝2相切，

∴d＝＝，

∴a＋b＋1＝2，即a＋b＝1，

∴＝＝

＝（b＋1）＋－4≥2－4＝0.

又∵a，b为正实数，∴等号取不到．

∴的取值范围是（0，＋∞）．

*11.（2016·

东莞模拟）函数y＝loga（x＋3）－1（a>

0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则＋的最小值为________．

解析　y＝loga（x＋3）－1的图象恒过定点A（－2，－1），

由A在直线mx＋ny＋1＝0上．

得－2m－n＋1＝0即2m＋n＝1.

∴＋＝＋＝＋＋4≥2＋4＝8（当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立）．

12．（2017·

浙江联考）若正数x，y，z满足3x＋4y＋5z＝6，则＋的最小值为________．

解析　＋＝＋

＝＋－3，

令2y＋z＝a，x＋z＝b，

则2（2y＋z）＋3（x＋z）＝3x＋4y＋5z＝2a＋3b＝6，

即＋＝1，

原式＝（＋）（＋）－3

＝＋＋≥.

13．某项研究表明：

在考虑行车安全情况下，某路段车流量F（单位时间经过测量点的车辆数，单位：

辆/小时）与车辆速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：

米/秒），平均车长l（单位：

米）的值有关，其公式F＝.

（1）如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时．

（2）如果限定车型，l＝5，则最大车流量比

（1）中的最大车流量增加________辆/小时．

答案　

（1）1900　

（2）100

解析　

（1）当l＝6.05时，F＝≤＝1900，

当且仅当v＝11时取最大值．

（2）当l＝5时，F＝≤2000，

当且仅当v＝10时取等号，

∴最大车流量比

（1）中增加2000－1900＝100（辆/小时）．

14．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：

千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（2＋）升，司机的工资是每小时14元．

（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；

（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

解　

（1）设所用时间为t＝（h），

y＝×

2×

（2＋）＋14×

，x∈[50,100]．

所以这次行车总费用y关于x的表达式是

y＝＋x，x∈[50,100]．

（2）y＝＋x≥26，

当且仅当＝x，即x＝18时，等号成立．

故当x＝18时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．